基于核心素養的高中數學概念課教學設計

陸萬順　陶閨秀

[摘? 要] 數列是高中數學學習的重要內容，而數列概念作為學習數列的基礎，在教學中起著舉足輕重的作用. 學生只有充分掌握了數列概念，才能為學習等差數列、等比數列等知識奠定牢固的基礎. 因此，文章以“數列的概念”的教學設計為例，從“對基于核心素養的高中數學概念課教學設計的理解”“教學設計與分析”“小結”三方面，初步探索基于核心素養的高中數學概念課的教學設計，力求可以在高中數學概念課教學中更好地滲透核心素養.

[關鍵詞] 核心素養;概念課;高中數學;教學設計

對基于核心素養的高中數學概念課教學設計的理解

中學數學是由概念、命題經推理組成的邏輯體系，概念、命題和推理是邏輯思維的三大基本形式，其中，概念是邏輯思維的細胞，是反映事物本質屬性和特征的思維形式[1]. 數列概念的教學蘊含著許多數學知識和重要的思想方法，是培養學生核心素養的良好素材. 基于核心素養的高中數學概念課教學設計實際上對教師提出了更高的期望，要求教師在教學中除了具有培養學生核心素養的意識外，還要具備挖掘學生核心素養培養的機會和載體的能力，從而將數學核心素養很好地融入教學. 那么，“如何將數學核心素養融入數列概念的教學”是值得教師思索的. 下面以“數列的概念”為例，文章給出了基于核心素養的高中數學概念課的教學設計與分析.

基于核心素養的“數列的概念”的教學設計與分析

1. 教材分析

“數列的概念”是人教版高中數學必修5第二章第一節“數列的概念與簡單表示法”的第一課時，主要內容包括數列的定義、數列的項、數列的一般形式、數列的分類、數列與函數的關系、數列的通項公式這六部分. 作為基本概念，數列是一種特殊的函數，是數學的重要研究對象，是研究其他類型函數的基本工具[2]. 作為單元起始課，數列概念的教學有助于學生了解數列的應用、數列的本質，為后期學習等差數列、等比數列奠定牢固的基礎.

2. 學情分析

學生在學習本節課之前已經學習了集合、函數等相關知識，對集合及函數的研究方法也有一定的了解，基本可以按照“概念—表示—性質—應用”這一順序開展數列教學;并且高二學生的心理基本趨于成熟，已經具有了抽象思維的能力及獨立思考的意識，這為本節課的順利開展提供了基礎經驗和能力.

3. 教學目標

將《普通高中數學課程標準（2017年版）》同教材分析、學情分析相結合，制定了如下教學目標.

（1）理解數列的相關概念并能對數列準確分類. （直觀想象、數據分析、數學抽象、邏輯推理）

（2）通過探究數列與函數的關系，了解數列是一種特殊的函數并能體會到數列的項與序號之間的函數關系. （直觀想象、邏輯推理、數學建模）

（3）能夠根據數列的通項公式列出數列的項，能夠根據列出的數列的項歸納出數列的通項公式. （數據分析、直觀想象、邏輯推理、數學運算）

（4）通過引入大自然、現實生活等方面的實例，經歷數列概念概括這一過程，體會從特殊到一般的數學思想，感受數學的抽象美. （邏輯推理、數學建模）

4. 教學的重難點

教學重點：理解數列的相關概念;知道數列是一種特殊的函數.

教學難點：在函數的觀點下理解數列概念，能夠根據列出的數列的項歸納出數列的通項公式.

5. 教學方法

為了幫助學生更好地學習數列，讓核心素養滲透到數列概念的教學中，筆者將問題驅動、自主探究等教學方法有機地貫穿于教學的各個環節，引導學生在感知的基礎上加以抽象概括，充分遵循“（從）感知→（經）表象→（到）概念”這一認知規律. 在教學過程中充分發揮多媒體課件的作用，通過設計“問題串”，引導學生建立新知與舊知的聯系，從而發展學生的直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養.

6. 教學過程

（1）創設情境，引出新知.

師：（例1）觀察單元主題圖，每朵花的花瓣數依次是——

生：3，5，8，12.

師：（例2）觀察下列圖形，正方形的個數依次是——

生：1，3，6，10.

師：（例3）觀察下列圖形，正方形的個數依次是——

生：1，4，9，16.

師：（例4）請寫出本班坐在第一排學生的學號組成的一組數.

生：29，13，45，2，14，8，51，34.

師：（例5）請寫出無窮多個3構成的一組數.

生：3，3，3，3，….

師：（例6）按照從大到小的順序寫出目前通用的人民幣的面額（單位：元）.

生：100，50，20，10，5，1，0.5，0.1.

設計意圖：本環節作為本節課的課堂導入，筆者列舉了有關大自然、現實生活等方面的實例，讓學生在直觀感知中抽象出數列的定義，將抽象的概念具體化，激發學生對新知的學習興趣，進而引出本節課的課題——數列的概念.

（2）引導探索，生成概念.

問題1：觀察以上6組數，它們有哪些共同特征？

生：他們都是一組數.

問題2：能隨意調換以上5個例子（除例5外）的數的順序嗎？

生：不能.

問題3：我們把具有這樣特征的一列數稱為數列. 你能總結出數列的定義嗎？（小組討論）

注意：在這個過程中學生基本上能用自己的語言總結出數列的定義，但會存在一些問題，這時需要教師適當地引導與規范.

概念1：按照一定順序排列的一列數稱為數列.

設計意圖：通過設計的“問題串”引導學生觀察后分析出數列的特點，進而抽象出數列的定義，發展學生的直觀想象、數學抽象等核心素養.

問題4：在這個概念中，你認為哪些字眼需要強調？

生：數、順序.

問題5：回憶以前學過的知識，想一想：除了數列外還有什么知識點也涉及“順序”？

生：集合.

問題6：數列和集合有什么關系呢？

生：集合講究無序性、互異性、確定性，數列講究有序性、可重復性、確定性.

總結：數列與集合既有聯系又有區別.

問題7：在集合中，“數”稱為什么？

生：元素.

問題8：在數列中，“數”稱為什么？

生：項.

概念2：數列中的每一個數都叫做這個數列的項.

師：排在第一位的數稱為這個數列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數稱為這個數列的第2項，以此類推，排在第n位的數稱為這個數列的第n項.

問題9：觀察數列的項的概念，說一說你有什么發現.

生：數列的每一項都和它的序號有關.

一般形式：數列的一般形式可以寫成a，a，a，…，a，…，簡記為{a}.

師：其中，a稱為數列{a}的第1項，a稱為數列{a}的第n項. （此處教師要引導學生注意區分a與{a}）

問題10：根據集合的分類，思考如何對數列進行分類.

生：根據元素的個數，集合可以分為有限集、無限集. （推導出數列可以按項數分類）

分類1：按數列的項數可以把數列分為有窮數列和無窮數列.

設計意圖：本環節滲透了類比遷移的數學思想，引導學生察覺數列與集合的聯系，通過類比集合得到數列的項的概念、數列的第一種分類（分類1），發展學生的直觀想象、邏輯推理等核心素養.

（3）聚焦函數，深化概念.

問題11：在一個數列中，知道了項數就能確定對應的項，如果用下面的形式（如圖1所示）來表達這一關系，你發現了什么？

生：可以發現數列的項數與數列的項是一一對應的關系（項數“1”對應著a，項數“2”對應著a，項數“3”對應著a……項數“n”對應著a），可以想到函數.

問題12：思考數列與函數有什么關系.（小組討論）

生：數列是一種特殊的函數.

問題13：既然數列是一種特殊的函數，你能說出數列的定義域、值域嗎？

生：數列的定義域是正整數集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}），值域就是數列所有的項組成的集合.

注意：在這一過程中，可能一部分學生只說出了數列的定義域為正整數集但忽略了有限子集{1，2，…，n}，此時教師要及時引導學生完善認知，并同前文給出的5個例子相結合，發現對于有窮數列來說，它的定義域應該是有限的.

結論：數列可以看作一個定義域為正整數集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數a=f（n）當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值. 反過來，對于函數y=f（x），如果f（i）（i=1，2，3，…，n）有意義，那么我們就得到了一個數列：f（1），f（2），f（3），…，f（n），….

問題14：函數具有單調性，既然數列是一種特殊的函數，那么類比函數的單調性，你認為數列除了按項數分類外還可以如何分類？（分析前文5個例子）

生：可以根據數列的項的大小進行分類，分成遞增數列、遞減數列、既不是遞增也不是遞減數列.

分類2：按照數列的項的大小進行分類：遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列. （可以引導學生觀察前文的例4、例5，直觀感知擺動數列、常數列）

問題15：數列的項數與數列的項是一一對應的關系，能否用一個式子來表示出它們的對應關系？

概念3：如果數列{a}的第n項與序號之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做數列{a}的通項公式.

設計意圖：本環節聚焦函數，主要探討數列與函數的關系、數列通項公式的概念、數列的第二種分類（分類2），通過自主探究、合作交流等方式使數列的概念得到進一步深化，使學生了解到數列是一種特殊的函數，發展學生直觀想象、邏輯推理、數學建模等核心素養.

（4）運用提升，理解感悟.

題1：分別寫出下面的數列.

①0～20之間的質數按從小到大的順序構成的數列.

②0～20之間的合數的正平方根按從小到大的順序構成的數列.

題2：根據下列數列{a}的通項公式，寫出它的前5項.

①a=;②a=（-1）n+1（n2+1）.

題3：觀察下面數列的特點，用合適的數填空，并寫出各數列的一個通項公式.

①（ ），-4，9，（ ），25，（ ），49;

②1，，（ ），2，，（ ），.

設計意圖：本環節，筆者遵循從簡到難、循序漸進的原則，設置了3道練習題，讓學生從最簡單的按要求寫出數列，到根據數列的通項公式寫出數列的項，再到補充缺少的項后寫出通項公式.這一環節充分考慮了每個學生，使學生在練習中發展邏輯推理、數學運算等核心素養.

（5）歸納總結.

問題16：通過本節課的學習，你都有哪些收獲？（引導學生從數學知識、思想方法、數學應用三方面進行總結）

設計意圖：筆者采用問題驅動的方式，讓學生自己進行歸納總結，從而幫助學生梳理課堂學習的主要內容，發展學生歸納概括的能力.

（6）作業布置.

①閱讀32頁的“閱讀與思考”，思考斐波那契數列的特點.

②根據本節課的學習內容自主進行查漏補缺練習.

設計意圖：本環節，筆者設計了多元化的數學作業，主要分為閱讀、練習兩種，讓學生在掌握課堂知識的基礎上滲透一些數學文化，使其體會數學的文化價值，發展多種核心素養.

總結

數學概念教學是在教學中向學生講授數學概念的名稱、定義、屬性、本質內涵等相關內容的教學活動，是引領學生打開數學知識大門的第一步，可以培養學生的數學核心素養，同時激發學生的數學興趣、豐富學生的數學文化底蘊、培養學生的優秀品質[3]. 因此，教師在概念教學中應始終堅持發展學生的核心素養，無論是在問題情境的創設上還是在處理新舊知識的聯系上都應該處處滲透數學核心素養. 通過對“數列的概念”教學的實踐分析，為了更好地落實數學核心素養，總結教學設計如下：

基于核心素養的高中數學概念課教學設計應在教學過程中充分挖掘發展核心素養的機會和載體. 例如，在探究數列定義的過程中，筆者通過設置“問題串”讓學生觀察給出的數列實例，進而歸納出數列的定義，發展了學生直觀想象、邏輯推理等核心素養;在數列的一般形式、數列的項、數列的通項公式的教學中滲透了邏輯推理、數學運算等核心素養;在數列的分類的教學中發展了學生的邏輯推理、直觀想象等核心素養.

基于核心素養的高中數學概念課教學設計應以數學教學的基本規律為基礎防止知識的建構過程與核心素養的培養本末倒置. 數學教學要以建構數學知識為基礎，如果忽視了這個基礎，任何三維目標、任何核心素養的培育都是空話[4].

基于數學核心素養的高中數學概念課教學設計要堅持“以學生為主”的教學原則. 新課改強調“以人為本”的學生觀，主張將課堂還給學生，教師在課堂上要給予學生足夠自主探究、獨立思考的機會和時間，讓學生在自主探究、合作交流的過程中發展數學核心素養.

基于數學核心素養的高中數學概念課教學設計要加強滲透數學文化，讓學生對概念的產生背景、發展過程有一定的了解，體會數學概念的形成過程并不是一蹴而就的，并且在了解數學歷史過程中體會數學家運用的思維方式，有助于提升學生的核心素養.

參考文獻：

[1]? 蔡海濤，林運來. 核心素養下高中數學概念課教學策略[J]. 數學通報，2019，58（09）：20-25+66.

[2]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]? 劉思余，周學勇. 基于核心素養的數學概念教學案例設計與分析——以初中《函數的概念》的教學為例[J]. 科技風，2021（08）：62-63.

[4]? 郭嵐. 高中數學“數列”教學中的核心素養培育元素思考[J]. 數學教學通訊，2019（12）：44-45.

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