從數學史的角度看中國經典題目的教學

黃野娟 張昆

【摘? ?要】通過課堂教學的設計和實施促進學生思維水平發展，是培養學生核心素養最有價值的途徑之一。從數學史的角度看中國經典題目“雞兔同籠”問題的教學，利用數學史料認識這一問題中相關知識點的教學價值，并將數學史融入教學活動，既能豐富課堂教學內容，又能有效促進學生思維水平的提升。

【關鍵詞】雞兔同籠;數學史料;生活經驗;提升思維

一、問題的提出

蘇教版教材六年級下冊“解決問題的策略”學習內容中的“練一練”，引入了簡化版的“雞兔同籠”問題，提供了兩個相關的素材。

素材一：雞和兔一共有8只，它們的腿有22條。雞和兔各有多少只？（根據下面的提示，選擇一種方法找出答案）（教材第29頁）

（1）按照下面的步驟畫圖。

①畫8個圓，表示一共有8只動物。

②假設8只都是雞，給每只雞畫2條腿。算一算畫出的腿比22條少多少條。

③一只兔比一只雞多2條腿，給其中的幾只動物添上2條腿，使畫出的腿正好是22條。

④雞有（ ）只，兔有（ ）只。

（2）先假設雞和兔同樣多，再調整。（注：為了行文方便，將這種方法稱為“系統實驗法”）

素材二：“雞兔同籠”問題是我國古代的數學名題之一。它出自唐代的《孫子算經》。書中的題目是這樣的：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？你能算出這道題中的雞和兔各有多少只嗎？（教材第32頁）

素材一的特點是數據較小，所以容易得到兩條途徑探究解題思路：（1）首先，指導學生利用擬似的實物（這里的①，即畫圓）直觀表示動物的數量;其次，假設8只全部是雞（②），發現這8只雞的腿總數為16條，比已知條件中的22條少了6條;最后，由于每只兔比每只雞多2條腿，所以需要3只兔補充少的6條腿。（2）假設雞兔各占一半，即雞和兔都是4只，并向學生提供表1，引導學生發現，如果雞和兔各4只的話，將得到24條腿，比條件中的22條多了2條，因此假設中的情況是多了一只兔。這兩種方法都可以解決問題。

但在實際教學中發現，學生解決本題時，呈現出多種解題方法，不僅僅是教科書提供的兩種途徑。特別值得注意的是，有大約三分之一的學生采取先將22條腿折半為11條，然后與8只動物比較，發現腿的數量還多3條，說明兔子有3只，雞有5只。（注：為了行文方便，將這種方法稱為“折半法”）

值得思考的是，學生萌生使用這種“折半法”解題的思路究竟來源于何處？如何利用數學史資料優化“雞兔同籠”問題的教學設計及其課堂實施呢？故此，我們進行了研究與探索。

二、相關數學史料與分析

任何想法都不是憑空產生的。在以往的學校學習中，學生并沒有接觸過類似“折半法”的解題方法，應該并不具備這種解題方法的學習經驗。那么學生繞過教科書的提示，萌生出用“折半法”解決問題，也就未必是他們創造性思維的成果，而更可能與學生生活中所處的文化氛圍相關。因為，正如教科書所言，“雞兔同籠”問題是古代數學名題之一，因此，這道題存在于學生的生活之中，部分學生無須進入學堂，就可以獲得解題的線索。

這道題來源于《孫子算經》卷下第三十一題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何？

答曰：雉二十三，兔一十二。

術曰：上置三十五頭，下置九十四足，半其足得四十七。以少減多，再命之，上三除下四，上五除下七;下有一除上三，下有二除上五。即得。

又術曰：上置頭，下置足。半其足，以頭減足，以足減頭，即得。

當今社會中的成年人，不會采用這種古文之乎者也的方式討論“雞兔同籠”問題的解法，但會使用現代白話語言，選擇解決這道題的策略，這也就是說，“折半法”流傳于生活中，因此，學生在接受教科書的提示以前，就可能已經接受了“折半法”的解題途徑。通過訪談發現，很多學生都有意無意地聽大人說過這個問題，甚至有部分學生說，在三、四年級時，他們的家長就以“雞兔同籠”問題問過他們，要求他們解答，如：兔子野雞三十九，一百條腿地上走。多少野雞多少兔？而家長給出答案時介紹的方法就是“折半法”。

因此，教師的教學應該要考慮學生受到的文化氛圍的影響，并利用這些因素，因勢利導、順水推舟地利用學生在生活現實（而非學校教育教學）中所積累的數學觀念、數學方法（可能摻雜著某些瑕疵）等，將這些文化中的有利因素與課堂目標要求的某些要素整合起來，促進學生形成具體的探究解決問題的方法與策略。

通過訪談發現，學生雖自覺不自覺地形成了用“折半法”解決“雞兔同籠”問題的解題思路，但他們只是接受了成人提供的“折半法”的具體解題方法，卻未必了解其背后的道理。也就是知其然而不知其所以然。因此，教師必須先理解古人解決這道題的“術”的具體內涵，從中吸收啟發性成分，以便更好地組織教學。

先看這段話“上置三十五頭，下置九十四足，半其足得四十七”。古人使用算籌進行數學計算。這段話說的是先用算籌標示出35（表示頭），然后在它的下方用算籌標示出94（表示足）。取足數的一半得到47只足。“以少減多，再命之，上三除下四，上五除下七。” 就是說從多的中拿去少的，即用較大的數減去較小的數，47-35得到（足）12。這個12就是兔的數量。“下有一除上三，下有二除上五”就是35再減去12可以得到23，這個23就是兔的數量。通過理解解題方法（術）的具體內容認識到，在這幾個解題操作環節中，最難形成的操作行為指令就是第一步，即“半其足”，《孫子算經》的作者是如何想到這一步計算指令的，這一步也實實在在地構成現在教學設計及其課堂實施的疑難點。

于是，在教學準備工作中，首先推測古人萌生“半其足”這種計算指令的來源，前文中對古文的內容說得很清楚，這里的“上置三十五頭，下置九十四足”，是解題者使用算籌（如圖1，現在使用的是阿拉伯數字）擺出來的。請注意圖1中第一個環節的兩個具體數字（35;94），古人肯定試探了兩種途徑，其一，將上面的35翻倍到70，當然可以解決問題，但后述步驟相對于將下面的94折半的途徑要復雜得多（相對于古人籌算而言）。之后，將下面的94折半，結果發現后述計算要簡單得多，正如前文所描述與揭示的。

但這一內容只介紹了方法，卻沒有講解理由。這或許就是教科書沒有引導學生采用“半其足”的方法解決問題的原因吧。

三、“雞兔同籠”問題教學設計及課堂實施

錢理群說：“教育思想者和現實存在有著潛在的本性上的對抗性，思想者所關心的是‘應該怎樣，而不是‘實際怎樣。思想者與實踐者之間是應該有區別，有分工，而且是存在著不同的邏輯的：思想者著眼于新的教育理念的建設，并從自己的教育理念出發，對現行教育的弊端作出批判，從而形成一種思想、輿論的壓力，為其呼喚的改革提供思想資源，因此，要求思想的徹底，并具有一定的超前性，因而帶有理想主義的色彩，而不考慮現實的操作。而實踐者面臨的是教育的現狀，不僅感受到改革的必要性和迫切性，更要考慮在現實的主客觀條件下，改革的可能性和有限性，因而奉行‘逐步推行的改良策略，這其中也包括必要的妥協，而不可能像思想者那樣徹底。”[1]所以，關于“雞兔同籠”問題的教學設計及其課堂實施，需要考慮以下兩方面的問題。

一方面，學生在五年級就學習過“簡易方程”，已經能夠用數學符號表示具體數據，因此可以使用設未知數引入符號的方法表示雞和兔的只數，從而替代如圖1中的具體數據體系，也就是替代古人方法中使用算籌表示的具體數據，這將有利于啟發學生產生“半其足”的行為。

另一方面，皮亞杰在《發生認識論原理》一文中指出：“隨著在將近十一歲到十二歲時開始形成的形式運演的出現，達到了運演發展過程的第三個重要階段。形式運演超越現實本身，把現實納入可能性和必然性的范圍之內，從而無須具體事物作為中介了。”[2]處于六年級學齡段的學生正從“具體運演階段的水平”過渡到“形式運演階段的水平”。教學設計及其課堂實施要考慮到學生思維升級的需要，更有針對性地促進學生的數學發展。

基于這兩方面的考量，構成關于“雞兔同籠”問題的教學設計。

師出示問題：今有雞兔同籠，上有三十五（35）頭，下有九十四（94）足，問雞兔各幾何？

（注：學生出現了各種各樣的想法，包括教科書提供的“系統試驗法”，對總頭數的加倍法與總足數的“折半法”，這些想法都有價值。但是，教學設計所設置的目標在于，通過引入符號表示問題中的具體數據，從而構成數據體系，進而啟發學生萌生“半其足”的數學計算指令。）

師：大家基本上是采用假設的途徑，獲得了解題思路，在這些思路中，對于總足數的“折半法”給人印象深刻。你們可以解釋一下，是如何想到采用“折半法”的呢？

（注：學生的回答都說是這道題他們曾經聽人說過，通過記憶使用了這種方法。）

師：同學們已經學習過設未知數、列簡易方程解應用題。對于這個問題，也可以使用方程試一試嗎？

生：設兔x只，則雞（35-x）只。由題中的數量關系得到方程：4x+2（35-x）=94。

師：很好。大家仔細觀察方程，你會怎么解這個方程呢？

生：第一步，將這個方程的兩邊同時除以2，得2x+（35-x）=47。

師：你能結合題目說一說這一步的實際意義嗎？

生：就是將雞和兔的總足數折半。（后述的課堂實施環節略）

（注：使用“折半法”解決“雞兔同籠”問題時最為關鍵的一步就是“半其足”這種行為指令是如何產生的，數學史料中呈現的是數學家經由實驗、試探、檢驗而形成的一種直接領悟。對處于六年級下學期的學生來說，使用列方程的符號表達式更利于“折半法”的產生。）

四、結語

在某個數學知識點的教學上，一個好設計的形成，需要數學教師做出許多方面的努力。其一，教材分析。在這個環節中，教師必須依據數學知識的具體特點，吸收方方面面的營養，例如，“雞兔同籠”問題就需要吸收數學史史料的營養。其二，學情分析。在這個環節中，最重要的一點就是教師必須理解學生數學思維發展所達到的層次，據此充分利用學生思維上的“最近發展區”，從而通過教學設計及其課堂實施促進學生思維水平的提升。其三，教學法分析。教師要選擇合適的教學方法，提升教學的有效性。[3]對此，一線數學教師必須思之再思，慎之又慎。

參考文獻：

[1]錢理群.直面存在困境：讀梁衛星教育隨筆[J].名作欣賞，2010（7）：79-81.

[2]皮亞杰. 發生認識論原理[M]. 王憲鈿，譯. 北京：商務印書館，1981：51-52.

[3]張昆，曹一鳴.完善數學教師教學行為的實現途徑[J]. 數學教育學報，2015，24（1）：33-37.

（1.安徽省廬江縣城北小學? ?231000

2.淮北師范大學數學科學學院? ?235000）