導數在高中數學解題中的應用探究

【摘 要】高中數學知識較復雜，學生只有充分掌握知識之間的關聯性，學會在不同的題目場景中靈活應用知識，才能夠提高數學學習效率。導數是高中數學的重要知識，不僅在研究單調性、求解極值的過程中發揮著重要的作用，同時在不等式求解、函數圖象繪制等問題中均發揮著重要的作用。本文將針對導數在高中數學解題中的應用進行進一步探討與研究。

【關鍵詞】高中數學;導數;求解極值;判斷單調性

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）34-0142-02

在導數的學習過程中，學生不僅要深刻理解導數的含義，同時更要熟記一些常用函數的導數形式，能夠掌握在不同類型題目中如何使用導數進行求解。近年來，導數在高考中所占比例不斷提高，如果學生不能夠想到應用導數這一關鍵解題工具，那在解題的過程中很容易出現問題。因此，教師在教學中要幫助學生整理歸納導數在數學解題過程中的應用，通過反復練習幫助學生深刻理解導數的內涵。

1? ?利用導數研究函數單調性

函數單調性是導數最基本的應用問題之一，通過研究函數的導數能夠判斷函數在定義域的不同區間內是單調遞增還是單調遞減，能夠幫助學生了解函數值在一個區間內的變化[1]。利用導數研究函數的單調性是一種快捷簡便的方法，學生需要掌握常見函數的求導公式，如指數函數、對數函數等。學生熟練掌握求導公式，才能夠保證解題的正確性。

例1：已知函數 f（x）=x+ax+3，求該函數的單調區間。

分析：要研究函數的單調區間，首先可以確定采用導數進行研究;其次求導之后得到 f'（x）=3x+a，無法直接確定導數大于0或是小于0，因此需要對a的取值范圍進行討論，之后再進一步確定在不同區間上函數的增減性。

解：原函數的導函數為 f'（x）=3x+a。

這一類題目時常會設置一部分參數以增加函數單調性判斷的難度，學生在求解的過程中不僅要注意函數的值域，同時要對參數的每一種情況進行討論，做到不遺漏。在最后回答問題時，要將上述求解的情況進行綜述，同時再一次檢查自己是否討論了所有的情況，確保求導的整個過程沒有出現問題。對于常見的三次函數、對數函數以及指數函數等，學生通過反復的練習要學會歸納總結，了解不同的系數會如何影響函數增減性的變化，遇到部分題目可以直接判斷出函數大概的圖象，與自己的求解結果進行對比，進一步保證解題的正確性。

2? ?利用導數求解函數極值、最值

在求解函數極值的過程中，研究函數的單調性是第一步，只有在判斷出函數增減性的情況下，學生才能夠更快地判斷函數值在不同區間范圍內的變化。學生要注意導數為0的點以及拐點，再與端點值進行比較，即可判斷出函數的最值。這一類題目為了增加難度，會設置部分參數，需要學生對不同的情況進行討論，只要學生掌握基本的解題思路，確保求導過程的正確性，一般可以順利地解答。部分題目會將條件倒置，給出函數在某個區間的極值或者最值，求解未知數，這類題目考查的知識點依舊是利用導數求解函數的極值或者最值，學生要學會靈活應用導數進行求解[2]。

例2：求解函數為 f'（x）=3x?2x+3在區間[?2，0]內的最值。

分析：此題為利用導數求解最值的典型題目，先對函數進行求導，研究函數在區間內的單調性，判斷是否在區間內部有極值點，然后再與端點值進行比較，即可得出函數在該區間內的最值。

解：原函數的導函數為 f'（x）=9x?4x。令 f'（x）=0，得x=0或x=4/9，因此導數在[?2，0]內大于0，函數在該區間內單調遞增，在x=?2時函數取得最小值?29，在x=0時函數取得最大值3。

在求解這一類題目時，首先判斷題目類型，利用導數進行求解，先研究函數在該區間內的單調性，判斷是否存在極值點，再與端點值進行比較，要注意端點是否包括在區間之內。在研究函數單調性以及求解函數極值、最值的過程中，學生已經能夠初步畫出函數的圖象，因此導數對于研究并畫出函數的圖象也有著重要的作用。學生可以根據單調性以及函數的零點、極值點、最值，周期性、奇偶性等作出函數的大致圖象，這種方法相比于傳統的描點法更加準確。

3? ?利用導數求解不等式

證明或者求解不等式的題型，更多考查的是學生的思維能力，需要學生將題目中不等式兩側的式子進行移動變換，通過構造函數進行求導，研究函數的單調性，從而證明與求解不等式。一直以來，不等式的求解與證明都是難點，大多數學生難以根據題中的不等式進行函數構造或者在解題過程中想不到導數求解的方法。因此，教師還需要通過加強練習幫助學生進行歸納總結，培養學生對這類題目的敏感性，使其嘗試用導數的方法求解。

例3：已知函數 f（x）=9x+lnx，求證（1，+∞）區間上，函數 g（x）=25x的圖象始終位于 f（x）圖象的上方。

分析：在求解此類題目的過程中，學生直接想到的辦法就是分別研究兩個函數的單調性，然后嘗試證明 g（x）的值始終比 f（x）的值大，但是這往往不是很好的求解方法。因此，學生遇到這一類題目要嘗試聯想到不等式，利用兩個函數巧妙構造出新函數，通過研究新函數的單調性與最值來解題。g（x）圖象位于 f（x）圖象上方表明 g（x）> f（x）在區間（1，+∞）上恒成立，因此學生可以嘗試通過構造函數 F（x）= g（x）? f（x），只要證明該函數在區間（1，+∞）內大于0恒成立即可。

解：設 F（x）= g（x）? f（x）=25x?9x?lnx，則 F'（x）=75x?18x?1/x，在區間（1，+∞）上75x?18x?1/x大于0恒成立，因此導數在該區間上大于0恒成立，該函數在區間內單調遞增，當x=1時函數取得最小值16，因此函數在該區間內大于0恒成立，即 g（x）> f（x）恒成立，題目得證。

通過函數構造，利用導數進行函數的單調性研究能夠巧妙地解決此類不等式問題。在求解這一類問題的過程中，學生要注意不同語言的描述方式，解題的本質都是通過構造不等式將兩個函數關聯起來進行研究。

4? ?利用導數求解切線問題

利用導數求解切線問題主要考查學生對導數幾何意義的理解。導數在幾何意義上表示在函數某一點的切線的斜率，這部分內容更多會與橢圓、雙曲線等內容相結合。學生需要掌握橢圓、圓等圖形在一點的切線方程，這樣能夠快速設立方程并求解未知數。教師在講解此類題目的過程中，要幫助學生認識到導數的重要性，以后遇到同類型的題目可以先嘗試設立切線方程或者求導。

切線相關的題目有多種類型，較為復雜的一種為過切線上的一點求解切線方程，在解決該類題目的過程中首先需要判斷該點是否為切點，之后再通過設切點求解切線方程的方法對題目進行求解。

總之，導數在研究函數單調性、求解極值最值、解決不等式等問題中都發揮著重要的作用。教師在教學中要鼓勵學生將同一類型題目進行歸納并提煉出解題思路，讓學生在歸納總結的過程中更加深刻地理解導數的內涵，以此提高學生的解題能力，鍛煉學生的思維能力。

【參考文獻】

[1]李劍.淺談導數在高中數學解題中的應用[J].中學生數理化：自主招生，2020（4）.

[2]譙洪斌.導數在高中數學解題中的應用探究[J].新課程研究（上旬），2019（2）.

【作者簡介】

劉強（1985～），男，漢族，甘肅隴西人，本科，中學一級教師。研究方向：高中數學。