在“幾何直觀”中建構直觀思維圖式

陳培娟

[摘? 要] “幾何直觀”能有效地助推學生建構直觀思維圖式。在小學數學教學中，教師要引導學生讀圖、構圖、創圖。讀圖有助于培育學生數學直覺力，構圖有助于培育學生數學想象力，創圖有助于培育學生數學創造力。從讀圖到構圖、從構圖到創圖，能敏銳學生的數學直覺，有效地積累、豐富、完善、升華學生的圖感，建構學生內在的幾何直觀思維圖式，進而發展學生數學核心素養。

[關鍵詞] 小學數學;幾何直觀;直觀思維圖式

“幾何直觀”是借助于幾何圖形描述、分析問題，從而讓問題變得簡明、形象的過程。幾何直觀既是學生數學學習的手段、方式、方法、策略，也是學生數學學習的重要組成，是學生數學的目標之一，因此也是學生的數學核心素養。借助于幾何直觀，能有效地助推學生建構直觀思維圖式。作為學生思維的基本單位，直觀思維圖式對于學生后續數學學習、研究具有重要的意義和作用。在數學教學中，教師要引導學生讀圖、構圖、創圖。通過圖導、圖構、圖創，生成學生的直觀思維圖式。

一、讀圖：培育學生的數學直覺力

建構學生直觀思維圖式，首先要引導學生讀圖。只有能完整地、清晰地讀圖，才能有效地培育學生的數學直覺，生成圖感。讀圖，要注重引導學生觀察、感知，引導學生實踐、操作，引導學生想象、聯想。只有這樣，才能幫助學生建構整體性、有序性、敏銳性的數學直觀思維圖式。讀圖有三個層次：一是對圖形表面意義、表象意義的直觀感知;二是發現圖形蘊含的關系、深層含義;三是對圖形表象意義和內在本質的隱性關聯。通過讀圖，獲得數學理解，形成問題解決思路。

幾何直觀的本質就是數學思維的直觀化、可視化。在幾何直觀中，讀圖一般有三個步驟：其一是引導學生對圖形進行描述，尤其是讀懂圖形的表征;其二是對圖形進行直觀思維，也就是讓圖形與學生的內在思維形成某種契合;其三是對圖形進行表達。在讀圖的過程中，尤其要引導學生進行在圖形與文字之間穿行，引導是實現圖形與文字的轉化。在這個過程中，教師一方面要關注圖形與學生經驗的匹配度，關注圖形與學生思維的連接度;另一方面要關注圖形與數學知識的匹配度，關注圖形與學生后續數學知識學習的延續度。例如：教學《乘法分配律》（蘇教版四年級下冊），在引導學生通過“實際問題——數學猜想——數學驗證——數學總結”的過程中，筆者相機引入了兩個等寬的長方形，引導學生對圖形進行解讀。學生深度觀察“乘法分配律”的表達形式，再深度觀察兩個等寬的長方形，從而建構了“乘法分配律”與“長方形”之間的關聯。有學生說，兩個長方形的長的和就相當于兩個數的和，寬就相當于另一個乘數;有學生說，ac計算的是一個長方形的面積，bc計算的是另一個長方形的面積，ac+bc計算的就是兩個長方形的面積和，也就是大長方形的面積，等等。借助于長方形圖，“乘法分配律”的簡便算律得到了生動的詮釋。在這個過程中，學生不僅借助于圖形更好地理解了乘法分配律，更感受、體驗到“數形”的 結合之妙。

引導學生讀圖、識圖，教師要注重選擇合適的圖，從而能讓圖形發揮最大限度的效用。在選擇圖形的過程中，不僅要注重圖形的典型性，更要注重圖形的針對性、指向性。只有這樣，才能讓圖形直觀發揮真正的實效。借助于圖形，不僅能有效地表征問題，更能促進學生的數學理解，深化學生的數學認知，從而助推學生問題分析、問題解決。

二、構圖：培育學生的數學想象力

幾何直觀是一種意識、一種能力，更是一種思維方式。在小學數學教學中，教師不僅要引導學生讀圖、解圖、識圖，更要引導學生構圖。構圖是根據題意對圖形的主動建構過程。借助于這個過程，學生能有效地對問題進行表征。在構圖的過程中，學生不僅需要調動自我的思維，更需要發揮自我的想象力。借助于構圖的實踐過程，能幫助學生積累構圖經驗，掌握構圖技巧，這是培育學生幾何直觀能力的關鍵。

例如：教學蘇教版四年級下冊《解決問題的策略——畫圖》，其中“例2”是這樣的一道典型問題：梅山小學有一塊長方形花圃，長度是8米。在修建學校校園時，花圃長增加3米，面積一共增加了18平方米。現在的花圃面積是多少平方米？

在解決問題的過程中，學生遇到了一些障礙，他們不能將面積增加的量與長增加的量結合起來進行思考。為此，筆者給學生提供了一個“半成品”，即用長方形表征原來的花圃。在此基礎上，引導學生構圖，讓學生延長長方形的長，寬不變。在構圖、畫圖的過程中，學生能直觀感受、體驗到長方形花圃的面積之所以增加，是因為長增加了。而在這個過程中，長方形花圃的寬沒有發生變化。因而，就催生學生思考“長方形花圃增加的長與增加的面積之間有怎樣的關系”，進而就自然地引發學生對長方形花圃的長與增加面積之間的關系。通過觀察、思考，學生認識到，借助于這兩個條件，可以計算出長方形的寬。在構圖的過程中，學生能根據文字信息，將抽象的“數”轉換為具體的、直觀的“形”。進而，學生借助于直觀的“形”，能將問題中的相關的文字信息結合起來，獲得深刻的數學思考，形成問題解決思路。

構圖在學生的數學問題解決中具有重要的意義。比如著名數學家歐拉通過構圖解決了哥尼斯堡七橋問題;著名數學家笛卡爾借助于構圖，將代數問題幾何化，建立了平面直角坐標系。數學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么就整體地把握了問題?！痹跀祵W教學中，“幾何直觀”不僅僅是一種簡單的數學學習方法，而是一種科學的思想方法論。

三、創圖：培育學生的數學創造力

在引導學生解圖、讀圖、導圖、構圖的基礎上，教師要引導學生積極地創圖。通過創圖，能培育學生的數學創造力。面對同一個數學問題，不同的學生會產生不同的數學思考。作為教師，就是要激發學生的數學思維，催生學生的數學想象。思維與想象，能拓展學生的幾何直觀創圖空間。創圖不同于構圖，構圖簡單地說就是通過幾何圖形將題意表征出來。而創圖則帶有一種“完形”的意味，也就是將“不完備”“不充分”的圖形完備化、充分化。創圖有點類似于初高中階段的“作輔助線”。通過創圖，學生的問題解決思路能得到澄明、敞亮。

構圖是一種表征，而創圖則是一種創造。比如小學階段的分數乘法應用題、分數除法應用題，通常需要借助于線段圖來表征題意。一般情況下，線段圖就是簡單地表征題意，因而也就是要學生積極地構圖。但有時，這種構圖卻是非常巧妙的，融入了學生的多重猜想，這時，構圖就不僅僅是對題意的表征，而是將條件與問題建立某種關聯，這就是創圖的過程。

例如：在教學蘇教版六年級上冊的“分數除法應用題”這部分內容時，學生遇到了這樣的問題：王師傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的 多30個，第二天加工了全部零件的 少20個，還剩下195個零件沒有加工，王師傅加工的這批零件一共有多少個？

這一個問題，學生難以找出“量率對應關系”。據此，有學生就嘗試構造線段圖。但這種構造不是簡單的表征題意，而是需要深入思考。很多學生在畫圖的過程中還是不能清晰地找出題目中量率之間的對應關系。因為，題目中出現的兩個分率分母不同，也就是線段圖平均分的份數不同;同時，量率混合、交融，使得學生即使用線段圖表征題意也非常復雜。教學中，筆者這樣引導學生：能否將兩個分母不同的分率統一起來？能否讓“率和率放置在一起，量和量放置在一起”？這樣的點撥，啟發了學生積極地創圖。有學生認為，第一天就是加工了全部零件的 多30個，第二天加工了全部零件的 少20個;有學生認為，畫圖是可以這樣畫，即先畫全部零件的 和 ，然后再將多30個和少20個合并起來，轉換為多10個。通過這樣的積極創圖，問題解決過程思路就變得清晰、明朗起來。創圖，就是巧用、妙用幾何圖形，將數學問題的本質可視化、可理解化。

從讀圖到構圖再到創圖，能有效地積累、豐富、完善、升華學生的圖感，建構學生內在的幾何直觀思維圖式。作為教師，要為學生的圖導、圖構、圖創提供外部的支持條件，引導學生進入靈動的圖感世界。通過幾何直觀，有效地敏銳學生直覺，發揮圖形的教學潛能，進而開啟學生的問題解決智慧，發展學生的數學核心素養。