數學學科育人的內涵特征與高考表達

劉師妤　周龍虎

【摘 要】經由學科教學發揮學科育人功能是教師的根本使命，也是學科教學的根本旨趣。厘清學科育人的基本內涵，凸顯學科育人的價值取向是“新課標、新教材、新高考”背景下數學教學研究的熱點問題。教考銜接下的數學學科育人特點是遵循課標精神，落實學科核心素養;關注數學結構，豐富數學研究對象;突出研究意識，培育探索及理性精神。

【關鍵詞】學科育人;內涵特征;核心素養;高考數學;數學本質

一、引言

2022年高考數學已落下帷幕，試題多以真實情境為背景，既發揮了考試的教育功能和導向作用，又加強了關鍵能力考查，增強了選拔性。高考一直深刻觀照教與學的過程并致力于改進與完善。但是教如何促進素養落地，學如何提升思維品質，教考如何銜接才能彰顯出有效性與考評的一致性，是高考的應然啟示。對“教—學—評”三者關系的思考，本質上是對學科教學和學科育人的聚焦及辨析，即如何通過學科教學實現學科育人的功能，讓高考測評更具準確性和針對性。學科教學立足于知識的授受過程，如何發展學生的學科核心素養是學科教學的目標及關鍵;學科育人則側重學科德育，強調通過學科學習活動培養良好的情感、態度及價值觀。要實現從學科教學向學科育人的轉變，就必須對學科育人的內涵做深刻的解析并對育人的手段或路徑予以清晰的把握。

二、數學學科育人的內涵解析

學科育人價值包括學科獨特的育人價值和跨學科的共性育人價值[1]，需要通過學科實踐活動得以實現。數學學科實踐活動內涵豐富，不僅包括數學解題活動、數學探究活動等顯性活動，還包括冥思苦想、觀察聯想等一系列隱形的思維或心理活動。因此需要考察學科實踐的全過程，才能深刻理解學科育人的內涵特征。

（一）根植學科核心素養，指向數學本質的領悟

從“中國學生發展核心素養培養”的發布到“學科核心素養”的凝練，學科的獨特育人功能得到彰顯。基于數學學科的高度抽象性、嚴密邏輯性以及廣泛應用性等特點，史寧中將數學的基本思想概括為：抽象、推理及模型，并具化為六種數學學科核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。他將這些核心素養解讀為用數學的眼光觀察數學世界，用數學的思維分析現實世界，用數學的語言表達數學世界，既強調了學科核心素養作為構建學科核心素養結構發展模型的底層（或基礎）地位，又揭示了數學的本質。對于“數學的本質”雖未有統一的定義，但數學本質必然是指數學內容本身所固有的根本屬性，是區別于其他學科內容的基本特質[2]。如對數學核心概念的理解、對數學思想方法的把握、對數學美的鑒賞及對數學精神的追求。相較于培育學生的數學哲學觀念、滲透數學思想方法，基于數學核心素養的教學既充當抓手，又具體實用，并且易于落地。無論是從課程到主題，還是從單元到課時，基于數學核心素養的教學設計應遵循以下教學邏輯流程：（1）確定培育哪些核心素養？這是對教學目標的大致設定，其受教學內容以及教學設計思路的制約，一般至少有兩種。但應盡可能關聯其他學科的核心素養，以教學內容的開放性帶動核心素養培育的全面性[3]。（2）確定要培育的目標核心素養（群）應達致何種水平？按照四個水平維度進行劃分，分別是情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思。（3）確定滲透了哪些數學思想方法，凸顯了什么數學哲學觀念？也就是對教學全過程做必要的思想方法和一般觀念的提煉。

不難看出，基于數學核心素養的教學活動皆指向對數學本質的體悟，這與《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）所指出的基于數學核心素養的教學活動應把握數學的本質[4]不謀而合。因此，從數學本質出發設計數學課堂教學成為一條可行的路徑。圍繞知識本質，通過對數學知識的整體分析、對數學問題情境和問題鏈的合理設置、對知識邏輯關系的重新梳理與重構，有利于發展學生的數學核心素養[5]。此外，教師應積極地投入到促進學生數學核心素養與關鍵能力發展的行動研究中去，以合理的教學診斷為依據，開展精準的教學改進[6]。

（二）把握數學認知內涵，構建多維育人體系

數學認知是指通過數學的方式（觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理等）建構數學知識結構的心理過程。該過程是數學知識結構與個體心理結構相互作用的產物，需借由豐富的數學認知對象得以實現。認知對象的逐步抽象化和復雜化客觀上要求學生的認知水平與之協調一致，即實現由具體數字到抽象符號，由常量到變量，由有限到無限，由確定性到不確定性的觀念轉變和必然躍遷。沒有數學認知水平的躍遷，根本就談不上學科育人目標的實現。

認知數學知識的過程是重賦知識價值的過程。作為學科育人的最初樣態，知識的內在屬性決定了知識的價值。知識是人類經驗的總結，知識經建構生成，蘊藏著前人辛勤探索、不斷追求真理的艱辛歷程，知識學習是利用他人經驗建構、發展并完善個人經驗的過程，知識只有經由理解才能融入原有的認知結構并獲得意義。知識的育人價值不僅體現在育智、育德、育美上，更在于精神意義。“人—知”互動是學科育人的邏輯起點[7]，通過與知識（包含隱性知識）的積極交互，學習者的經驗、生活、興趣、情感全部融入其中并升格為能動性、創造性和意義感。

基本技能的學習與掌握是數學學習的第二層目的。數學技能的學習，是使“不會”變成“會”，“不熟練”變成“熟練”，是開展數學活動的必要條件。通過數學基本技能的學習，學生能習得必備的操作性技能和心智性技能，并為問題解決奠定基礎。數學基本技能的教學不僅要讓學生掌握技能操作的基本程序和步驟，還應讓他們理解其中蘊含的道理。從學科技能學習到學科方法概括再到學科思想發掘，循序漸進地展現了技能育人的演進邏輯。

數學教學本質上是數學活動的教學。數學活動是對數學教學諸要素地再組織與優化整合的過程，學生親歷數學活動即是“做數學”的過程。“做數學”從具身體驗性出發，通過學生的感受、覺知、動手操作及“做中學”等不同方式，有助于數學基本經驗的積累、學習體驗的延長及改善[8]。在數學活動推進過程中，教師要辯證地看待學生共同基礎和個體發展的差異，在活動的目標確定、內容選擇、組織形式及評價等方面，始終貫徹“把方法教給學生，把時間還給學生”的育人理念，讓每個學生在經歷有效數學活動的同時獲得不同的發展。

數學思想方法是對數學知識本質特征的再次抽象與凝練，是知識的靈魂所在，理所當然也應發揮其育人功能。數學思想方法非顯性數學知識，它往往內蘊于運用數學方法分析及解決數學問題或現實問題中。因此，數學思想方法的“不可教性”決定了其教學路徑的封閉性。即使揭示了某種數學思想方法，深化與應用的過程還是需要學生以多視角、多層次進行深度剖析和理解。為使學生更好地體驗、領悟數學思想方法，教師還應以正確的數學思維方法示范并引導[9]。

綜上，建構以數學知識、數學技能、數學活動及數學思想方法為有效抓手的學科多維育人體系，有助于學科教學循序漸進地展開，有利于學科教學本質的應然回歸。

（三）立足共同發展平臺，規劃分類分層育人設想

學科育人的基本定位是培養適應未來發展的人，而非學科專業人才。因而，為學生發展構建共同平臺是學科育人的第一要務。新課標對學生的數學學習提出了共同的發展要求，即要求學生在數學學習中掌握“四基”“四能”“三會”，并通過教師引導學生會學習、會思考、會應用為可持續發展和終身學習奠定基礎[10]。

在構建學生共同發展平臺的同時，為滿足不同學生的發展需求（如數學興趣發展、數學專業發展等），新課標也設置了必修、選擇性必修和選修三種課程類型，貫徹了因材施教的課程內容設置原則。因材施教的基本含義是從學生的實際出發，照顧到學生的個體差異，實施不同的教育，包括不同的培養目標、不同的教育內容、不同的教育要求、不同的教育方法，使每一個學生都能在自己原有的基礎上得到比較好的發展。在數學教學的具體實踐中，一般應采用“分層教學”的施教策略。教育要實現立德樹人的教育目標，就應做精準的學情分析，并對具體情況做具體分析和應對之策，這是辯證唯物主義在教學中遵循的根本原則。盡管如此，學科育人目標仍要以培養“普通人”為取向的“學科普通育人目標”為主，并使教學目標、教學內容和教學活動方式回歸學生的日常生活世界[11]。

三、數學學科育人的高考表達

高考作為教育的關鍵環節，選拔是基本功能，育人才是核心功能。因而，衡量高考試題的質量不能單靠信度和效度（難度以及區分度）等主要指標，還需要深挖試題背后的育人功能。高考數學的育人功能一般涵蓋三個層面：展現社會主義制度的優越性，增強學生的愛國主義情懷和國家認同;結合我國數學研究成就和數學文化，增強學生民族自豪感與自信心;培育規則意識、探索與創新精神及辯證思想，增強理性精神[12]。為體現時代的發展需求，且兼顧高考試題的創新性原則，每年高考試題的育人重點都不盡相同。下面以2022年高考數學全國I卷為例進行分析。

（一）遵循課標精神，落實學科核心素養

高考數學命題無論是考查內容范圍，還是要求層次都應與課程標準保持高度一致。數學課程標準將數學教學核心理念凝練為學科核心素養，既體現了與時俱進的人才培育要求，又凸顯學科的獨特育人價值。2022年高考數學試題聚焦抽象、運算和模型等學科核心素養，遵循“課標是導向，素養是核心”的基本命題原則，踐行立德樹人的根本使命。

1.立足對象結構，發展抽象概括能力

抽象是在感性抽象基礎上進行理性抽象的過程，高考試題對于學生數學抽象核心素養的考查一般包含兩個方面：（1）以具體、繁雜的數學對象為載體，發展結構抽象素養;（2）以抽象對象為載體，考查關系抽象能力。

例1 （2022年全國I卷第7題）設a=0.1e^0.1，b=[1/9]，c=-ln0.9，則（? ）

A.a

評析：無理式大小比較是一件不容易的事情，尤其當它們不具備“相似”的結構（不能構造函數，直接利用函數單調性比較大小）時，我們就需要從繁復的數式中擷取簡易的同性元素（如本題中的“0.1”），從而實現結構抽象。具體地，構造函數f（x）=ln（1+x）-x，利用導數判斷其單調性，由此可得到a

2.融合“理”“法”，助推運算的優化及自動化

算理和算法是運算的基礎，數學運算素養的提升得益于算理的明晰和算法的優選。“多想一點少算，少想一點多算”的命題理念依然根植于高考。隨著數學研究的不斷深入，數學學習過程對理解運算對象、明確運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、掌握運算法則等方面都有了更高的要求，且指向計算思維的養成。計算思維的本質是抽象和自動化，培育數學運算核心素養的最終目的是實現運算素養到計算思維的蛻變。

例2 （2022年全國I卷第8題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上。若該球的體積為[36π]，且3≤l≤[33]，則該正四棱錐體積的取值范圍是（? ）

評析：本題以正四棱錐及其外接球為載體，重點考查學生的數學運算、邏輯推理核心素養。設正四棱錐的高為h，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此可確定正四棱錐體積的取值范圍。在運算過程中，得到正四棱錐的體積V=[13]Sh=[19l41-l236]后，可借助導數工具求最值，也可利用三元基本不等式求最值。因此，深刻剖析算理，靈活選擇算法是提升數學運算素養的關鍵舉措。

3.聚焦經典素材，考查模型理解及建構水平

通過建立數學模型，我們能覺知其直觀性、過程漸進性及本質特征。運用數學模型思想的過程是借助已有數學模型建構知識體系、解決未知問題甚至建構新模型的過程，是促進學生數學理解的過程。

例3 （2022年全國Ⅰ卷第15題）若曲線y=（x+a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是? ? ? 。

評析：函數的切線問題是典型的數學模型，一般有兩種解決策略：一是直接設切點橫坐標為x0，利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于x0的方程，根據此方程的實數根個數（對應切線的條數），求得目標參數的取值范圍;二是通過函數圖象研究函數的性質，利用數與形的內在關系，可直觀得到目標參數的取值范圍。

（二）關注數學結構，豐富數學研究對象

結構是組成整體的各部分的有機搭配，結構所傳遞的信息最為清晰有效。籠統地說，數學結構一般分為代數結構與幾何結構。代數結構的幾何化以及幾何結構的代數化路徑能順暢地溝通兩者之間的關系，從而發揮結構表征與轉化的最大效益。數學研究的對象，不僅包括概念、定理、思想方法，還包含數學結構。這里的數學結構并非是數學中狹義的群結構、拓撲結構等具體結構，而是對數學對象間本質特征的形式化描述。客觀地說，數學結構比其他數學對象更利于揭示命題的意圖，從而確定研究方向及思路。

例4 （2022年全國Ⅰ卷第18題）記[△ABC]的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知[cosA1+sinA=][sin2B1+cos2B]。

（1）若C=[2π3]，求B;（2）求[a2+b2c2]的最小值。

評析：本題立足于解三角形中邊角關系轉化以及三角恒等變換，對代數變形技巧有較高的要求。本題的題眼[cosA1+sinA=][sin2B1+cos2B]，揭示了相似的數學結構，即[cosA1+sinA=][cos（π2-2B）1+sin（π2-2B）]，故可構造新函數f（x）=[cosx1+sinx]，通過弦切互化等變形手段，得到f（x）=[cosx1+sinx]=[tan（π4-x2）]。再結合角度范圍，得到A+2B=[π2]，后面的問題便迎刃而解。

例5 （2022年全國Ⅰ卷第22題）已知函數f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值。

（1）求a;

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列。

評析：鑒于本題中的目標函數f（x）與g（x）存在結構上的相似關系（可借助換元同構），故第（2）問轉化后的特殊方程的三個實數根存在對應關系。第（2）問立足于特殊的幾何結構直觀，需要將它轉譯為等價的代數關系。即當b>1時，方程ex-x=b有兩個不同的實數根x1，x0（x1<0（三）突出研究意識，培育探索及理性精神

隨著數學課程改革的深入，提高學生的問題意識、研究意識已成為數學教學的緊要任務。濃厚的問題意識推動著探索的步伐，反過來，主動探索又能生發新的問題或方法，且能提高問題研究水平。數學學習的樂趣在于探索的樂趣及成就感的獲得，因此，具有一定挑戰性和思辨性的數學試題能有效考查學生的綜合素質和理性精神。

例6 （2022年全國Ⅰ卷第16題）已知橢圓C：[x2a2+y2b2=1]（a>b>0），C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F2，離心率為[12]。過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，[DE]=6，則[△ADE]的周長是? ? ? ?。

評析：面對形式復雜、綜合性較強的解析幾何問題，應遵循“定義—幾何性質—常見結論— 一般方法”的思考邏輯順序。這一思考邏輯順序應經由學生在平時的學習中探究概括得到，否則難以成為學生認知結構中的可隨時調用的經驗。結合本題中[△ADE]的一般性，可聯想到利用橢圓定義及圖形的對稱性簡化運算過程。

例7 （2022年全國Ⅰ卷第21題）已知點A（2，1）在雙曲線C：[x2a2-y2a2-1=1]（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0。

（1）求l的斜率;

（2）若tan[∠]PAQ=[22]，求[△]PAQ的面積。

評析：本題的設問方式簡潔、精煉，沒有過多的鋪陳和修飾，且形式新穎。該題第（1）問屬于平時教學中的典型問題，即當過圓錐曲線上某定點的兩直線的斜率之和（或積）為定值時，那么動點連線所在直線的斜率為定值或過定點。作為第（1）問的一般性推廣，解決第（2）問需要綜合條件“直線AP，AQ的斜率之和為0”及“tan[∠]PAQ=[22]”求出直線AP和直線AQ的斜率，再分別聯立直線AP、直線AQ與雙曲線方程求出點P，Q的坐標，即可得到直線PQ的方程以及PQ的長，由點到直線的距離公式求出點A到直線PQ的距離，即可得出[△]PAQ的面積。簡而言之，要解決第（2）問，需運用解析法（主要是夾角公式或到角公式）解三角形。基于數學知識整體觀進行問題研究，不僅有助于數學問題的快速解決，而且能讓學生形成整體性認知方式和數學理性精神。

四、結語

分析高考試題的命題特征及趨向性要立足學科育人這一根本邏輯出發點，以知育人、以行塑人是基本途徑。教師應深入研究教學內容，使學生領悟數學本質，使核心素養在課堂教學中真正落地;教師應重視結構化教學，以知識認知構建知識結構，進而形成或完善認知結構;教師應帶領學生積極開展探究性學習（尤其是主題探究活動），讓知識流動起來，讓學生的思維真正活起來。

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（責任編輯：陸順演）

【作者簡介】劉師妤，華中師范大學教育博士，湖北第二師范學院講師，曾榮獲武漢市優質課一等獎;周龍虎，華中師范大學數學教育博士，華中師范大學第一附屬中學數學骨干教師，華中師范大學考試研究院特聘研究員。

【基金項目】中國教育學會2021年度教育科研中小學德育專項課題“中小學數學學科德育教學：方法與路徑”（21DY090618ZB）