以可視化教學助推學生的數學思維進階

於慧敏

【關鍵詞】思維可視化;數學思維;思維基礎;思維路徑;思維進階

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）52-0143-03

思維可視化的一般定義就是借助圖示工具將原本不可視的思考方法和途徑直觀形象地呈現出來，方便理解。在具體形象思維占據主體地位的小學階段，創造條件促進學生的思維可視化，讓學生的思路清晰可見，可以讓學生沿著一定的思維脈絡去學會思考，打通他們的思維通道，啟迪他們的智慧，發展他們的數學思維能力。

1.夯實學生的數學思維基礎。

在數學學習中，如果學生根本搞不清問題是什么，他們就無法思考問題;如果學生清楚問題是什么，但缺乏相關領域的知識基礎，他們一樣難有作為;如果學生明晰問題是什么，也具備相應的知識基礎，但還是難以形成有效的思路，就說明他們在知識和問題之間存在一定的障礙，需要夯實學生思維的基礎，提升學生的思考力。通過思維可視化，可以在很大程度上解決學生不會思考的問題，形象化的材料有助于學生開啟思路，打通思維通道。

如教學蘇教版三下“兩位數乘兩位數”，有這樣一道習題：學校藝術節活動中，足球操展示方隊排成一個長方形，小華站在左起的第5列，右起的第12列，從前往后數他是第7個，從后往前數他是第16個，那么，參加足球操展示的學生一共有多少人？在學生讀題理解后，教師引導學生通過畫圖的方式呈現足球操方隊的情況。學生用圓圈（如下頁圖1）代表學生，重點突出小華所在的列和行。這樣，在直觀圖示的幫助下，學生很快建立了模型，找到了解題思路。之后，教師要求學生對照圖示說說自己的思路，學生表示：圖中用圓圈代表人，實心的圓圈就是小華，因為小華處于左起的第5列，右起的第12列，所以小華左邊排4個人，右邊排11個人，計算所有的列數可以用4+1+11，也可以用5+12-1。同理，可以找到所有的行數是6+1+15，也可以是7+16-1，有了列數和行數，用乘法就可以算出所有的人數。還有學生補充了計算行數和列數的不同方法：可以直接用5+11或12+4來計算列數，用7+15或16+6來計算行數。學生在介紹自己的思路時，在之前的圖示上加上了大括號（如下頁圖2），讓自己的思路一目了然。上述案例中，學生通過畫圖開啟了自己的思考之路，并對照圖形闡述了自己的思維過程，尤其圖2的大括號概括體現了學生不同的思考，是思維可視化的典型實例。

2.打通學生的數學思維路徑。

解決問題時，一些學生更多會通過回憶的方式去尋求答案，其中，有混淆不清的，有似是而非的。這體現出學生的思維路徑不通達，久而久之，學生就不愿意思考了，也不會思考了。要打通學生的思維路徑，需要教師貼近學生的“最近發展區”，給學生搭建思維的“腳手架”。其中一個重要的途徑，就是促進學生的思維可視化，用形象的材料助推學生理解題意，幫助他們建立基本的解題思路。

如教學蘇教版五上“小數的意義和性質”單元，有這樣一道練習題：如果一個兩位小數“四舍五入”得到3.6，那么這個兩位小數最小是多少？最大是多少？教學時，教師可以通過圖示來打通學生的思維通道：讓學生在數軸上找到3.6。通過審題，學生發現需要先在數軸上的3.6左右找出一些兩位小數，再結合“四舍五入”的法則來確定符合要求的兩位小數的范圍（如圖3）。結合圖示，學生很容易找到與3.6相鄰的兩個一位小數分別是3.5和3.7，為了找到符合要求的兩位小數，需要將這三個小數之間的每一大段再平均分成10份。學生發現，3.6左邊的小數是根據“五入”法得到3.6的，需要滿足百分位上大于等于5的條件;3.6右邊的兩位小數是根據“四舍”法得到3.6的，需要滿足百分位上小于等于4的條件。這樣，學生就可以用自己喜歡的畫圖方式圈出所有符合條件的兩位小數，并找出最小的和最大的兩位小數分別為3.55和3.64。學生無論是圈出符合要求的兩位小數，還是圈出一個范圍，其思維都將外顯出來，教師可以結合學生畫的圖洞悉其思維過程，判定其思維邏輯是否恰當。這樣的教學可以為學生打通思維通道，拓展其思維路徑，讓其因為直觀而對思考過程有更深刻的印象。

3.推動學生的數學思維進階。

促進學生的數學理解是有效教學的不懈追求，推動學生數學思維能力的提升更是數學教學的高階目標。在教學中，我們可以利用可視化的思維材料強化學生的數學理解，促進學生內化數學規律，形成穩固的數學知識體系。

如教學蘇教版五上“小數的意義”時，筆者設計了這樣一個環節：先讓學生在正方形中畫圖表示出一位小數0.3，然后要求學生畫圖表示出兩位小數0.38。畫第二個圖時，有的學生在第一幅圖的基礎上將圖中第四大格平均分成10份（如圖4），涂出8份;有的學生沒有精確地平均分，只是估計了一下，然后大概表示出了0.38。引導學生比較不同的作品時，大部分學生對兩幅圖的思路是認可的，隱藏在學生的判斷背后的，是他們對兩位小數意義的理解：小數部分第二位的“8”表示將0.1平均分成10份，表示出這樣的8份，這里體現出學生對小數部分進率為10的認識。之后，筆者引導學生想象：如果所有的大格都像第4大格一樣平均分成10份，整個正方形被平均分成的份數以及0.38對應的份數是多少？學生從這個圖示中清晰可見0.38的意義等同于分數中的[38100]。在學生畫圖表示出正方形中的0.38之后，筆者出示一條線段代表1（圖5為整條線段中的關鍵部分），讓學生嘗試表示出0.38，學生結合之前的認識，將第四份均分成10小份，成功找出了0.38。這樣，學生就初步學會了在數軸上表示兩位小數，進一步厘清了小數的概念，對兩位小數的認識從形象過渡到了抽象。

學生的數學理解不能總是在直觀的背景之下，通過上述教學案例可以看出，同一類問題中的思維可視化可以強化學生的數學理解，助推學生的思維進階。這樣的學習不僅對于學生體會兩位小數的意義有幫助，也為其后面探究三位甚至更多位數小數的意義搭建了思維的階梯，促進學生的數學理解從形象走向抽象、從單一走向多元、從基本走向提升。

（作者單位：江蘇省海安高新區胡集小學）