消元法在條件最值問題中的應用

【摘 要】條件最值問題由于變量多、綜合性強、形式靈活多變、變量關系相互制約而頗具挑戰性，學生掌握起來有一定的難度。本文以消元法為例，著重介紹如何利用數學的轉化與化歸思想來解題。

【關鍵詞】高中數學;化歸思想;消元法;條件最值問題

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）34-0111-02

條件最值問題是高中數學的重要內容之一，一直以來是高考重點考查的內容，這類問題由于變量多、綜合性強、形式靈活多變、變量關系相互制約而頗具挑戰性，學生掌握起來比較困難。

筆者結合自己的教學實踐，以消元法為例，著重介紹如何利用基本數學思想來解條件最值問題。消元法屬于化歸思想的范疇，是實施化歸思想的重要方法和手段。引導學生學習和掌握消元法，不僅能夠幫助其鞏固知識、提高解題能力，而且可以加深其對數學思想方法的理解[1]。

1? ?立足統一原則，代入消元

在高中數學中，學生常遵循化歸思想的統一原則，將條件和結論中的變量結合起來，采用直接代入消元的方法，使其表達形式簡單化、規范化、單一化，從而達到解題的目的[2]。

點評：本題是基本不等式求最值中的典型題，難度不大。但此處主要是從消元的角度來求解，可以看到，代入消元后，本題可轉化為函數的最值問題，解題思路和方法一下變得豐富起來，除用以上方法解函數的最值以外，還可采用以下方法求得函數的最值。

點評：本題的方法二是運用函數思想，較為常規，學生易掌握;方法三是運用方程思想，學生不易想到，但對鍛煉學生的思維有較大幫助。

2? ?根據結構特點，代換消元

對于某些數學問題，學生若按常規尋求解題思路，往往非常棘手。如果調整思路，根據條件自身結構特點，選擇恰當代換法，往往能茅塞頓開，化難為易。

點評：條件中已知兩個非負數的和為1的最值問題可以用三角換元法，最后轉化為三角函數問題求解。

點評：方法二使用目標代換法，其本質是“執果索因”，假設目標已經存在，從目標出發，通過消元，得到一個含參的一元二次方程，利用方程的思想解決問題。

3? ?遵循化歸思想，逐步消元

化歸思想是高中數學中最核心的數學思想方法，化歸的實質就是以運動變化發展的觀點，以及事物之間相互聯系、相互制約的觀點看待問題，對所要解決的問題進行變換轉化，使問題得以解決。

點評：多元變量最值問題的難點很多時候在于變量的個數，如果研究條件等式，會發現很多情況下需要消元來化簡式子，三元變兩元，兩元變一元，轉化為熟悉的問題[3]。

以上例題中，消元法將化歸思想體現得淋漓盡致。化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式，能化生疏為熟悉，化復雜為簡單，化抽象為直觀，它的魅力不僅體現在數學學習中，也體現在生活中。

【參考文獻】

[1]欒啟海.用消元法求最值[J].福建中學數學，2010（8）.

[2]李志遠.分析高中數學變量代換解題方法[J].神州·上旬，2019（4）.

[3]林森.淺談幾種常見的代換方法[J].數學教學研究，1998（1）.

【作者簡介】

馮曉梅（1976～），女，土家族，重慶石柱人，本科，中學一級教師。研究方向：數學教育。