湘教版與人教A版高中數(shù)學(xué)“預(yù)備知識”內(nèi)容的比較研究

魏自盈 彭燕偉 呂世虎

【摘要】文章采用文本分析法和比較法，從體例結(jié)構(gòu)、內(nèi)容分布、內(nèi)容呈現(xiàn)方式和例習(xí)題設(shè)置等四個維度比較研究了湘教版和人教A版高中數(shù)學(xué)“預(yù)備知識”的主題內(nèi)容。發(fā)現(xiàn)湘教版的欄目更凸顯數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)方法，人教A版的欄目則注重學(xué)生活動的引導(dǎo)和數(shù)學(xué)知識的拓展；湘教版注重知識的顯性呈現(xiàn)，人教A版一些知識隱形呈現(xiàn)，需要歸納總結(jié)；湘教版注重用生活情境和中國傳統(tǒng)文化故事引入，人教A版注重于用數(shù)學(xué)情境引入；湘教版的例習(xí)題總量多于人教A版，人教A版的綜合性習(xí)題數(shù)量多于湘教版。基于此，為方便教師使用湘教版教科書，提出了幾點建議。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；湘教版；人教A版；預(yù)備知識；比較研究

【中圖分類號】G633.6【文獻標志碼】A【文章編號】1004—0463（2022）06—0119—05

高中數(shù)學(xué)必修課程包括預(yù)備知識、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動五個主題。設(shè)置“預(yù)備知識”主題是《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》內(nèi)容的一個重大調(diào)整，該主題以義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為載體，結(jié)合集合、常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系、從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)作了學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式和知識技能等方面的準備，幫助學(xué)生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡[1]。下面，筆者比較研究高中數(shù)學(xué)湘教版和人教A版教科書“預(yù)備知識”的主題內(nèi)容，為一線教師的教學(xué)和深入研究提供參考。

選取湖南教育出版社出版的普通高中數(shù)學(xué)教科書[2]（以下簡稱“湘教版”）和人民教育出版社出版的普通高中數(shù)學(xué)教科書A版[3]（以下簡稱“人教A版”）的“預(yù)備知識”主題內(nèi)容為研究對象。采用文本分析法和比較法從體例結(jié)構(gòu)、內(nèi)容分布、內(nèi)容呈現(xiàn)方式和例習(xí)題設(shè)置等方面對這兩版進行比較研究。

（一）體例結(jié)構(gòu)

編寫教科書，需要把知識內(nèi)容通過一定編排格式表達出來，這個編排格式就是體例結(jié)構(gòu)。不同的教科書，采用不同的體例結(jié)構(gòu)。教科書的體例結(jié)構(gòu)，可以從章結(jié)構(gòu)和節(jié)結(jié)構(gòu)兩個方面分析。（如圖1、圖2）

通過比較發(fā)現(xiàn)，兩版教科書的章欄目和節(jié)欄目都比較豐富，各具特色。

關(guān)于章欄目，湘教版設(shè)計了“數(shù)學(xué)文化”欄目，且在第1章通過這個欄目闡述了“從德·摩根到康托爾：邏輯與集合”擴寬學(xué)生對邏輯與集合的認識。

關(guān)于節(jié)欄目，兩版教科書都有核心內(nèi)容、練習(xí)題、習(xí)題，都注重學(xué)生思考、交流和探索能力的培養(yǎng)。其中，湘教版的正文中設(shè)計了提示、問題和歸納等貼士，旨在提示學(xué)生注意一些易混淆的內(nèi)容，啟發(fā)學(xué)生進一步思考，歸納知識點及數(shù)學(xué)思想方法，還在某些章節(jié)設(shè)計了“多知道一點”欄目。人教A版在正文中設(shè)計了“觀察”“思考”“探究”等欄目，旨在引導(dǎo)學(xué)生的探究活動，在正文的邊空處設(shè)有“貼示”和“思考”，“貼示”介紹與正文相關(guān)的背景知識，且在某些章節(jié)設(shè)計了“閱讀與思考”欄目。具體來說，湘教版在第1章的“多知道一點”欄目講述“白馬非馬”的故事，豐富有趣的背景知識，增添了數(shù)學(xué)的趣味性，有助于吸引學(xué)生的注意，擴大學(xué)生的知識面，讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義。在第2章的“多知道一點”欄目呈現(xiàn)了“十字相乘法”的方法，為學(xué)生對二次三項式進行因式分解提供了另一種便捷的方法。人教A版用兩個“閱讀與思考”欄目分別呈現(xiàn)了“集合中元素的個數(shù)”“幾何命題與充分條件、必要條件”等內(nèi)容。相比之下，湘教版的欄目更凸顯數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)方法，而人教A版的欄目更注重學(xué)生活動的引導(dǎo)和數(shù)學(xué)知識的拓展。

（二）內(nèi)容分布

對兩版教科書的內(nèi)容分布從章頭內(nèi)容、內(nèi)容選取與課時數(shù)、編排順序三個維度進行比較分析。

1.章頭內(nèi)容。章頭內(nèi)容的比較分為章頭語和章頭圖兩個方面。湘教版的章頭語簡潔概括，高度凝練，章頭圖選用與本章主要內(nèi)容和生活相關(guān)的圖片；人教A版則用兩段文字敘述。如湘教版用“數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言，科學(xué)的語言要嚴謹簡潔，……”等為第1章開頭，以短橫線連接本章的主要數(shù)學(xué)符號為章頭圖，簡潔明了，第2章以我們熟悉的“高速公路限速標志”的圖片作為章頭圖，讓讀者感受到數(shù)學(xué)離我們的生活很近。對于這兩章，人教A版均用兩段文字以舉例、論述等方式說明該章的概貌。

2.內(nèi)容選取及課時數(shù)。由表1我們可以看出，兩版教科書的內(nèi)容有一定差異。首先，湘教版的章節(jié)目錄很簡潔，卻包括了該部分所有知識內(nèi)容，而人教A版的目錄分得很詳細，讓人一目了然。其次，兩版教科書第1章的課時數(shù)一樣多，但湘教版在第2章多2個課時。相比之下，湘教版突出了一元二次不等式的解法及其應(yīng)用，更注重為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。（如表1）

對兩版教科書的知識點統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，湘教版更注重知識的顯性呈現(xiàn)。在集合與邏輯部分，湘教版多呈現(xiàn)了集合的基本屬性、有限集和無限集及區(qū)間等概念，通過幾個實例歸納出什么是命題，并用一節(jié)的內(nèi)容闡述了命題及相關(guān)概念，而人教A版僅用節(jié)頭語對命題做了解釋。在一元二次函數(shù)、方程和不等式部分，湘教版還引入了函數(shù)的零點等概念。

3.內(nèi)容編排順序。兩版教科書對子集的概念和集合的運算呈現(xiàn)思路和順序不同。湘教版用兩節(jié)內(nèi)容分別呈現(xiàn)子集和補集、集合的交與并，先呈現(xiàn)交集，后呈現(xiàn)并集，而人教A版用兩節(jié)內(nèi)容分別呈現(xiàn)了集合間的基本關(guān)系和集合的基本運算，且先呈現(xiàn)并集，后呈現(xiàn)交集。湘教版將子集和補集放在一起，突出補集是全集的子集。另外，兩版教科書對三個“二次”的闡述方式不同。湘教版用兩節(jié)內(nèi)容分別闡述“從函數(shù)觀點看一元二次方程”和“一元二次不等式的解法”，而人教A版用一節(jié)內(nèi)容闡述“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”。

（三）內(nèi)容呈現(xiàn)方式

從概念的引入和原理的建立與深化兩個方面分析教科書的呈現(xiàn)方式。

1.概念呈現(xiàn)方式。預(yù)備知識主題的概念較多，本研究從概念的引入方式和概念生成與深化兩個方面進行比較。

第一方面，概念的引入方式。湘教版從生活實例和數(shù)學(xué)實例引入概念，而人教A版?zhèn)戎赜脭?shù)學(xué)實例引入。關(guān)于交集的引入，湘教版用某公司招聘人員的要求是“高中或高中以上學(xué)歷，中文打字速度達80字/min”的實例。關(guān)于并集的引入，湘教版用“兩個閱覽室共有多少種不同的報刊；幾個地區(qū)共有多少種不同的野生動物；兩本英語字典共收錄了多少個英語單詞”等實際問題。關(guān)于補集的引入，湘教版用“下象棋時，看棋盤上的棋子，就知道被吃的是哪些棋子”和“上課的時候，看看教室里的同學(xué)，就知道誰沒來”這兩個生活實例形象地說明何為補集。人教A版則用數(shù)學(xué)問題引入集合的并集、交集和補集的概念。

湘教版還注重用中國傳統(tǒng)文化故事引入概念。在引入集合時，湘教版設(shè)置了一個“思考”欄目，借助耳熟能詳?shù)摹俺嗤民R故事”引入本節(jié)將要學(xué)習(xí)的集合與元素的關(guān)系、集合間的關(guān)系，把《三國志》中的“布有良馬曰赤兔”轉(zhuǎn)化成三句話：A.關(guān)羽千里走單騎的坐騎是赤兔馬；B.赤兔馬是紅馬；C.紅馬是馬。三句話中的3個“是”代表了不同的含義，A中的“是”表示“=”；B中的“是”相當于“赤兔馬∈{紅馬}”；C中的“是”相當于“{紅馬}{馬}”。通過語言表征與符號表征的轉(zhuǎn)化深化了學(xué)生對概念的理解，培養(yǎng)了學(xué)生多元表征的能力。人教A版列舉了6個實例，從6個實例（4個是數(shù)學(xué)實例）抽象出集合的概念和表示方法。

兩版教科書都適當?shù)夭捎蒙顚嵗膱D片引入相關(guān)概念。如關(guān)于不等式的引入，湘教版用了實際生活中的汽車限速標志的例子，形象又生動。關(guān)于基本不等式的引入，兩版教科書都用2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標，即借助“趙爽弦圖”提煉出基本不定式。

第二方面，概念生成與深化。人教A版教科書關(guān)于概念的生成較多采用歸納法，而湘教版教科書不僅采用歸納法，還采用演繹法。如集合、集合的表示等概念采用演繹法。第1章以概念為主，兩版教科書都重視學(xué)生對概念的理解和深化，但人教A版以數(shù)學(xué)情境（以初中階段學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體）為主，湘教版除了數(shù)學(xué)情境外，還有大量的生活情境，如，在討論集合和元素的關(guān)系時，教科書呈現(xiàn)了太陽系的圖片，在呈現(xiàn)描述法時，舉例“女士們，先生們”等，使用這些生活實例進行教學(xué)能幫助學(xué)生更深入地理解和應(yīng)用這些概念。

2.原理呈現(xiàn)方式。為了把握兩版教科書的原理呈現(xiàn)方式，本研究選擇預(yù)備知識主題中最具特色的“基本不等式”為例說明兩版教科書在原理的引入、形成等方面的特色。

首先，兩版教科書對基本不等式的引入不同。湘教版在前兩課時用“趙爽弦圖和商店售出碘鹽的數(shù)量和價格”兩個具體問題引入不等式，并由問題得到不等式。在第2課時，簡單復(fù)習(xí)了“趙爽弦圖”后，用作差比較法得到了基本不等式及其推論，并且通過幾何圖形賦予了基本不等式幾何直觀。人教A版在第1課時討論不等式的性質(zhì)后，用一個探究呈現(xiàn)“趙爽弦圖”，然后對得到的不等式進行了討論，在第3課時直接給出基本不等式。

其次，兩版教科書探究基本不等式推論的方式不同。湘教版類比基本不等式得到其推論及取“=”的條件，而人教A版采用變量代換的方式得到其推論，并對取“=”的條件進行了討論。

（四）例習(xí)題設(shè)置

本研究中的習(xí)題主要指練習(xí)、習(xí)題和復(fù)習(xí)題，對于一道題中包括多個小題的情況，則按照一道題來統(tǒng)計。

1.例習(xí)題數(shù)量。通過表2發(fā)現(xiàn)，湘教版教科書例習(xí)題的總數(shù)多于人教A版。（見表2）

2.習(xí)題、復(fù)習(xí)題層次。對于習(xí)題和復(fù)習(xí)題，湘教版以“學(xué)而時習(xí)之→溫故而知新→上下而求索”為欄目設(shè)計，人教A版以“復(fù)習(xí)鞏固→綜合應(yīng)用→拓廣探索”為欄目進行設(shè)計。這樣的設(shè)計，體現(xiàn)了題型的多樣性和梯度性，增強了教科書的彈性。兩個版本教科書的習(xí)題、復(fù)習(xí)題在設(shè)置方式上都將習(xí)題分為三個層次，分別是基礎(chǔ)題、中等難度題和開放、探究題，故將它們分別確定為層次一、層次二和層次三。

由表3可知，兩版教科書的習(xí)題和復(fù)習(xí)題都以基礎(chǔ)題目為主，湘教版基礎(chǔ)題的數(shù)量多于人教A版，人教A版層次三的題目數(shù)量多于湘教版。兩版教科書在層次三都呈現(xiàn)了一些具有開放性、探索性的題目，重點關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)探究活動的落實，同時也為不同層次的學(xué)生提供了個性化的選擇。（見表3）

（一）結(jié)論

通過對兩版教科書“預(yù)備知識”主題內(nèi)容的分析比較發(fā)現(xiàn)，兩版教科書在體例結(jié)構(gòu)、內(nèi)容分布、內(nèi)容呈現(xiàn)方式和例習(xí)題設(shè)置等四個方面有如下特點。

第一，體例結(jié)構(gòu)。湘教版教科書設(shè)置“提示”“問題”“歸納”等貼士，對正文進行解釋、補充和提醒；設(shè)置“多知道一點”欄目，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的趣味性和數(shù)學(xué)知識的拓展；設(shè)置“數(shù)學(xué)文化”欄目，增強學(xué)生的文化底蘊。人教A版設(shè)置了“觀察”“思考”“探究”等欄目，正文的邊空處還設(shè)有“貼示”“思考”等，旨在引導(dǎo)學(xué)生進行探究活動；設(shè)置了“閱讀與思考”欄目，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的拓展。

第二，內(nèi)容分布。與人教A版相比，湘教版用精煉的語言為每章開頭，并用與本章主要內(nèi)容相關(guān)且貼近生活的圖片作為章頭圖，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；引入與本節(jié)相關(guān)的其它概念和符號，便于學(xué)生進行數(shù)學(xué)表達。

第三，呈現(xiàn)方式。湘教版更多地采用生活實例和中國傳統(tǒng)文化故事引入，而人教A版以數(shù)學(xué)實例為主進行引入。湘教版對概念、原理的引入更關(guān)注學(xué)生已有的認知水平。

第四，例習(xí)題。兩版教科書的習(xí)題和復(fù)習(xí)題都有三個層次，湘教版例習(xí)題總數(shù)比人教A版多，人教A版的探究題數(shù)量比湘教版多。

（二）建議

基于以上結(jié)論，對湘教版教材使用提出以下幾點建議。

第一，充分挖掘教科書各欄目的導(dǎo)學(xué)導(dǎo)教價值，更好地導(dǎo)引學(xué)生建構(gòu)知識，促進學(xué)生深化對相關(guān)內(nèi)容的理解。

第二，仔細琢磨章頭語，結(jié)合學(xué)情精選數(shù)學(xué)實例和生活實例創(chuàng)設(shè)問題情境，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)抽象經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)思維能力。

第三，深入研究內(nèi)容的呈現(xiàn)方式和編排順序，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程。

第四，重視基礎(chǔ)題，同時也要注重探究題，培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力和探究創(chuàng)新能力。

第五，引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書的拓展性欄目，了解數(shù)學(xué)文化，豐富學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容的認識廣度。

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]張景中，黃步高，等.普通高中教科書數(shù)學(xué)：必修（第一冊）[M].長沙：湖南教育出版社，2019.

[3]章建躍，李增滬，等.普通高中教科書數(shù)學(xué)：必修（第一冊）：A版[M].北京：人民教育出版社，2019.

編輯：徐春霞