基于半翻轉課堂的混合教學模式下數值分析課程的建設

譚志軍 江穎 吳靜文 陳健軍

摘 ?要：文章根據數值分析課程的教學特點，構建并詳細闡述了符合課程特點的基于半翻轉課堂的混合教學模式。對于不同學習階段的學生，針對不同的著重點進行分層教學。在整個教學過程中，堅持以“教師為主導、學生為主體”的理念，充分發揮線上教學和線下教學所帶來的優勢，從而提高學生自主學習的積極性，提升教師教學的質量。

關鍵詞：數值分析;混合教學模式;分層教學;半翻轉課堂

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A ? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2021）34-0071-05

Abstract： According to the teaching characteristics of numerical analysis course， this paper constructs and expounds in detail the hybrid teaching mode based on the semi-flipped classroom. For students at different learning stages， stratified teaching mode is carried out according to different emphases. In the whole teaching process， the mode adheres to the concept of "teachers as the leading and students as the main body" and make full use of the advantages of online and offline teaching， which improves the students' learning enthusiasm and the quality of curriculum teaching.

Keywords： Numerical Analysis; mixed teaching mode; hierarchical teaching; semi-flipped classroom

由于新冠肺炎疫情的影響，在這一兩年內，各大高校均采取過線上教學模式，使無法到校的學生能夠按時上課，順利畢業。現在國內疫情情況有了好轉，學生們都能夠坐在課堂里上課。通過兩種教學模式的實施，我們發現傳統線下教學與網絡教學各有其優缺點。傳統線下教學采用的是線下面對面教師講授為主的教學模式，這種模式能夠有效觀測到學生的學習狀態，但所教授的知識點局限于課本。雖然線上教學時間地點靈活，資源豐富，但是在此模式下學生的學習效果與學生的學習狀態都缺乏有效的監督與管理。因此，對數值分析課程改革迫在眉睫，新時代的背景下數值分析課程的教學設計必須將理論和實際相結合，著重設計完善學生的知識體系、動手能力的課程模式，這對于提升教師教學質量、提高學生的興趣，對數值分析的課程建設有深遠意義。

一、新教學模式

（一）混合教學

混合教學方式將線上教學與傳統線下教學有效結合在一起，培養學生自主學習的習慣，促進線下課堂教學質量的提升，增加教學方式的多樣化。

20世紀90年代隨著計算機的發展，數字化學習被國外眾多學者提出并基于此構造了線上線下相統一的混合教學模式，在發展一段時間后由于國外學者的理念沖突，導致數字化學習在2001年前后進入低潮之后，國外教育學者在吸取前一時代的經驗后，在設計教學模式的過程中考慮將網絡學習、傳統學習兩者相結合并依托互聯網遠程通信的快速發展，從而構造出與數字化學習模式不同的在線教學與傳統線下課堂教學相結合的新型教學模式。此教學模式在當時被譽為是“最有效的教學形式”。之后，以慕課為依托，線上線下互相結合的混合教學方式又得到了極大發展。順應這個趨勢，國內原打算實施國外20世紀90年代的傳統網絡教學模式，但進入21世紀，我國與國外溝通加深，國內學校了解混合教學模式的進展后，結合自身情況在課程大綱準備和教學實施過程中不斷向混合教學模式轉化。這一跨世紀的教學改革給國內高校帶來深遠的影響;首先由國內頂尖高校帶頭采用混合教學方式來開展思政課進而普及到其他普通院校。

目前形成的混合教學方式主要包含兩個教學部分，一是課前、課后的線上教學模式，學生利用課余時間，通過網絡教學平臺如微課、慕課等提前學習相關知識點完成初級階段的學習目標;學習完網上課程后，學生通過網絡教學平臺完成復習、作業以及利用網絡優勢深入了解課題。二個是線下教學模式，主要是師生線下面對面授課方式，老師能有效掌握學生的學習情況，學生也能更好地與老師溝通交流。混合教學方式是教育改革的一次有力嘗試，其依靠網絡信息快捷傳遞的優勢，將教育資源進行優化重組，并傳遞到各個角落，真正擺脫傳統教育受時間與空間的局限性，進一步實現教育公平化、多元化、科學化[1]。

（二）半翻轉課堂

半翻轉課堂為翻轉課堂的進一步發展，其解決了翻轉課堂的一些不確定性因素。在翻轉課堂中微課作為課前學習環節里的重要載體，是翻轉課堂模式能否有效開展的重要先決條件，其作用、地位不言而喻。但是，在使用翻轉課堂進行課堂教學的一個重要條件為：學生自身需具備不俗約束能力和自學能力，而這只是一種理想的研究基礎。實際上，學生個體在成長過程中因環境不同，將產生巨大的差異。在獨立學習的環境中，被動自制力差的學生會在無人約束情況下將用來學習微課視頻的課前時間，通過打游戲等娛樂方式而消耗;或者因為不良學習風氣的影響以及其他學科的過重負擔也無法正常開展學習。學生整體的自覺性達不到研究者預期的理想情況，以此作為基礎研究對象的研究勢必無法實現預期的效果。因為研究群體具有如此高的不確定性，翻轉課堂很難實現真正的翻轉。所以，以微課為核心的翻轉課堂并沒有給人帶來驚喜的效果，成效甚微，不能被廣泛應用到教學實踐中。因此，半翻轉課堂模式應運而生。

半翻轉課堂的教學模式是翻轉課堂的改良，由翻轉課堂的純微課學習轉換為：課堂討論和新知識授課兩部分，分別由學生和教師主導，能夠使學生加強線上、線下活動的結合，提升課堂參與感，提高學習主動性、興趣性[2]。傳統教學是以教師講授，學生傾聽的模式開展。在半翻轉課堂的設計中，學生通過課前學習，小組討論可以向教師提出問題。合理設計課程，發揮學生的主觀能動性，引導學生合作學習，在適當時候教師進行答疑并強調重點。

二、數值分析課程的教學特點

數值分析課程主要內容為：以科學計算為核心，通過各種數學問題數值求解計算方法來呈現科學計算和數學在實際場景應用的課程，目前該課程在國內外大學理工科專業中普遍開設。在時代的變遷中科學計算已經成為現代工業的一個重要工具，科學計算已成為科學研究、管理經濟、工程技術等領域的必要部分，因此，對于數值分析的研究和應用已經擴展到自然科學、經濟和工程技術等多個領域;然而數值分析是一門建立在數學分析、高等代數、矩陣分析等數學基礎課上，研究數學問題近似解并利用計算機技術進行驗證與實現的綜合性學科。數值分析已經成為高等學校理工科的一門重要課程，綜合了分析、代數、方程等數學理論與其他相關數學課程相比它更偏重于應用，但課程中所提到的基礎理論和方法已經在其他專業課程中運用，甚至在解決實際問題中也常常會用到，其內容包括有數值代數、數值逼近、微分方程數值解等結構比較松散的理論知識，因此在教學過程中我們既要讓學生體會到數值分析課程在數學理論上的邏輯性和抽象性，更要讓學生體驗到在掌握數值算法基本原理的前提下設計算法編程求解具體數學問題的實踐性。

（一）數學理論的特點

數值分析課程的內容主要包含如下幾個部分：誤差分析、 數值逼近、數值微積分、線性方程數值解法、非線性方程數值解法和微分方程數值解等。雖然數值分析中的許多理論知識是在高等數學中已經學習過，但是與單純的學習理論分析不同，數值分析的理論知識更注重運用理論知識構造并分析數值算法。比如，利用微積分原理分析對Lagrange插值多項式進行誤差分析、利用Taylor 級數構造差商型數值微分公式、運用矩陣分解理論構造追趕法求解線性方程組、利用Taylor展式構造并分析常微分方程初值問題的數值解法、在sololev空間下利用green公式將微分方程邊值問題轉化為與之等價的變分問題，再基于變分問題導出有限元法[3]。由上述例子可以看出，數值分析中涉及的理論知識點是由許多不同的數學基礎知識組成的，結構比較松散。

（二）數值實驗的特點

雖然數值分析中的理論推導是抽象的，但是由理論推導出來的數值公式都可以通過編寫代碼在計算機上實現并用于求解具體的問題。在計算機上進行數值實驗讓學生能夠感受到科研的樂趣，培養學生實際動手能力與探索能力。在實際教學中，除了教材中列出的數值算例，還可以根據教學內容選取一些簡化的實際問題鼓勵學生運用數學建模知識建立數學模型，利用所學的數值方法借助編程語言求解數學模型。由此可發現數值分析既含有純數學的高度抽象性與嚴密科學性等特點，又有廣泛性與實用性相結合的高度技術性的特征。因此，在實際教學的內容組織上，應兼顧該課程具有理論性和實踐性的特點，采取以下步驟進行教學：（1）實際問題;（2）數學問題提法及存在性;（3）方法構造性;（4）算法的收斂性及穩定性。采取以上步驟的同時強調，數值分析此門課程中最重要的三個思想：近似思想、迭代思想、離散化思想。數值分析作為一門實踐性強的數學方法課程，實驗內容必不可少，具體部分可以分為三個層次：上機實習（學會常用編程語言，完成配套的基礎實驗題）、課程設計（利用數值方法解決較復雜和應用性問題）、數學建模（利用數學知識，求解較復雜和較強應用性的實際問題）[4]。

數值分析常用的軟件為Matlab軟件，它是一個用于數值計算、圖形處理和符號計算等科學計算的系統環境，其主要特點之一就是將高性能的數值計算和結果可視化有機融合，為在數值分析課程教學中實現數值計算、動畫演示教學和動態數據分析要求提供了可能[5]。在教授數值分析課程的同時還需引導學生掌握Matlab的使用方法。

三、分層教學

分層教學課程就是教師確定班級學生現有的知識、能力水平和學習潛力，并將全體學生通過某些標準科學地分成若干發展水平相近的學習小組，在教師分層策略以及成員的相互作用中這些小組的成員能在課堂上得到符合自身的發展和提高，以上的分組教育學者稱之為分組教學、能力分組，其主旨是將學生按照過往學習中所展現的學業水平、知識接受度的不同進行科學分組，教師根據不同小組的實際水平安排不同的學習任務以及學業目標。分層教學要將學生進行科學的分層，根據學生不同的水平，分為不同的目標層次，對不同目標層次的學生，教師需采用不同的學業目標以及教學目標。評價分層：不同層次采用不同的考核方法。分層教學理念是因材施教觀念的具體表現，充分發揮了教育內涵。在分層教學的過程中，針對本課程只是更新快、信息量大、教學學時少等特點，采取半翻轉課堂教學模式達到更好的教學效果。總的原則是教學形式基本相同，即教材相同、課時數相等、進度一致、教學手段基本統一，不同之處是對各個層次的深度要求不同，從而帶動全體學生積極參與學習[6]。

根據數值分析課程的特點，對于本科生與研究生，需要有不同的側重點，于本科生以及研究生中不同層次學生也要有不同的針對點。在針對本科生教學時，應注重理論的講解，培養學生理論分析的能力，為算法的學習打好基礎。對于研究生而言，應著重培養他們進行數值實驗的能力。在設置問題時，采用簡單、中等難度的習題和數值實驗。對于本科生，理論練習的題目應多于數值實驗的題目;對于研究生，應選取較多的數值實驗的題目。具體分層如圖1所示。

（一）本科生分層

由于數值分析課程一般開設于本科三年級階段，則針對本科生，根據其目標分層大致將其分為兩組，分別為：升學考研組以及完成學業組。

對于考研升學組：此類學生通常需要對該課程進行深入的學習，因此此類學生的目標力求知識點講授得清楚，同時在教學中也進行數學史的介紹，讓學生了解一些該學科的發展過程，并且培養學生的理論推導能力與自主學習能力。

對于完成學業組：此類學生通常只需完成該課的學習任務，因此，對此類學生的教學內容，要在注重各部分知識點的基礎上，介紹其背景及應用范圍。同時，針對教學培養的目的，還應將培養學生自主建模解決實際問題的能力納入其中。

（二）研究生分層

在研究生與導師取得聯系確定基本方向后，應遵循研究生意愿的基礎上，將研究生分為兩大類進行分層培養：其一是對學術擁有濃厚興趣，并立志走向科研方向的學術型研究生，其二則是對實際應用頗感興趣，傾向于將自身所學用于工程實踐的應用型研究生。在研究生確定以上兩種不同分類后，需要隨著時間的推移、時刻關注學生的后續學習和研究情況進行動態調整。在培養過程中對于科研為導向的學術型研究生：學生需要對該門課擁有更深層次的理解，能對現有知識進行升級、推導新的知識，并應用到更廣的內容里去;對于工程實踐為主的應用型研究生：學生需要對此門課所講述的方法進行深層次的應用。研究生的分層培養將不同類型的學生按照各有側重的培養方案進行培養，使其在研究生的學習生涯中獲得未來工作或科研相關的能力，充分發揮各自的特長。因此，對于兩種類型研究生的課程教學調整是十分必要的，這樣能使學生更好的學習，并對學生進行更深層次的科研或參加應用性較強的工作大有幫助。然而，由于現階段各高校的客觀條件有所限制以及主管單位在培養中的不充分重視，導致大部分科研型研究生和應用型研究生的培養方案并沒有得到區分，而此做法必然會影響研究生的培養目標，從而導致研究生培養質量的下降。因此，針對研究生教育的分類教學改革對于研究生本身的發展及其所在學校的發展都有十分重要的意義。

四、基于半翻轉課堂的混合教學模式下數值分析課程分層教學體系的架構

基于半翻轉課堂的混合教學主要采用如圖2所示的教學模式。下面我們將詳細介紹教學模式中的每一個環節。

（一）課前的線上學習

課前為線上學習階段，此階段主要依賴教師在教育平臺上傳學習資料，學生在線自主學習。將本節課所要學習的目標、重難點寫入教學ppt或文檔中。根據數值分析課程特點，我們通過求解數學模型引入數值算法。比如在插值法這一章節的講解中，我們根據現代機械工業中用計算機程序控制加工機械零件[7]這一實際問題引入插值法。在拍攝的5～10分鐘的微課視頻中，教師著重講解數值方法的構造和應用。如在插值法這一章中，我們首先講解Lagrange插值多項式的構造與應用，重點講解基函數的構造。結合Matlab軟件展示數值結果如：繪制基函數的圖形， 使學生更好地理解Lagrange插值多項式的構造;通過不斷增加插值節點的個數，舉例讓學生體會到Lagrange插值的Runge振蕩現象。隨后我們從理論角度解釋Runge現象即理論分析插值余項，從插值余項公式分析為何會出現高次多項式插值的Runge振蕩現象。設計簡單、中等難度的習題和數值實驗例子，其中簡單難度的習題和數值實驗為課前必做題。為了解決數值實驗中的算例，教師在所給的文檔中需要給出Matlab軟件基本的使用方法或者推薦相關參考書。在數值算例的習題中，教師應當給出一定的提示，幫助學生完成代碼編寫。最后，教師可根據本節的內容推薦相關知識的延伸與應用，例如Lagrange插值多項式在高次插值時出現Runge現象，那又該如何克服Runge現象呢？

（二）課中的線下學習

在線下的課堂中，我們采取半翻轉課堂的形式即討論與授課相結合。平均每5～8人一組討論課前預習時遇到的困難并由一人在講臺前總結該小組的疑問，其他同學可以幫忙解答。在學生互動結束后，教師根據學生的問題講解相應的知識點。為確保學生能夠全面了解數值分析的理論體系和其思維特點，我們在教學過程中簡化了部分數學理論及其證明[8]。對于重點推導，我們需要在課堂進行強調;對于數值實驗中的難點，我們需要在課堂上進行解釋。

（三）課后的線下學習

課后教師上傳中等難度的課后習題。根據課程安排需求，適時上傳期中考核、期末考核。學生根據課上的答疑繼續完成之前的練習，同時完成課后練習、上傳代碼、系統驗證。

（四）課程成績的評定方式

根據課程模式的特點和數值分析課程的特點，我們采取如下的評分模式：平時線上成績占50%，期末理論考試占50%。每次設置線上習題時，教師需要合理安排分數，期中，數值算例在每一章節的分數中占70%，最終平時線上成績是每堂課的線上成績的均值。這樣的評分方式不僅使學生們能夠重視每一次的線上學習，而且能夠鍛煉學生對數值算法的實際應用能力。

五、結束語

本文針對數值分析課程的教學特點，提出將半翻轉課堂與混合教學兩者融合的教學模式。對于本科生與研究生，我們分別側重于理論的講解和數值實驗的練習。在該模式下，課前設置問題，錄制相關基本知識點的視頻，鼓勵學生先獨立解決問題，提高學生對線下課程的參與熱情和主動性。線下課程中，學生帶著問題相互討論，培養了學生的合作精神，改變了教師先教學生后學的教學模式。通過線上學習、小組討論、教師的針對性解答和綜合性指導， 加深了學生對數值分析中算法構造和重點理論的理解，也培養了他們用數值算法解決實際問題的意識和能力。通過教學實踐，多數同學認為基于半翻轉課堂的混合教學模式下數值分析課程能提高自身的學習效率，使自己能夠帶有目的性的去學習，更能讓自己充分利用網絡資源進行探索性學習。

參考文獻：

[1]中共中央宣傳部.習近平總書記系列重要講話讀本[M].北京：人民出版社，2016.

[2]郭建，蒲戈光.半翻轉課堂的嵌入式系統設計課程混合式教學模式[J].計算機教育，2021（8）：157-160.

[3]張誠堅，覃婷婷.科學計算引論[M].北京：科學出版社，2011.

[4]孫杰寶，張達治，吳勃英.工科研究生“數值分析”課程分類教學改革探討[J].天津市教科院學報，2018（4）：69-71.

[5]孫智娟，徐杜，鐘舜聰.MATLAB在計算機輔助《數值分析》與計算中的應用[J].計算機工程與科學，2002（1）：70-73+107.

[6]張美玲.中職校《計算機應用基礎》分層教學實踐的研究[D].揚州：揚州大學，2013.

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