基于整體視角的圖形初步知識單元教學設計

丁黎森

摘要：以“線段的和差”的教學設計為例，探討基于整體視角的圖形初步知識單元教學策略，為學生整個初中段的幾何學習奠定牢固的根基。

關鍵詞：“線段的和差”;整體視角;教學設計

幾何的研究對象就是點、線、面、體。幾何單元把最基本的幾何元素作為研究對象，研究它們的定義、表示方法、分類及其性質。幾何學科首先針對線、角、中點、角平分線等建立概念體系，再從大小、分類、關系、性質等方面建立各幾何元素間的邏輯關系，最后滲透了類比、數形結合、分類討論、方程等作為解決問題的思想方法。本單元的內容覆蓋面廣，是整個初中段的幾何學科的根基。本單元的知識要點將融入學生今后學習幾何知識的每一個環節。

幾何單元從實際情境中抽象出幾何圖形，使學生進一步認識了點、線、面、體，讓學生在研究圖形的形狀、大小、相互位置關系中，從幾何角度提升自己對客觀世界的認識，這樣有利于學生形成科學的世界觀。波利亞說過：數學教育的意義并不是要教會學生去使用數學知識，而是要培養學生的思維習慣，一種數學文化修養。本單元的知識體系具有深刻的邏輯結構、豐富的直觀背景和鮮明的認知層次。在對概念的認知、大小的比較、和差的計算、性質的應用以及在解決實際問題等方面，學生既要對概念、性質有精準的把握，又要在對知識和技能正確理解的基礎上，用幾何語言規范嚴謹地表達，有效地培養推理嚴謹、言必有據和條理化的思維習慣，發展演繹推理和邏輯思維能力。

一、目標和目標解析

（一）目標

（1）經歷從實際情境中抽象出幾何圖形的過程，進一步認識點、線、面、體，了解幾何體與立體圖形、平面與平面圖形的概念。

（2）進一步了解線段、射線、直線、線段的中點、角、角平分線、補角、余角、相交線、對頂角、垂線、距離等有關概念及其相關性質。

（3）會用尺規作線段的和、差，會用量角器作一個角等于已知角。

（4）理解線段、角度的大小，會對線段的長度和角的大小進行度量，能理解線段、角的和差并能進行一些相關的計算;能用線段、角的相關知識解決一些簡單的實際問題。

（5）理解兩點間距離、點到直線距離的意義。

（6）直觀地理解平面上兩條直線之間的關系：相交與不相交。

（7）掌握基本事實：兩點確定一條直線，兩點之間線段最短。

（8）用正確的幾何語言進行表述。

（二）目標解析

經過分析，筆者確定了完成各個教學目標的依據。

完成目標（1）的依據是：能從日常生活中見到的物體抽象出幾何圖形，能分辨平面圖形與立體圖形，理解點動成線、線動成面、面動成體。

完成目標（2）的依據是：能理解相關概念的內涵與外延，在實際問題中準確表示出相關幾何元素，并能在解決問題時合理地選擇應用。

完成目標（3）的依據是：直尺、圓規、量角器是基本的幾何作圖工具，在尺規作圖的過程中本身就蘊含著幾何關系與思維邏輯，能準確畫出線段的和差、角的和差本身就是對知識本質的理解與掌握。

完成目標（4）的依據是：掌握線段、角的和差的數量化定義，同時也能從形的角度進行理解，能從復雜的圖形中理順有關線段、角之間的數量關系和邏輯關系，同時能運用數形結合、分類討論、方程思想等思想方法解決實際問題。

完成目標（5）的依據是：能畫出連接兩點的線段、點到直線的垂線段并能度量其長度，明白距離的可度量性，同時能區分兩種距離的不同之處。

完成目標（6）的依據是：直線的相交比較好理解，直線的不相交比較抽象，能從位置關系的角度來理解是從小學知識到初中知識的一個上升，同時要明白相交關系的特殊情況——垂直。

完成目標（7）的依據是：基本事實是整個幾何體系的基石，能從直觀上感受到基本事實的正確性和客觀存在性，并能用基本事實來解釋實際情境中的問題。

完成目標（8）的依據是：在對推理過程的幾何語言表述中，學生通過不斷地模仿、嘗試、修改、完善直到逐步適應，在解決實際問題中能把對知識和技能的理解準確地表達出來。

二、教學設計

（一）教學內容：6.4 線段的和差

（二）教學目標

（1）體驗“線段的和差”在實際生活中的應用，培養學生的抽象思維能力;

（2）了解線段的和、差概念;

（3）經歷畫線段的和、差，理解延長線的意義;

（4）理解線段中點的概念，掌握線段中點的性質;

（5）掌握有關線段的和、差、倍、分的簡單計算;

（6）通過探究線段之間的關系，滲透數學思想，訓練識圖能力，培養學生對數學的好奇心與求知欲。

（二）教學重點和難點

教學重點：線段的和、差、線段中點的概念，以及相關的作圖和運用線段的和、差進行計算。

教學難點：（1）例2涉及較多的線段和較復雜的數量關系，是本節的難點;（2）幾何證明過程的表述學生以前從末接觸過，如何把一道幾何題有條理、邏輯嚴密地表述出來，是本節課的另外一個難點。

三、教學過程設計

（一）情境導入，引出新知

有一天，小明剛好走到校園一邊的角落上，接到快遞小哥的電話，小明就在角落上等快遞小哥（如圖1所示）。在等的過程中，小明忽然想到一個問題：快遞小哥從哪條路過來會更近一些呢？這個問題實際上就是指在圖2中，走哪條線路更短。

思考：更近些指的是什么？

追問：有哪些方法？

【設計意圖】讓學生經歷從客觀實際到幾何圖形的抽象過程，體現了數學來源于生活。

（二）動手操作，探究新知

生：度量法，用刻度尺量出長度。（學生量出長度）

生：疊合法。

教師準備兩段繩子，讓兩位學生到黑板上具體操作，學生操作好后剪斷多余的繩子。

問題：哪條線路更短？（教師可以給予點撥，讓學生通過對比后回答）

【設計意圖】教師應給學生提供充分的觀察、實驗、操作的時間和空間，讓學生通過觀察圖形，思考兩種路線長短的比較，引導學生得到比較兩種路線的方法實際上就是先求每種路線中兩條線段的和，再比較和的大小，從而引出線段和的概念。在這一過程中，教師應讓學生充分感受與體驗知識的產生與形成過程，讓學生通過直觀的觀察來理解抽象的數學概念，加深對本課所學知識的理解與掌握。

1.線段和、差的概念

步驟1：

一般地，如果一條線段的長度是另兩條線段的長度的和，那么這條線段就叫作另兩條線段的和。線段c是線段a與b的和，記做c=a+b.

步驟2：

在這個步驟中，教師應用類比的方法讓學生得出：如果一條線段的長度是另兩條線段的長度的差，那么這條線段就叫作另兩條線段的差。線段a是線段c與b的差，記做a=c-b.

步驟3：

兩條線段的和或差仍是一條線段。

步驟4：鞏固對概念的理解。

練習1：觀察圖3，根據圖中所標線段的長度，你能得出哪些線段間的數量關系？

【設計意圖】教材用數量化定義兩條線段的和、差，使線段的和、差與線段的大小的定義處于同一體系，并與數的大小比較，使之與數的和、差等意義保持一致。本題就是要讓學生從數和形兩方面體會線段和、差的意義，滲透了數形結合的思想。

練習2：如圖4所示，C是線段AB上的一點.請完成下面的填空。

【設計意圖】從數量化來理解線段的和、差過渡到圖形上線段的和、差，讓學生進一步理解兩條線段的和與差仍是一條線段。線段的和、差是本堂課的重點，通過前面的學習，學生已經完成了相關知識的建構。為突出重點，本節課安排了相應練習，同時補充了線段延長線的概念。通過這組練習，學生進一步掌握知識、形成技能、發展思想、培養能力。

2.線段的中點

如圖5所示，線段AB=2，點C把線段AB分成相等的兩部分，這個點給它取個什么名字好呢？

生：中點。

師：能不能更準確些呢？

生：線段AB的中點。

追問：（展示手中的一段繩子）如果這段繩子代表一條線段，怎么找到它的中點？

生：用對折的方法找到。

師：用幾何畫板動態展示對折一條線段，得到線段的中點。

【設計意圖】通過向學生提問，組織學生小組合作，來研究線段的和與差的畫法。教師用圓規、尺子在黑板上作圖，引導學生完善作圖的步驟，加深學生的印象;組織學生觀察所畫線段的特點，通過發現“點C把線段AB分成相等的兩條線段AC和BC”這一特點引出“線段的中點”的概念，使學生能自然而然地接受新知識。

3.線段中點概念

如圖5所示，點C把線段AB分成相等的兩條線段AC與BC，點C叫作線段AB的中點。

∵點C是線段AB的中點，

∴AC=BC= ? ? ?AB， AB=2AC=2BC

如圖6所示，延長線段AB至點D，使BD=AC=CB，則點B、C叫作線段AD的三等分點。

（三）變式練習，鞏固新知

（1）如圖7所示，若CD=4，BD=7，點B是AC的中點，求AB的長。

【設計意圖】在具體的問題中應用線段的和、差以及線段的中點進行解題，幫助學生理順線段間的數量關系，為以后學習幾何證明打下堅實的基礎，實現本節課的教學目標，落實本節課的重點。

（2）如圖8所示，點C是線段AB的中點，點D、E把線段AB三等分，若CD=1.5，求AB的長.

【設計意圖】從簡單的線段的和、差到更復雜的數量關系，從線段的中點過渡到線段的等分點，體現了從簡單到復雜。本題的教學為學生邁好學習幾何第一步意義深遠，也是本節課突破難點的關鍵。

（3）已知點P為線段AB上一點，點P把線段AB分成的兩部分長度之比為2：3，若AP=4cm，求PB、AB的長。

【設計意圖】知識為骨干，思想為靈魂，數形結合、分類討論、方程思想這三大數學思想在本題都徐徐展開，開拓了學生的視野，豐富了學生的思想，訓練了學生的能力，也激發了學生學習數學的興趣和探索數學知識的欲望。

（四）課堂小結，內化新知（如圖9所示）

（五）作業布置，落實新知

（1）書本P152、P153課內練習、作業題。

（2）作業本。

四、目標檢測設計

（1）如圖10所示，C、D、E是線段AB上的三個點，下列關于線段CE的表示：①CE=CD+DE;②CE=BC-EB;③CE=CD+BD-AC;④CE=AE+BC-AB

【設計意圖】考察學生對線段的和、差的理解，讓學生學會觀察圖形，從圖形中去尋找線段的和與差的關系。

（2）已知線段AB，C是直線AB上一動點，P是線段AC的中點，Q是線段BC的中點.

①若點C恰好為線段AB上的一點，且AB的長為10cm，則PQ= ? ? ? ? cm;

②求線段PQ與線段AB長度的關系

【設計意圖】考察學生對線段中點的理解，讓學生體會用運動的觀點看待問題，讓分類討論、方程思想、數形結合思想滲透到學生的思考中，并嘗試培養在復雜關系中尋找所需的數量關系的能力。

（3）已知：AB=5，BC=3，求：（1）AC的最大值;（2）AC的最小值。

【設計意圖】這個題目看似簡單，實則需要較強的幾何直覺能力，一開始大部分學生會感到簡單，但又覺得不好把握。通過本題的練習，逐步培養學生對一個問題全方位思考的能力，化靜為動，又能從動中尋找出不變的規律。

總之，本課是學生幾何證明、幾何邏輯思維的開山之作，從這一節課起，學生真正進入了波瀾壯闊的幾何的學習，學生幾何證明之路開始邁出了第一個踏實的腳步。

參考文獻：

[1] 李曉文，王瑩.教學策略[M].北京：高等教育出版社，2000.

（責任編輯：奚春皓）