把握本質，精準施策

范韋莉

摘要：蘇教版小學數學三年級上冊“平移和旋轉”的教學，要把握并立足平移和旋轉的本質，精準選擇教學方法，組織學習活動。數學本質的體會需要基于對相關現象的充分感知，可讓學生進行多元表征以積累經驗;需要遵循“先直觀后抽象”的原則，可引導學生在比較歸納中探尋概念的本質;需要關注直觀感受的獲得，可組織學生自主操作，逐步豐富概念的內涵;需要重視學以致用，從而讓學生感悟平移和旋轉的價值。

關鍵詞：數學本質;多元表征;比較歸納;自主操作;學以致用

一、教材解讀和學情分析

（一）解讀教材，明晰數學本質

平移和旋轉都是物體或圖形在空間變化其所在位置的運動方式，蘇教版小學數學教材分兩次教學有關的內容。第一次在三年級上冊，主要是認識生活中的平移和旋轉現象;第二次在四年級下冊，主要教學在方格紙上平移、旋轉較簡單的圖形。物體在現實空間的平移和旋轉屬于剛體運動學的概念，平面圖形的平移和旋轉屬于圖形變換的概念。在小學數學中，我們把前者稱為“生活中的平移和旋轉現象”，把后者看作對前者進行抽象的結果。

1.平移的本質

平移是指把圖形（物體）從某個位置沿一定的方向直直地移動到另一個位置，得到的圖形（物體）與原來的形狀、大小完全相同，且其中的每一點都是由原圖形（物體）中的某一對應點移動后得到，連接各組對應點的線段平行且相等。不難看出，平移的核心是“點”的運動，是自身包含的所有點在遵循平移條件下發生位移的圖形變換過程。平移有方向、距離兩個要素，運動方向可以是橫向、豎向，還可以是斜向。三種方式中，橫向平移和豎向平移最常見;斜向平移在小學階段較為少見，且不少學生認為這不是平移，故教學時需要在這個地方引導學生思辨。

2.旋轉的本質

旋轉是指將圖形（物體）圍繞一個固定的中心按一定的方向轉動，旋轉中圖形（物體）上任意一點的運動軌跡都是圓或圓的一部分。旋轉有中心、方向、角度三個要素，運動方向有順時針和逆時針兩種。旋轉時，既可以圍繞一個點，也可以圍繞一根軸;既可以旋轉一圈或幾圈，也可以旋轉不足一圈。

平移和旋轉，由于構成運動的要素不同，所以分開看彼此之間似乎沒有聯系，但其實不然。教學中，要引導學生溝通比較，啟發學生建立聯系，感悟不同運動方式的相同之處，即無論是直直地移動還是繞中心轉動，運動中只是位置發生變化，形狀和大小都保持不變。當然，這一整體性的認識還只是初步的，需要在之后的學習中進一步體驗與理解。

（二）分析學情，明確教學重點

蘇教版小學數學三年級上冊《平移和旋轉》一課是認識平移和旋轉的起始課。教學前，學生并不是一張白紙，他們在日常生活和學習中有接觸、有感知，但大多都是模糊的、未經數學化的。筆者在即將執教的一個班級做了前測，要求學生說說“什么是平移？什么是旋轉”，并用文字或圖示描述自己的理解。有學生認為：“平移就是平著運動，旋轉就是轉圈。”有學生舉例：“火車往前開是平移，摩天輪轉圈是旋轉。”有學生比畫：“走路就是平移，玩轉圈游戲就是在做旋轉運動。”大多數學生能將物體平移，也能將物體旋轉，但對平移、旋轉前后的變化感受不深。這些前概念是學生建立平移和旋轉概念的重要基礎。本節課就是要幫助學生從“模糊的感知”走向“清晰的認識”，引領他們體會相關運動的特點，感悟圖形變換的本質，從而發展空間觀念。

二、基于數學本質的教學

（一）多元表征，積累經驗

數學本質的體會需要基于對相關現象的充分感知。教學中，一方面，要從學生已有的經驗出發，從生活中擷取那些學生熟悉的、感興趣的素材，引導學生通過觀察、想象、比較、分類、交流等方式獲得對平移和旋轉概念的直觀認識，生成兩種運動的表象;另一方面，可以借助比畫（動作表征）、畫圖（圖像表征）及描述（符號表征）之間的關系，逐步提煉出相關運動的基本過程和主要特點，發展用數學的眼光觀察現實世界的意識，為進一步體會平移和旋轉的本質積累活動經驗。

1.動作模擬，初步感知

教學伊始，教師出示一幅國旗上升圖，詢問學生看到這樣的場景有什么感受，并讓學生嘗試比畫和描述國旗的運動。學生感受到國旗是從下往上直直地上升的。教師以此揭示本節課研究的就是物體的運動方式。

接著，教師出示一些物體運動的圖片（如下頁圖1所示），引導學生根據剛才的經驗，用手勢和語言描述出它們的運動。學生獨立嘗試并與同桌交流。教師巡視，選擇一些典型的手勢在全班交流，并引導學生在直觀觀察的基礎上用語言來描述運動的過程。例如，模擬觀光電梯運動時，可以把手放平，再沿著豎直方向從上往下或由下往上慢慢移動，移動的過程中不能晃動，要直直地移動;模擬風扇葉片旋轉時，可以用手指在空中不停地畫圈，盡量畫得圓一些，還要說出是圍繞著中心畫的。

2.畫圖示意，自主分類

在用手勢和語言描述物體運動的基礎上，教師提出更高的活動要求：（1）你能用簡單的符號或圖形表示這些運動嗎？（2）和同伴交流，將這些物體的運動方式分分類。

大多學生能夠依據經驗畫圖表示這些運動，在表示①③⑤時，學生都用直直的箭頭，但畫出的方向不同，有的是水平的，有的是豎直的，還有的是斜向的;在表示②④⑥時，學生都注意到要圍繞著中心轉動，但有的是圍繞一個點轉動，有的是圍繞一條軸轉動。學生互相補充想法，修正自己的作品。

在對六幅圖所表示的運動方式進行分類時，學生出現了不同的意見：第一種分為3類，即①⑤一類，②④⑥一類，③單獨一類;第二種分為2類，即①③⑤一類，②④⑥一類。教師詢問各自分類的理由，引導學生著重討論扶手電梯的運動：它也是直直地在移動，只不過是向著斜方向移動的。在辯論中，學生達成共識，一致認為分為兩類較為合適：一類都在直直地運動，只是方向不同;另一類都是圍繞一個點或一條軸轉動。

（二）比較歸納，探尋本質

人類社會中幾乎所有的概念都是抽象的結果。從數學本身的發展來看，數學概念的來源有兩個：一是直接由客觀事物的數量關系和空間形式反映而得;二是在抽象的理論基礎上經過多級抽象所得。本節課學習的平移和旋轉顯然屬于前者。教學中，需要遵循“先直觀后抽象”的原則，引導學生在比較中將空間思維向更深處邁進。其一，對平移要抓住“直直地”“移動”這兩個關鍵屬性，對旋轉則要抓住“固定點（軸）”“轉動”這兩個關鍵屬性。其二，通過對比兩種運動方式，促使學生感悟：無論是直直地移動還是繞固定點或軸轉動，物體本身保持不變。

1.分層揭示，抽象概括

（1）理解平移

教師引導學生再次觀察觀光電梯、扶手電梯和窗戶的運動，討論這些運動有什么相同與不同之處，揭示像這樣沿著直線從一個位置移動到另一個位置的運動叫作平移，可以水平平移、垂直平移，也可以斜向平移。

接著，教師啟發學生思考怎樣能清楚地描述物體的平移運動，在交流中逐步聚焦平移的方向和距離這兩個要素，且明確物體在運動中只是位置發生變化，形狀和大小都不變。

（2）理解旋轉

教師引導學生再次觀察風扇葉片、飛機螺旋槳和地球儀的運動，鼓勵學生依據剛才認識平移概念的經驗，交流討論這類物體運動方式的特點，得到旋轉的概念，明確旋轉運動的物體都是繞著一個固定點或一條固定軸轉動的，可以順時針轉動，也可以逆時針轉動，而且運動中只是位置發生變化，形狀和大小都不變。

2.判斷說理，舉例說明

教師出示五幅圖片（如圖2所示）讓學生進行判斷：說出是平移還是旋轉，并說明理由。學生回答后，教師適時指出：剛開始的時候，我們憑借生活經驗知道這樣的運動是平移或旋轉;學到這兒，我們要能依據它們各自的特點進行判斷和解釋。接著，教師讓學生舉出一些生活中平移或旋轉現象的實例，注意糾正學生舉例中不規范的表達。

需要提及的是，這里引入了拉窗簾的運動，這一運動極具欺騙性，能夠很好地暴露學生的學習情況：沒有深刻理解平移本質的學生很容易錯認為它是平移。教師在巡視過程中有意識對此題進行了觀察和統計，發現大多數學生能夠作出準確的判斷。

3.回顧反思，建立聯系

在此基礎上，教師引導學生回顧剛才研究的方法：我們首先觀察，然后通過比畫和畫圖想象，接著比較這些物體的運動方式，又通過分類認識了平移和旋轉各自的特點;觀察、想象、分類等都是我們學習數學常用的方法。

接著，教師引導學生經歷在變化中尋求不變的過程，啟發學生將平移和旋轉兩種不同的運動建立聯系，感受到：平移是物體從一個位置沿著某一方向直直地移動到另一個位置，旋轉是物體圍繞一個固定點（軸）轉動，這是它們的不同之處;而平移和旋轉都是全等變換，也就是運動前后圖形（物體）的形狀、大小都沒有改變，只是位置發生了變化，這是它們的相同之處。

（三）自主操作，豐富內涵

本節課雖然只是初步認識平移和旋轉現象，但并不意味著教學過程就只能停留在表面。比如，旋轉的“轉”是顯而易見的，但是學生時常會忽視旋轉中心這一要素，以至于認為“旋轉就是轉”，而意識不到是繞著什么在轉。事實上，操作是獲得直觀感受的有效途徑，也是構建空間觀念的重要方式。我們可以通過開展各種形式的操作活動，引導學生在直觀感受中不斷提升思維層次，逐步豐富概念的內涵。

1.平移操作

教師出示操作要求：把長方形紙片放在數學書的左上角，然后把它平移到右下角。

反饋中，有的學生先用長方形的長邊貼著數學書的上邊平移，再用短邊貼著右邊平移;有的學生則先下移，再右移。學生意識到，兩種操作方式皆可，只要在移動的過程中保持這種狀態。此外，有的同桌互相配合，一人借助直尺確定好直接平移的軌跡，另一人把長方形紙片從數學書的左上角平移到右下角。這樣做突出了長方形紙片是沿著直線運動的。

將長方形紙片從左上角平移到右下角，學生給出了兩種不同的操作路徑。路徑一是通過兩次平移得到，先往右再往下或者先往下再往右;路徑二是通過一次平移得到，從左上角斜斜地移到右下角。在不同平移方法的比較中，學生認識到無論朝哪個方向移動，都要沿著直線運動，而且加深了“斜向移動也是平移”的認識。

2.旋轉操作

教師出示操作要求：用毛線或者其他物品創造一個旋轉運動。

反饋時，引導學生對兩名同學用毛線展示的旋轉運動進行思考：比較兩種轉法有什么相同和不同的地方。學生發現：相同之處是緊緊按著毛線，圍繞著一個中心轉動;不同之處是可以順時針旋轉，也可以逆時針旋轉。

教師出示毛線與橡皮的旋轉運動，繼續讓學生感悟旋轉的特點，加深對旋轉內涵的理解，引導學生發現：旋轉時中心點是固定不動的，旋轉時既可以旋轉一圈或幾圈，也可以旋轉不足一圈，還可以圍繞一個中心來回擺動。

（四）學以致用，感悟價值

本節課的最后一個環節，意在通過一些綜合練習促使學生深度思考，總結平移和旋轉的特征，繼續感悟兩種運動方式的數學本質。需要關注的是，雖然平移和旋轉沒有平面圖形、立體圖形的形狀、大小等靜態要素，但教學中要將平移和旋轉兩種運動與之前的學習建立聯系，讓學生感受知識之間的融通，還要拓展平移和旋轉的實際意義，使其充分感受兩種運動的實際價值，為后續研究圖形的運動做好準備。在這一過程中，對學生的要求從能判別物體的運動方式上升到能自主構建出兩種運動，這對學生的空間想象能力是一次巨大的挑戰。

1.綜合練習，深化認知

教師出示第1題：

圖3中哪些樹葉只通過平移就可以和圖4中的樹葉重合？

在學生找出符合要求的樹葉之后，教師引導他們觀察平移后能重合的樹葉有哪些相同之處，在平移的過程中有什么不同，繼續強化對平移前后物體的大小、形狀不變，而平移的方向和距離不同的認識。進一步地，引導學生觀察②號和④號樹葉，發現將其先旋轉再平移或先平移再旋轉也可以和圖4中的樹葉重合，體會有時要用到兩種運動方式。

教師出示第2題：

不能由“”通過旋轉得到的是（）？

A. B. C.

學生交流發現，將所給圖形順或逆時針旋轉180°得到圖B，將所給圖形順時針旋轉90°得到圖C，而圖A中圓和正方形在一邊（連在一起），形狀發生了變化，因此無法通過所給圖形旋轉得到。

2.瞻前顧后，感悟價值

除了讓學生感受到本節課研究的平移和旋轉與生活密切相關，還應從更為理性的層面幫助學生拓展研究平移和旋轉的意義。

教師提問：在以前的學習中有沒有用平移和旋轉解決過問題？然后出示蘇教版小學數學二年級上冊練習三中的習題（如圖5所示），引導學生通過回顧與交流，感受把兩個完全相同的三角形拼成平行四邊形的過程中包含平移和旋轉（如圖6所示），將新知與舊知建立關聯。

此時，學生的思維被打開，教師適時引導學生想象，只要用運動和變化的眼光觀察學過的一些圖形，通過平移和旋轉，就會得到不一樣的圖形（如圖7所示）。通過課件演示，如點通過平移得到線，線通過平移或旋轉得到面，面通過平移或旋轉得到體，學生在觀察、想象、描述的過程中認識到，圖形經歷不同的運動，可以得到平面圖形，還可以形成立體圖形，感受圖形變換的神奇與奧妙，體會平移和旋轉的價值，借由生動的運動轉向更為深入的思考。

參考文獻：

[1] 史寧中.基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2] 鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.6-11