數學教學要“講道理”

李祎，林晴嵐

摘要：從認知心理學的角度來看，“講道理”的教學才能促進有意義學習的發生；從數學學科的特點來看，數學的產生與發展是自然而然的、合情合理的，數學知識之間是邏輯嚴謹的，因而更應該“講道理”、更容易“講道理”；從我國數學教育的現狀來看，“講道理”的教學可以有效解決“會而不懂”的問題。數學教學中，要從深入理解數學和善于稚化思維兩方面入手做到“講道理”?！跋蛄考捌溥\算”的教學，要認識到數和向量內在的關聯性和一致性，通過類比遷移、從特殊到一般、“降維”轉化等思想，讓學生理解向量運算法則（乃至定義）的合理性。

關鍵詞：數學教學；講道理；向量及其運算；問題串；“降維”轉化

數學是理性的科學，并因理性而讓人感到解放、有力和震撼。理性精神的培育，離不開“講道理”。數學教學要“講道理”應是常識，但在應試教育的背景下，似乎成了一種奢望。在聽中學數學課的過程中發現，數學教學中“不講道理”的現象普遍存在，新知教學“多快好省”地灌輸，重結果、輕過程，重記憶、輕理解，把課堂上大量的時間花在習題操練上。究其原因，表面上看與“應試”高壓有關，實則可能還是與教師對數學教學的認識及教師的數學學科素養有關。以下先闡述對數學教學中“講道理”重要性的認識，再談談數學教學中怎樣才能做到“講道理”，并以高中“向量及其運算”的教學為例詳細說明。

一、數學教學中“講道理”的重要性

首先，從認知心理學的角度來看，“講道理”的教學才能促進有意義學習的發生。奧蘇貝爾曾把學習分為有意義學習和機械性學習。所謂有意義學習，是指“符號所代表的新知識與學習者認知結構中已有的適當概念能夠建立起非人為的、實質性的聯系”。那么，什么是“非人為的、實質性的聯系”呢？這就是指，新知識與認知結構中有關概念的聯系不是任意的、字面上的聯系，而是具有某種合理的或邏輯基礎上的本質性聯系。“講道理”的教學就是要循序漸進地引導、循循善誘地啟發，激發學生產生主動學習（建立聯系）的心向，并通過揭示新舊知識之間的連接點，打通新舊知識之間的邏輯通道，在新舊知識之間建立起各種縱橫聯系。這樣，才能真正促進有意義學習的發生；否則，填鴨式的被動接受、囫圇吞棗式的機械學習的發生就不可避免了。實際上，有意義的學習就是理解性的學習。而大量經驗、研究證明，只有理解了的東西才不會被遺忘，尤其是在所學習的內容越來越多的情況下。

其次，從數學學科的特點來看，數學的產生與發展是自然而然的、合情合理的，數學知識之間是邏輯嚴謹的，因而更應該“講道理”、更容易“講道理”。正如弗賴登塔爾的觀點：數學是系統化了的常識。也如人教版高中數學教材曾在“主編寄語”中所言：“數學是自然的……數學概念、數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的。如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應用，以及它與其他概念的聯系，就會發現它實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味?！边@里，需要特別辨析一下“推理”與“道理”的關系。張奠宙先生很早就指出過，數學“要講推理，更要講道理”。其中的“推理”主要指邏輯推理，特別指演繹推理，如解方程的步驟；“道理”則主要指來龍去脈，并包括合情推理，如為什么要學習方程、如何用方程解決問題。實際上，以現代而非傳統的觀點（由波利亞首先大力倡導而被廣泛認可）來看，數學中的（邏輯）推理不限于嚴謹的演繹推理，也包括靈活的合情推理，即具有傳遞性的推理形式⑤?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版2022年修訂）》便持有這樣的認識，而《義務教育數學課程標準（2022年版）》更強化了這樣的認識。所以，在解讀新課標的有關理念時，課標修訂組組長史寧中教授多次提到，新概念和新方法的引入必須讓學生體會到必要性⑤；核心成員孫曉天教授指出，作為核心素養的數學思維主要表現為推理，即廣義的，將各種形式相互協調、熔于一爐的，由“思考現實世界”的需要所決定的推理。而這種廣義的推理就可以理解為“講道理”（建聯系）。簡單來講，就是傅仲孫先生所講的“示以思維之道”：不僅知其然，而且知其所以然，知何由以知其所以然；不僅知道每一個數學概念和結論是什么，而且知道它們是怎么來的，它們有什么用處，它們之間有什么聯系等。

再次，從我國數學教育的現狀來看，“講道理”的教學可以有效解決“會而不懂”的問題。為了應對升學考試，數學教學中“對題型，套解法”的機械刷題現象很普遍。由此出現了一種“會而不懂”的現象，即學生“會”做題，但不懂數學，也就是學生能夠用現成（記住）的基本（核心）知識做題，但不理解基本（核心）知識的來龍去脈與相互聯系以及其中蘊含的本質與思想——其實，學生“會”做的往往只是缺少“原創性”、不能充分考查思維能力、以記憶模仿為主就能解決的“練習題”。這種現象比“懂而不會”的現象（能聽懂但不會做題）更可怕：學生不懂數學的問題被“會”做題的表象掩蓋了。丘成桐先生曾在杭州與一群高考數學“尖子生”見面。結果，他大為失望，并一針見血地指出：“大多數學生對數學根本沒有清晰的概念，對定理不甚了了，只是做習題的機器。這樣的教育體系難以培養出什么數學人才?！蔽覀冊跀祵W教學中強調“講道理”，就是要求學生要把“會”建立在“懂”的基礎上，先“懂”再“會”，并在“會”中不斷深化“懂”，從而做到既“懂”又“會”，不能“懂而不會”，更不能“會而不懂”。這就要求我們做好數學概念、公理、定理、公式和法則等新知的教學。

此外，學生的數學觀是長期逐漸養成的。如果教師在教學中經常不講道理，習慣于照本宣科地“填鴨”，學生便會逐漸喪失質疑問難的精神，從而采取理所當然的態度，習慣于拿來主義和被動接受，認為數學先天這樣、本來如此，只管照搬和接受即可。顯然，這種數學觀的危害是極大的，也是造成目前“會而不懂”現象的根源。

二、數學教學中怎樣才能做到“講道理”

數學教學中，要從深入理解數學和善于稚化思維兩方面入手做到“講道理”。

（一）深入理解數學

在數學教學中，“教什么”比“怎么教”更為重要，因為前者關涉教學內容，后者關涉教學形式，而內容決定形式。數學教師如果沒有良好的數學素養，沒有對數學知識及其結構體系的通透理解，是不可能真正做好數學教學工作的。正如美國數學家赫斯所言：“問題并不在于教學的最好方式是什么，而在于數學到底是什么；如果不正視數學的本質問題，便解決不了關于教學的爭議?！闭陆ㄜS先生曾經提出數學教學的“三個理解”，即理解數學、理解學生、理解教學。在這三者中，無疑“理解數學”更為重要，它是“理解學生”和“理解教學”的基礎。

要真正理解數學，不僅要從微觀上準確把握每個數學概念、原理的來龍去脈以及本質特征，而且要從宏觀上把握數學知識的縱橫聯系以及結構體系；不僅要揭示數學知識的顯性聯系，把握數學知識結構之“形”，而且要揭示數學知識的內在關系，領悟數學知識結構之“神”。單墫教授曾經指出學好數學要經歷的幾個“會”：首先是“學會”，其次是“領會”，最后是“融會”。所謂的“融會”，就是要做到觸類旁通、舉一反三，如此方能講出道理，并運用自如。

如果教師不清楚學科內容的研究對象和方法、研究思路和線索，不清楚學科知識的來龍去脈、縱橫聯系、背景和意義、地位和作用，那么教學就會具有一定的盲目性和機械性，更勿論給學生講清楚道理了。比如，教學“向量的概念”時，很多教師認識不到數和向量內在的關聯性和一致性，只通過與數的區別來介紹向量。這樣，“向量的運算”的教學，就難以引導學生采用“降維”思想進行轉化，也就難以讓學生理解向量運算法則（乃至定義）的合理性。

（二）善于稚化思維

教學既不能“淺入深出”“淺入淺出”，也不能“深入深出”，而要“深入淺出”。能否“深入”，取決于教師的學科知識水平；在“深入”的基礎上能否“淺出”，則取決于教師的教學水平。優秀的教師在教學中要善于懸置自己已有的知識，設身處地地站在學生的角度思考，設想自己在“一無所知”的情況下面臨新的問題情境時，會怎樣思考問題、分析問題、解決問題。概括來講，也就是要“思學生之所思”“難學生之所難”“錯學生之所錯”。這樣，教師的思維與學生的思維才不會出現脫節或錯位，教師所講的道理才容易被學生理解和接受，有意義學習才可能真正發生。

要做到稚化思維，一方面，要準確把握學生的認知基礎，即學生頭腦中已有的知識和經驗是什么，新知識的生長點和固著點是什么，新舊知識之間存在怎樣的聯系和落差，應該如何給學生搭建認知的“腳手架”；另一方面，要善于揣摩學生的思維方式，即學生面對陌生問題在尋找解決策略時可能采取的思維方式有哪些，可能會存在哪些認知困難，應該如何引導學生尋找合理的解決策略。在稚化思維的基礎上設置引導性問題，教學就不會出現“越位”現象了。

比如，無論教學“向量的加法運算”，還是教學“向量的數量積運算”，當學生面對“平面上既有大小又有方向的量”的陌生問題時，引導學生采用從特殊到一般的解決策略，便是減少思維落差、化解教學難點的方法。因為共線向量的加法運算和數量積運算更靠近學生的認知起點，是連接數的運算和向量運算的橋梁，更容易被學生同化、接納?；谶@一認識設置問題引導學生思考，便符合了稚化思維的教學理念。正如波利亞所言：“讓你的學生提出問題，要不就像他們自己提問的那樣由你去提出這些問題；讓你的學生給出解答，要不就像他們自己給出的那樣由你去給出解答。”

三、數學教學中“講道理”的一個具體案例

下面詳細闡述上文提及的“向量及其運算”的教學。

（一）“向量的概念”教學診斷與改進

1.傳統教學診斷

在“向量的概念”的教學中，很多教師都是結合生活實例，并通過如下導語來引入向量概念的：“我們之前學習的量叫數量，數量只有大小、沒有方向；今天我們新學習的量叫向量，向量不僅有大小，而且還有方向?！?/p>

采用這種方式導入，就把數量與向量人為地割裂了，會導致學生認為數量和向量是兩個完全不同的概念，它們之間沒有任何聯系。聰明的學生就會想到：之前學習有理數時，為了表示相反意義的量，我們引進了負數，“相反”不就有方向的含義嗎？怎么說數量沒有方向？

其實，數量也是有方向的，只不過數量是從一維角度來考慮方向的。從本質上看，實數可視作一維向量。在數軸上，如果讓一維向量的起點與原點重合，則其終點就會對應數軸上唯一的點和實數，實數的絕對值就是一維向量的大小（即長度或模），實數的正負號就是一維向量的方向，于是，就可以在一維向量與實數之間建立起一一對應的關系。因此可以說，平面向量就是實數的推廣，而且在推廣中，大小、方向、數乘運算等都是一脈相承的，本質均保持不變。

2.教學設計改進

可以通過問題串引導學生理解向量概念引入的“道理”，具體設計如下：

問題1為了表示大小、多少等，我們引入了數量，并抽象出數的概念。最開始，我們學習了正數。其后，為了表示相反意義的量，我們引入和學習了負數。你能在數軸上解釋正負數的意義嗎？

正負數的絕對值表示大小，體現了“數”的特征；正負數的符號表示方向，體現了“形”的特征。所以，“數量”即一維向量，也是集數和形為一體的量，只不過它是在兩種特定的方向——相反方向上考慮的。結合數軸解釋正負數的意義，讓學生深刻領悟數量的大小特征和方向意義。

問題2正負數的概念從一維角度體現了數量的方向性。除了在直線上研究數量的方向性，可以在平面上研究數量的方向性嗎？你能從生活實例中舉出一些具有方向性的數量嗎？

通過列舉物理學中的位移、速度、力等矢量，學生認識到還有一種具有方向性的量，它無法通過正反兩個方向來區分，其方向在平面上具有不確定性。這種在平面上既有大小又有方向的量叫作平面向量，簡稱向量。由此，順利實現了從數量學習到向量學習的遷移。

（二）“向量的加法”教學診斷與改進

1.傳統教學診斷

翻閱大量教案不難發現，對于“向量的加法”的教學，很多教師均采取了如下方式：基于物理學中的位移模型，抽象出向量加法的三角形法則；基于物理學中力的合成模型，抽象出向量加法的平行四邊形法則；根據數學中自由向量的特點，結合實例說明兩種法則的等價性。

采用這種方式教學，學生難免會產生疑惑：為何僅根據一個位移模型的物理學實例，就可以直接抽象出一個三角形法則？為何僅根據一個力的合成模型的物理學實例，就可以直接抽象出一個平行四邊形法則？向量加法法則的合理性在哪里？其數學意義是什么？再退一步，從根本上講，向量的加法究竟是什么？它與以往的數量的加法有什么區別與聯系？

2.教學設計改進

可以通過問題串引導學生理解向量加法法則（定義）的“道理”，具體設計如下：

問題1對于兩個數，依據運算法則，可以進行加減乘除等各種運算。對于兩個向量，是否也可以進行類似的運算呢？我們從最簡單的加法運算開始研究。

類比是數學學習的重要方式。數量和向量都是關于“量”的概念，而運算是它們的共同特征，因此，這里采取類比方式導入，便是自然而然的事情了。

問題2對于在平面上既有大小又有方向的兩個向量而言，什么是它們的“加法”？該怎樣把它們“加”在一起呢？不妨從兩個特殊的向量——共線向量開始研究。

通過前面的學習，學生知道了向量既有大小又有方向，并且它的大小和方向可以用有向線段來表示。對于這種用幾何方式表示的量，什么是其加法？該如何相加？這是學生面臨的新挑戰。對此，可從特殊情形開始研究。這也是數學慣用的研究思路。

問題3兩個共線的向量又可分為方向相同和方向相反兩種情況。對于這樣兩種情況，分別應該如何相加呢？

結合生活實例不難發現：當兩個共線向量的方向相同時，就可以不考慮方向，把兩個向量的大小直接相加，和向量的方向保持不變；當兩個共線向量的方向相反時，和向量的大小是這兩個向量大小的差的絕對值，和向量的方向與大小較大的向量的方向保持一致。這時，兩個向量的加法完全類似于初中有理數（實數）的加法，或者說它們相加就轉化成了有理數（實數）相加，從而學生很容易利用已有知識和經驗同化新的知識。

問題4你能用幾何方式概括地表示出兩個共線向量相加的運算法則嗎？

如果令AB=a，BC=b，當A、B、C在同一條直線上時，無論向量a與b的方向相同還是相反，都有AB+BC=AC。這便是特殊情形下的三角形法則，為下一步一般性地概括出向量加法的三角形法則做好了鋪墊。

問題5對于兩個不共線的向量a與b，當它們首尾相接時，令AB=a，BC=b。這時，它們相加是否仍滿足AB+BC=AC呢？讓我們從物理學中位移的合成開始研究。

根據物理學中位移的合成，兩次位移AB、BC的結果等效于一次位移AC，可以用AB+BC=AC來表示。這能夠讓學生在得到向量加法的三角形法則的同時，體會向量相加的含義，即把兩個向量共同作用的結果稱為兩個向量的和向量，求兩個向量的和向量的過程叫作兩個向量的加法。

問題6以上是通過物理學實例概括得到兩個向量相加的三角形法則。你能從數學的角度解釋兩個向量相加的三角形法則的合理性嗎？

兩個共線的向量相加本質上就是兩個數相加。對于兩個不共線的向量，由于方向不同，無法直接相加。一個自然的想法是：能否轉化成兩個共線的向量相加？事實上，如圖1，要計算AB+BC，由于向量AB在直線AC上的投影向量是AD，向量BC在直線AC上的投影向量是DC，顯然AD+DC=AC，因此通過投影把兩個不共線的向量轉化成共線向量，便可以相加了。這體現了數學中常用的轉化思想。物理學的具體實例，只是提示我們應該向哪條直線上作投影。

問題7物理學中，除了位移的合成之外，還有速度的合成、力的合成等，它們是否也遵循向量相加的三角形法則呢？

不能僅通過一個實例，就直接歸納出運算法則，還需要再舉出一個以上的實例來進行歸納概括。以力的合成為例，物理學實驗的等效原理表明，力的合成遵循平行四邊形法則。由此引發學生的認知沖突與困惑——

問題8向量相加的平行四邊形法則與三角形法則是否等價？向量相加的平行四邊形法則的合理性又是什么？

由于數學中的向量是自由向量，因此通過向量的平移，可以發現向量相加的平行四邊形法則與三角形法則是等價的，只是適用條件和范圍不同。如下頁圖2，要計算AB+AD，由AB在直線AC上的投影向量是AE，AD在直線AC上的投影向量是AF，且AF=EC（即AD平移得到的BC在直線AC上的投影向量），因此向量AB與AD的和向量AC仍然等于它們的投影向量之和。不難發現，對于兩個不共線而共起點的向量相加，仍然是通過投影向量轉化成兩個共線的向量相加，只不過此時是投影到以AB和AD為鄰邊的平行四邊形的對角線上。

（三）“向量的數量積”教學診斷與改進

1.傳統教學診斷

對于“向量的數量積”的教學，無論是各個版本的教材，還是常見的教學設計，均采用“力對物體做功”的實例，即當力的方向與位移方向不一致時，通過對力在位移方向上的分解來求功，引出兩個向量數量積的定義。

這里，學生同樣會產生困惑：為何僅根據一個物理學實例，就可以抽象概括出一個數學概念？可以舉出更多的實例嗎？如果不能，這樣定義兩個向量數量積的合理性在哪里？其數學意義是什么？它與兩個實數相乘有什么區別與聯系？

在實際教學中，幾乎所有的教師在通過一個物理學實例直接歸納出向量數量積的定義后，都未能從數學的角度解釋定義的合理性，特別是從聯系的角度認識向量數量積定義和實數乘法定義之間的關系。顯然，這非常不利于學生形成整體性認識。

最新的人教版高中數學教材（根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》編寫）明確引入并強化了投影向量的概念，為我們重新建構對向量數量積的認識提供了極大的方便。

2.教學設計改進

可以通過問題串引導學生理解向量數量積定義（法則）的道理，具體設計如下：

問題1類似于實數的運算，向量之間除了有加減法運算之外，是否也存在乘法運算呢？如果存在的話，又該如何定義呢？

實數是一維向量，通過與實數類比引出向量的乘法運算，合情合理。這是因為，盡管向量的乘法運算較為復雜，又可分為數量積運算和向量積運算，但是本節課要學習的數量積運算與實數的乘法運算存在內在的關聯性與一致性。

問題2類似于向量的加法運算，我們同樣從兩個特殊的向量——共線向量開始研究。如果是兩個共線的向量，應該如何相乘才比較合理？這時，向量的乘法運算與實數的乘法運算存在本質上的差異嗎？

從特殊到一般是解決問題的常用策略。當兩個向量共線時，如果它們的方向相同，那么它們相乘只要把大小相乘，所得結果為正數，本質上就是實數運算中的“同號相乘得正”；如果它們的方向相反，那么它們相乘也只要把大小相乘，所得結果為負數，本質上就是實數運算中的“異號相乘得負”。這樣，兩個共線向量的數量積運算就轉化成了一維向量的乘法運算，其本質就是實數的乘法運算。

問題3如果是兩個不共線的向量，它們在平面上的方向既不相同也不相反，因此無法“直接”相乘，那么應該如何定義它們的乘法才比較合理呢？

在小學學習正數的乘法運算時，遇到的數只有大小、沒有方向，因此，兩個數可以直接相乘。在初中學習有理數的乘法運算時，遇到的數不僅有大小，而且有方向相同或相反的區分，但是，相乘的結果只需要用正負就可以區分了。如果是平面上帶有方向的數，該如何相乘呢？這是學生從未遇到過的巨大挑戰，其最棘手的地方在于如何定義“方向”的運算規則才比較合理。

問題4讓我們先看一個物理學實例。一個物體在力F的作用下產生的位移為s。當力F與位移s的方向一致時，力對物體所做的功為多少？當力F與位移s的方向不一致時，設力F與位移s的夾角為θ，這時力對物體所做的功又為多少呢？

根據物理學知識可以知道：當力F與位移s的方向一致時，力對物體所做的功W=|F||s|，即力的大小與位移的大小直接相乘；當力F與位移s的方向不一致時，力對物體所做的功W=|F||s|cos θ，這時功的大小變小，即力的功效出現了損耗。兩種不同的情形正是引導學生從實數乘法運算過渡到向量數量積運算的典例。

問題5當力F與位移s的方向不一致時，真正使物體前進的力是什么？它的大小是多少？它的方向具有什么特征？你能給出|F|cos θ的物理意義嗎？

通過對力F與位移s方向不一致的情況的進一步分析，讓學生體會到對力在位移方向上分解的目的，認識到位移方向上分力的大小和方向特征，從而為學生下一步更好地理解投影和投影向量的概念，進而理解向量數量積定義的合理性做好鋪墊。

問題6力和位移都是向量，功是由力和位移兩個向量確定的。如果我們把功看作兩個向量“相乘”的結果，受此啟發，我們是否可以給出兩個向量相乘的定義？

受物理學實例的啟發進行類推，由此給出兩個向量數量積的定義便顯得合乎情理了，因為這樣定義在某種程度上符合了事物的客觀規律。但是，學生仍然會存在一定的困惑：還可以舉出更多的實例嗎？如果不能，那么，這樣定義的數學意義是什么？一般情形下的合理性體現在哪里？

問題7平面向量在平面上不僅有大小，而且有方向。因此，定義兩個向量相乘的運算法則，關鍵是解決“方向”的問題。你能從數學的角度解釋這樣定義向量數量積運算的合理性嗎？

當兩個向量不共線時，它們無法直接相乘。這時，把其中一個向量投影到另一個向量所在直線上，所得投影向量與后一向量就共線了，就可以相乘了，相乘的方法完全類似于兩個實數的乘法。具體來講，如圖3，當向量a和b的夾角θ為銳角時，投影成方向相同的兩個共線向量，這時a·b=|a′||b|，而|a′|=|a|cos θ，因此a·b=|a||b|cos θ；當向量a和b的夾角θ為鈍角時，投影成方向相反的兩個共線向量，這時a·b=-|a′||b|，而|a′|=|a|cos（π－θ），因此a·b=|a||b|cos θ。

問題8兩個向量的數量積運算與兩個實數的乘法運算之間有什么區別與聯系？從中我們能得到哪些啟示呢？

通過向量的投影和投影向量，把非共線向量轉化成共線向量，把二維平面向量的數量積轉化成一維共線向量的數量積。而一維共線向量數量積運算的本質就是實數的乘法運算，由此實現了問題的轉化，體現了數學中的“降維”思想。