數形結合在數學教學中的滲透探析

馬美霞 趙華新

基金項目：陜西省教育廳基金項目（19BZ031）;延安大學研究生教育教學改革項目。

作者簡介：馬美霞（1991-），女，漢族，陜西榆林人，延安大學，碩士研究生，研究方向為學科教學（數學）;趙華新（1964-），男，漢族，陜西延長人，延安大學教授，碩士生導師，研究方向為學科教學（數學）（通訊作者）。

摘 要：數形結合思想是一種以“形”直觀表達數，以“數”抽象探究形的思想方法，其在高中數學課堂教學中的實踐，是對復雜、抽象數學問題的簡化與具體化，更是高中數學有效教學的重要手段和尋找解題思路的核心思想。細看近幾年的高考試題，我們會發現高考對數學思想方法的考查比重在不斷上升而且很多高考題看似異常復雜，但是運用數形結合的思想去審題和分析，就能少走很多彎路并能迅速找到解題思路進而求出解，為做其他題贏得了寶貴的時間。因此，縱觀高中數學教學現狀，具體闡述了數形結合思想在高中數學教學中的巧妙運用，希望能為高中數學教學高效高質的發展增磚添瓦。

關鍵詞：高中數學;數形結合思想;數學教學

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.15.070

1 以數思形，將抽象問題圖形化、簡單化

以形助教，就是以直觀且通俗易懂的圖形來為解決抽象難解的數學問題提供思路。美國數學家斯蒂恩說過：“如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法。”在高中數學教材中，一些數量關系很抽象，拘囿于知識的抽象性，學生無法透過題面找到解題突破口，并理清思路去解題，但如果教師啟發學生結合圖形來進行分析，以定性的思維來觀察圖形的大小、形狀和位置，并在畫圖示“意”中不斷審視圖形中的數量關系，就會直觀、形象地將抽象思維提煉出來，也就是要把“數”對應的“形”找出來，將“數的問題”變成“圖的問題”，那抽象的問題就迎刃而解了，且很快能完成題型的解答。因此，在解題過程中，我們要正確認識、掌握并運用以形助教進行解題。恰到好處地使用以形助教，不僅能有效避開冗長的推理計算，還可以讓學生把抽象的知識領悟的更透徹，從而使教師的“教”與學生的“學”實現雙贏。

例如，在教學“直線與圓錐曲線的位置關系”時，會涉及求弦長、弦中點、對稱、公共點、參數的取值范圍、最值等角度的問題，解答該類型題時，對于高考大題可以先運用轉化思想將其轉化為求直線方程與圓錐方程聯立的方程組的解的問題進行求解即可。若是選擇、填空類題型可以借助幾何知識的應用，運用“數形結合”式解題方法進行求解。例1：以已知直線y=k（x+3）和雙曲線x2-4y2=4有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（）個。（A）1，（B）2，（C）3，（D）4的選擇題為例，首先，我們畫出雙曲線的草圖，仔細分析題干條件會發現已知直線是過定點（-3，0）的直線系，雙曲線的漸近線方程為y=±12x，因此過（-3，0）點并和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k有兩個不同的取值，另外一種情況，過（-3，0）點且和雙曲線位置關系相切的直線與雙曲線也有且僅有一個公共點，此時k可以取兩個不同的值，所以此道選擇題的正確答案是（D）。

再例如以求圓錐曲線弦的中點為例，除了可以聯立方程利用根與系數的關系外，教師也可以利用變式教學模式，通過已知條件畫出幾何圖形，指引學生對點的坐標進行假設，設出弦的兩個端點，然后將所設端點代入圓錐曲線方程利用“點差法”作差分解因式，在作差中，利用已知的幾何條件求出直線的斜率并與其聯系起來求出所問，這樣就可以降低解題難度和減少計算量。綜上所述，數形結合思想的運用，不僅能讓學生輕而易舉解決此類題型，更能對其舉一反三意識進行啟發。

2 以形變數，將圖形數量化

當然，在數學教學中，雖然圖形能將抽象問題直觀地呈現出來，但在定量方面，同樣需要借助代數來計算，特別是對于復雜或難度較大的圖形，讓學生盲目觀察是無法得出結論的。教師要引導學生正確繪制圖形，并以定性和定量的雙向思維來從已知圖形挖掘出潛在的條件，進而找出圖形中的數量關系，把模糊的圖形澄清、量化，也就是要把“數”對應的“形”找出來，再從“形”中挖掘“隱含的數”，將“數的問題”變成“圖的問題”，然后將“圖的問題”與“隱含的數”相聯系，最后將圖形與計算結合起來，做到定性又定量，那抽象的問題就迎刃而解了，也能充分發揮以形變數中圖形的判定作用。

例如，在講解“已知圓上到定直線L的距離為某個定值的點的個數”類題型時，就可以將圖形信息數量化，進行解決問題。例2：以求圓x2+y2+2x+4y-11=0上到直線L：x+y+1=0的距離為2的點共有幾個？為例。解決這類題，首先我們應從平面幾何知識分析出到定直線L：x+y+1=0的距離為2的點的軌跡是平行直線L的兩條直線。從而問題就轉化成判斷這兩條直線與已知圓的交點個數的問題了。分析到這里，我們就可以著手去做題。首先將已知圓的方程變形為標準方程的形式：（x+1）2+（y+2）=16，得出已知圓的圓心是C（-1，-2），半徑r=4，而圓心到直線L的距離為2，由此可以斷定平行于定直線L且距離為2的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，因此這兩條直線與圓C共有3個交點，所以很快得出結論：圓x2+y2+2x+4y-11=0上到直線L：x+y+1=0的距離為2的點共有3個。這樣先正確畫出草圖，再以定性和定量的雙向思維模式觀察圖形，將圖形與圖形中隱含的數量關系找出來并聯系起來分析題干，便很快能解決問題。

3 形數互變，不斷提高學生自我直觀想象素養

在一些高中數學問題中，單純憑借前兩種數形結合方式的某一種不能解決問題時，就要考慮把圖形和數字進行轉化，切實把握“數”與“形”的對應關系，以數思形，以形想數。

例如，在教學“求函數零點的個數”相關題型的解題方法時，教師要善于指引學生將導數和數形結合中形數互變的數學思想結合起來進行求解。解決這類問題的技巧是：（1）構造函數，并求其定義域，這是解決該類問題的關鍵環節;（2）求其導數，進而判斷出其單調區間和極值點;（3）根據前兩環節提煉出的信息及已知條件，畫出函數草圖;（4）以數思形，以形想數，提煉出題設中的隱含條件，大致確定圖像與橫軸的交點有幾個，然后進行求解。當然，在借助數形結合思想分析題設條件和解題時，要注意以下三點：首先，教師要強調學生快速找到解題思路解決該類型題是以足夠熟悉相關概念和運算的幾何意義以及圖形的代數特征為前提的，而且要以幾何意義和代數意義雙向思維來考量已知題目中的條件和結論;其次，要恰當假設參數，合理運用參數，把“數”對應的“形”找出來，從“形”中思考“數”，建立關系，做好數形轉化;最后，不管是“有圖考圖”還是“無圖考圖”類題型，都需要正確確定參數的取值范圍。

當然，教師在指引學生運用數形結合思想解決實際數學問題時，強調學生要有并且會審結論的思維意識。要明白得出結論或判斷出結論的正確與否就是實現問題解決的終極目標，所以解數學題時的思維過程大多都是從題設問題找突破口，再進行思考，會審題就是在題設問題的啟發下，挖掘出條件與題設問題之間的內在聯系和轉化規律，要善于從題設問題中捕捉解題信息，再聯系圖形轉化題設問題，最終發現和確定解題方向，進而快速求解。

4 將數形結合思想融入學生自主探究空間

在高中數學教學中，教師應為學生創設良好的教學情境，引導學生用數形結合思想的視角對問題進行分析和思考，從而提高學生學習積極性和主動性。在此過程中，要讓學生感受到“數學好玩”，打破原有對數學抽象、枯燥的固勢思維，讓學生在分析與思考中意識到生活中處處有數學。教師通過將數形結合思想巧妙地引入課堂或試題講解中，激發學生對數學中形數互變的強烈求知欲，在這種專業訓練潛移默化的熏陶下，使學生可以靈活運用數學思想方法，進行積極主動地解決數學問題。

例如，在教學“空間幾何體”環節，教師可以利用智能教學助手，將生活中常見的三維或多維建筑和幾何體呈現給學生，讓學生以三視圖與立體模型圖的視角感受眼前的物體，進而直觀、形象的了解物體的基本空間結構，這樣不僅可以降低學習抽象幾何體的難度，而且親眼目睹后印象更深刻，更有助于學生自主探究性的學習。在計算空間幾何體面積時，教師可以啟發學生嘗試展開空間幾何體的表面和原立體幾何體的各個面進行對比，看有沒有新的發現進而引導學生聯系立體和幾何平面圖進行計算，進而使學生在對空間構型的想象能力和表面積的計算能力方面一矢雙穿。當然，教師也可以提示同學們挑選自己周圍的一些熟悉的立體幾何物體，進行計算并和同學們互相分享自己的解題思路和計算過程。

教師也可以圍繞教學內容，制定一些以幾何知識為背景的“微視頻”，通過視頻把一些較難、較復雜的知識點以幾何意義的角度呈現給學生，讓學生在觀看了微視頻及預習導學案的基礎上，對課程內容進行自主學習，在自我理解下對圖形和知識進行內化，并在探索、質疑中，為課堂教學的更有效開展提供良好的教學環境。微視頻式課堂教學手段的引入，讓教學內容以更直觀、形象、生動的形式呈現在學生面前，給學生留下深刻的印象，能激發學生對接下來內容學習的那種強烈的求知欲，可以避免很多因教師傳統僵硬的授課方法，導致學生將抽象、復雜的知識掌握的模棱兩可，進而產生對數學的排斥和逆反心理的狀況。例如，在“拋物線及其標準方程”的教學中，教師可以“數學好玩”式微視頻的教學方式代替傳統僵硬的教學模式，讓學生通過微視頻認識拋物線、了解拋物線，并能發現和找出生活中哪些熟悉的運動軌跡屬于拋物線，在微視頻的引導下，教師要趁熱打鐵進一步闡述并教授拋物線的定義、性質并及時鞏固訓練，并與前幾課時學的橢圓進行對比，讓學生對拋物線知識掌握的更透徹，提高對拋物線的解題運用能力。綜上所述，微視頻“新血液”的注入，不僅能為教師課堂教學順利開展作好鋪墊，而且能為學生課中、課后的學習和鞏固奠定良好的基礎。

在這種潛移默化的教學影響下，讓學生意識到數形結合思想在學習數學中的重要性，進而帶動學生將數形結合思想融入自身學習數學各類知識中，逐步提升自身解決數學問題的思維方式。

5 結束語

總之，在高中數學教學中，培養學生利用“數形結合”的思想解決問題是很有必要的，不僅可以使教學效果顯著提升，還可以開拓學生解決相關數學問題的思維。因此，在實際教學中，教師要貫徹并落實教學要求，創新自身的教學模式和教學理念，給予數形結合思想足夠的重視，結合學生的實際情況，加強對學生利用這種思想解決數學問題的訓練與引導，進而讓學生在學習中提高效率與水平。

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