從符號表征入手

尹力 郭修瑾

摘要：培養學生的符號意識是一項系統工程，教師要幫助學生感悟符號表征可以讓數學表達更簡潔、讓數學思維更簡化、讓數學結論更一般化等價值，明確符號表征的時機有理解概念時、表達規律時、解決問題時等，經歷從通俗的自然語言到規范的統一語言的符號表征過程。

關鍵詞：符號表征;符號意識;數學表達;數學思維

著名數學家羅素曾說：“什么是數學？數學就是符號加邏輯。”《義務教育數學課程標準（2011年版）》也將“符號意識”列為十大核心概念之一，并指出：“建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。”培養學生的符號意識是一項系統工程，符號表征是一個重要著力點。小學數學教學中，教師可幫助學生感悟符號表征的價值，明確符號表征的時機，經歷符號表征的過程。

一、感悟符號表征的價值

培養符號意識的首要任務是啟發學生對符號建立意義認同，使學生感受到符號的價值，從而能夠自覺運用符號表達數學。數學教育家豪森指出：“沒有必要引入任何符號或縮寫，除非學生自己已經深深感到了這樣做的必要性，以至于他們自己提出這方面的建議。或者至少，當教師提供給他們時，他們能夠充分體會到它的優越性。”一般而言，符號表征具有如下價值：

（一）讓數學表達更簡潔

一方面，人們選擇或創造一些形式非常簡潔的符號表示數學內容，將這些符號根據數學規則組合獲得的符號式也是簡潔的。比如，乘法分配律可以概括為：一個數乘以兩個數的和，可以用這個數分別和這兩個加數相乘，再把它們的積相加，結果不變。用符號表征為：（a+b）×c=a×c+b×c。顯然，直觀上后者比前者看起來更方便，人們在掌握各符號意義的基礎上，解讀符號表達式也更加快速。

另一方面，通過數學抽象，我們可以舍棄與數學無關的物理屬性，只保留數與形的特點，這也是符號表征更加簡潔的重要原因。比如，要求學生表示圖1所蘊含的規律，學生有這樣幾種表達方式：從“畫圖并涂色表示”（如圖2）到“用漢字表示顏色”（如圖3）再到“用簡潔圖形表示”（如圖4），學生逐漸認識到“是什么物體”或“是什么顏色”與排列的規律無關，抽象概括了周期規律的本質特點，最終發展為用最簡潔的符號表示周期規律。

（二）讓數學思維更簡化

數學家萊布尼茨曾說：“符號的巧妙和符號的藝術，是人們絕妙的助手，因為它們使思考工作得到節約，它以驚人的形式節省了思維。”也就是說，形式簡潔的符號不僅看起來具有美感，對人們思考數學也有促進作用。

符號表征讓思維簡化的原因在于，符號具有壓縮信息的功能，其中蘊含大量信息，從而有利于人們快速獲取信息、有效分析與解決問題。

比如，猜數游戲：“心里想一個兩位數，將數的十位數字乘5，加7，再2倍之，個位數字不變，告訴我最后結果，我就能知道你心里想的那個數。”不借助任何符號，學生基本無從思考。而有了符號，問題就變得非常簡單，兩位數可以用10a+b表示，根據問題中的運算得2（5a+7）+b=（10a+b）+14，可見原數就是用結果減去14得到的差。

（三）讓數學結論更一般化

符號更重要的價值在于符號能參與運算和推理過程，從而使獲得的結論具有一般性。理解符號表示任意數，學生才能根據數量關系用符號建立代數式，表示數學公式、運算律和數學模型等，從而一般化地表示數學。

實踐發現，學生習慣將符號或字母看作某個未知數，一方面是受認知水平的限制，另一方面是學習中缺少恰當的問題情境來激發學生運用符號表示一般數的內需。因為學生接觸的都是具體問題，利用具體數字通過運算推理解決問題后，學生不會再深入思考，“符號表示數”的行為便無從產生。所以，教師要善于將具體問題拓展為一般問題，驅動學生將具體數類推為任意數。

比如，“把25乘2，再加上2，把結果乘5，再減10，再除以10，結果得到什么數？再換一個數試試，你發現了什么？”顯然，就該道題而言，學生只需要舉幾個數算一算就能輕松解決，無須符號表示。而將問題拓展為“任意寫一個數，把這個數乘2，再加上2，把結果乘5，再減10，再除以10，結果得到什么數？再換一個數試試，你發現了什么，你能發現其中的奧秘嗎？”教師便可以引導學生深入思考：①我們還可以選哪些數去計算？②這樣的數多嗎？怎么將所有的數都表示出來？問題①主要讓學生體會可選的數有無數個，問題②則激發學生用符號概括所有數，使得到的數學結論一般化。

二、明確符號表征的時機

符號意識是一種主動使用符號的心理傾向，需要在廣泛的運用中養成。因而，教師需抓住并讓學生明確可以進行符號表征的時機，引導學生用符號表示數學內容。

（一）理解概念時

概念是抽象的，小學數學概念一般借助文字語言以描述性方式表達，不易理解。將文字概念轉化為符號表征，借助圖形或字母等符號簡潔表示概念，能使抽象的概念變得形象直觀，便于學生理解與記憶。

比如，質數和合數的概念，蘇教版小學數學教材指出：“2、3、5這幾個數只有1和它本身兩個因數，像這樣的數叫作質數（或素數）。6、8、9這幾個數除了1和它本身還有別的因數，像這樣的數叫作合數。”教學時，教師可以創設拼長方形的活動，將上述概念轉化為符號表征。“用若干面積為1的正方形拼長方形，面積為5的長方形有幾種拼法？面積為6的呢？”這引導學生發現：質數只能拼出一種，合數能拼出兩種及以上。抽象的概念由此被賦予了形象直觀的符號意義。

（二）表達規律時

數學規律概括了一類問題中普遍存在的數的變化特點。掌握和運用數學規律，能減輕思維負擔，提高解決問題的效率。數學規律具有概括性和普適性，往往需要借助符號表達才能清晰體現出這一特點。小學數學教材中的運算律、商不變的規律、積的變化規律等均屬于數學規律，教師一般會引導學生用符號表示，這是培養學生符號意識的好機會。但遇到非教材內容時，教師容易簡單處理，錯失培養學生符號意識的契機。

比如，在圖5中任意框出“十字架”形的5個數，說出5個數的和與中間的數有什么關系，我們不難通過舉例解決問題。但若是引導學生深入思考，“框出其他5個數是不是也有這樣的規律”“是不是框出任意5個數都有這樣的規律”等，就能激發學生進行符號表征的內需。在這些問題的驅動下，學生能夠意識到僅舉一個或幾個例子是不夠的，需要想辦法表示所有的情況，即用a表示中間數，用“a-5”“a+5”“a-1”“a+1”分別表示上下左右四個數，5個數相加的和為5a。

（三）解決問題時

解決問題與符號意識密切相關。小學數學教學需要培養學生“四能”。某種程度來說，“提出問題”是用符號抽象和表達問題，“分析問題”要借助符號運算和推理，“解決問題”更是要通過符號建立數學模型，形成解決一類問題的一般方法。

比如，對于“搭1個正方形需要4根小棒，搭2個正方形需要幾根小棒？搭3個正方形呢？搭100個這樣的正方形呢？”這一問題，搭2個、3個正方形時，學生可以用畫一畫、數一數解決問題，但搭100個時，學生就需要探索正方形個數與小棒根數之間的關系，根據關系解決問題。顯然，這樣的問題無窮無盡，所以要啟發學生用符號表示正方形個數與小棒根數，從而一般化地解決問題。

總之，遇到需要簡潔表示或一般化表達數學的情況，都可以引入符號，讓學生結合當下的具體情境，理解運用符號表征的緣由和符號含義，促使學生今后遇到類似情況時自覺運用符號。

三、經歷符號表征的過程

符號意識培養的重要手段是帶領學生經歷用符號表征的過程。我們可引導學生在參與數學活動，建構數學意義的基礎上，依次用“通俗的自然語言”“簡潔的個體語言”“規范的統一語言”進行數學表達，有序經歷用符號表征的過程。

（一）用自然語言通俗表達

教師需要創設情境，引導學生參與數學活動，在活動中理解數學內容的本質，形成內部語言。以此為基礎，教師驅動學生出聲表達所建構的數學意義。該階段的表達，學生主要借助自然語言（文字）進行，教師主要的關注點是學生是否形成了正確的理解。

比如，教學“乘法分配律”時，教師先讓學生列式解決圖6中的問題，學生將兩種方法列成等式（6+4）×24=6×24+4×24。然后，讓學生比一比，尋找等號兩邊算式的聯系。接著，讓學生寫幾組這樣的算式，算一算是否相等。最后，讓學生觀察這幾組算式，得出發現。這最后一步就是引導學生用自然語言表達乘法分配律。值得注意的是，在表達規律前，學生要經歷理解規律、建構意義的過程，即經歷前面的步驟，這是不可或缺的認知過程。

（二）用個體語言簡潔表達

在學生正確理解數學意義，能用自然語言表達的基礎上，教師要激發其簡潔表達的內需，驅動學生借助漢字、圖形、字母等符號簡化自然語言。顯然，該階段學生會出現多樣化的表達，是個體相對簡潔的表示，其重要性不言而喻。正如史寧中教授指出的，“應鼓勵學生用自己獨特的方式表示具體情境中的數量關系和變化規律，這是發展學生符號意識的決定性因素”。

比如，教學“乘法分配律”時，在學生已經會用自然語言表達規律的基礎上，教師繼續啟發學生思考：符合這一規律的算式多嗎？能寫得完嗎？能不能用一道簡潔的算式將符合規律的所有算式都包括進去。實踐發現，學生能想出用含有文字、圖形、字母等符號的算式，如（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙，來表達規律。但不難預見，多樣化表示又會帶來交流的不便，需要進一步改進表達方式。

（三）用統一語言規范表達

教師需要在個體多樣化表達的基礎上激發統一表達的內需，再引出規范的符號表達，幫助學生理解意義。該過程也可以看作數學表達從多樣化到優化的發展。

比如，教學“乘法分配律”時，在學生的多樣化表達基礎上，教師進一步引發學生思考：大家想出的方法看起來不一樣，但其實都是表示乘法分配律，為了交流更加方便，我們將規律統一表示為（a+b）×c=a×c+b×c。

參考文獻：

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[4] 李艷琴，宋乃慶.小學低段數學符號意識測評指標體系的初步構建[J].教育學報，2016（4）.

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年度課題“小學數學高段教學實施數學抽象研究”（編號：Cb/2020/02/63）的階段性研究成果。