高中數學教材中數學文化的滲透

黃培琳

【摘要】新課程改革的落實使數學文化的滲透在高中數學教學中體現出了重要的意義.本文以斐波那契數列為例，闡述斐波那契數列的由來和相關數學問題，說明數學文化的價值和作用，并建議通過課堂教學、創建多元化評價體系、營造合適氛圍的方式進行數學文化的滲透.

【關鍵詞】數學文化;斐波那契數列;高中數學

一、引言

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，在數學教學中教師應該提升學生的數學應用意識，用數學來觀察、思考和表達世界，幫助學生提升數學素養.數學不是為一類人而設定的，而是面向所有人的，要使所有人都能受到良好的數學教育，使得每一個不同的個體在數學方面都能得到不同的收獲.正因如此，數學的學習目的并不是單純地要求學生對定理、定義、公式等知識的掌握，還對學生在實際生活中應用數學的能力做出了要求.新課程改革中還提出數學課程的教學應以數學文化的滲透為主線，在教學過程中，教師應做到以學生的發展為主要工作，落實立德樹人的根本任務.教師應引導學生自主思考和學習并與他人合作進行探索.與此同時，教師要促進數學課程、數學文化同生活實際的融合，從而激發學生學習數學的興趣，幫助學生感受和體會數學在科學、文化、應用和審美等各個方面的重要價值.

二、數學文化概述

“數學文化”是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點以及它們的形成和發展;還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動.數學史、數學家、數學美、數學教育等也都屬于數學文化的范疇.同時，數學與社會、其他學科以及各種文化之間的聯系也都能反映出數學文化.數學文化在我們的學習生活中隨處可見，只是需要我們用數學的眼光來發現，借此來培養學生數學的理性思維模式，提高其數學素養.因此，在由我國教育部所制定的瘙爯普通高中數學課程標準（2017年版）瘙爲中明確指出了要在學習數學知識，提升應用數學解決實際問題的能力和思維的同時，也要注重數學文化的滲透.數學課一般主要學習數學的理論知識，所以數學文化的滲透應當以數學的理論知識為載體，在抽象的數學知識基礎上盡可能通俗易懂地滲透一些數學文化.教師一般可以以數學問題、數學典故、數學觀點來滲透數學文化，激發學生對數學的興趣，形成數學思維，提升數學素養.本文以斐波那契數列為例，在高中數學教學中滲透數學文化.

三、斐波那契數列

斐波那契數列是出現在普通高中教科書《數學》（選擇性必修第二冊）第四章第一節“數列的概念”的“閱讀與思考”中的內容.其中介紹了斐波那契數列的由來和在自然界中的一些與其有關的現象.起初是意大利的一位知名數學家斐波那契（Leonardo Fibonacci，約1175—約1250）在1202年出版的一本著作《算盤全書》，并且他在書中收錄一個關于繁殖的問題.在問題中首先設1對成熟兔每月都能生1對小兔（假設每次出生的小兔都正好一雌一雄），每1對小兔都會在出生的1個月后成熟，再過1個月，成熟兔又能生出1對小兔，在所有兔都不會有生病或死亡的情況下，由第1個月第1對出生的小兔開始，直至第12個月時一共能夠有多少對兔？

在第1個月的時候只有1對小兔而沒有成熟兔，所以共有1對兔.在第2個月的時候之前的小兔轉變為成熟兔，此時共有1對成熟兔.在第3個月的時候之前的1對成熟兔此時生下1對小兔，此時共有2對兔.在第4個月的時候將會有1對小兔和2對成熟兔，所以此時共有3對兔.在第5個月的時候將有對2小兔和3對成熟兔，此時共有5對兔.以此類推，將會得到兔子總數（單位：對）為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，….

由這個問題所得到的數列就被稱作斐波那契數列，在這個無窮數列中的任意一個數都叫作斐波那契數，同時可以得到第n個月時兔的對數Fn的規律為 F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2，n=3，4，5，…，一個數列，前兩項都等于1，從第三項起，每一項是其前兩項之和，則稱該數列為斐波那契數列.

四、自然界中的斐波那契數

就像數學文化不僅僅存在于數學這一門學科之中一樣，自然界中也存在著許許多多與斐波那契數有關的現象.例如，向日葵花盤中葵花子的排列就與斐波那契數有關，仔細觀察時可以發現向日葵花盤中的葵花子排列呈現為兩組對數螺線，一組為順時針、另一組為逆時針的交叉排列.這兩條方向相反相互交叉的對數螺線條數往往就為相鄰的兩個斐波那契數，一般的向日葵為順時針34條、逆時針21條，大一點的向日葵會有55條順時針方向的對數螺線、34條逆時針方向的對數螺線，更大的向日葵是144條順時針螺線、89條逆時針螺線，在自然界中甚至還發現過233條順時針和144條逆時針對數螺線的超大向日葵.它們都呈現出這樣相鄰斐波那契數的性質.除此之外，還有松果的種子也呈現這樣的規律.經過研究發現，這樣的排列使花子的堆集效率達到了最高.自然界中的大部分花的花瓣數也為斐波那契數或者斐波那契數的整數倍，我們常見的蘭花和茉莉花就都有3個花瓣，雛菊屬的植物通常有34，55或89個花瓣.近年來我們還發現樹枝上樹杈的數目也通常為斐波那契數，第一年、第二年都只有1杈，第三年有2杈，第四年有3杈，第五年有5杈，第六年有8杈，以這樣的形式呈現出斐波那契數，這種方式可以幫助植物光合作用.大自然不可能理解什么是斐波那契數列和斐波那契數，但大自然中的種種現象卻表明它們以斐波那契數的形式來增強它們的生存優勢，這也是數學同大自然一樣的神奇之處.

五、斐波那契數列的相關問題

自兔子問題中抽象而來的斐波那契數列被大自然中的生物選擇的同時在許多數學問題中也經常出現.例如，跳格子游戲，站在樓梯的起始點往上跳，從樓梯外只能先跳入第一階樓梯，每次可以往上跳一階或兩階樓梯，有多少種方法可以跳到第n階樓梯上？在這個問題中我們可以假設有tn種方法可以跳到第n階樓梯，跳到第一階樓梯的方法只有一種，就是先跳一階，想要跳到第二階樓梯也只有一種方法，就是先跳到第一階再跳到第二階，所以可以得到t1=t2=1.由于一次只能跳一階或兩階樓梯所以想要跳到第n階樓梯，必須從第（n-1）階或第（n-2）階樓梯往上跳，我們可以知道想要跳到第n階樓梯上的方法數就是跳到第（n-1）階或第（n-2）階樓梯的方法數之和，即tn=tn-1+tn-2.由此，我們可以得出這個游戲方法數的遞推公式t1=t2=1，tn=tn-1+tn-2，n=3，4，5，….可見，數列tn就是斐波那契數列.

除此之外，連分數也與斐波那契數列有關，例如，x=11+11+11+11+…，可以將其看作x=11+x把x反復代入右側，這樣我們就會得到一個只由1構成的連分數.連分數往往無法求得它的確切數值，所以我們一般求它的近似值.我們把它從第n條分數線截住，把第（n+1）條分數線上下都刪掉，就能得出這個連分數第n次的近似值，記作unvn.以我們剛剛提到的全部由1組成的連分數為例，可得u1v1=11， u2v2 = 11+11 = 12，u3v3 = 11+11+11 = 23， u4v4 = 11+11+11+11 = 35 .由這個規律我們可以推得unvn= 11+un-1vn-1 .u5v5 = 11+u4v4 = 11+35 = 58， u6v6 = 11+u5v5 = 11+58 =813，….

按照這個順序可以依次得到連分數的近似值為11，12，23，35，58，813，…，un-1vn-1，unvn，…，這樣我們也可以較為直觀地看到連分數和斐波那契數列的關系.還有許多與斐波那契數列有關的有趣的數學問題，如黃金矩形等，這里就不再一一列舉了.

六、教學中滲透數學文化的建議

（一）在數學課堂上滲透數學文化

在傳統意義的理解上數學課堂一般是枯燥、乏味的，且數學的知識都是較為抽象的，學生對數學學科中這些難以理解和較為抽象的數學的公式、定理、定義都有較大的排斥心理和情緒.這些可能會使學生難以理解教師所教授的內容或喪失學習數學知識的興趣.因此，教師在數學課堂的教學過程中可以采用合理的方式方法適當地滲透一些數學文化內容，以此激發學生對數學知識進行了解和學習的興趣.例如，在學習函數內容的時候，教師可以從函數的起源講起，函數最早在清代由我國的數學家李善蘭在翻譯《代數學》一書時所譯出，他將function翻譯成函數，這是我國使用函數一詞的開端，并且函數這一概念最早由萊布尼茨提出，最初這位數學家用函數來表示冪，后來慢慢地就形成了我們現在所學習的函數.這樣一來，教師通過一些數學史的小故事可以吸引學生的注意力，讓學生更有興趣學習新的概念和知識.教師還可以通過引入一些日常生活中的例子，如買東西時所花的費用和所購買的物品數量之間總是存在著類似于一次函數的關系，生物中的有絲分裂和物理中的自由落體通常都類似于二次函數，生活中物品總數量和人數之間往往符合反比例函數，施工中往往會用到的三角函數.這些例子不僅可以體現出數學知識在實際生活中的應用價值，幫助學生體會數學的用處，還能體現出數學與其他學科之間的聯系，幫助學生建立起數學知識與物理、生物等其他學科知識之間的聯結，構建更加完整的知識體系和認知結構，使學生更好地理解數學概念，從而幫助學生發現數學的價值.在學習幾何和圖形有關知識時，教師可以利用生活中相關的多種圖形通過多媒體向學生展示，讓學生感受到數學就在我們身邊，只要細心觀察就能感受到無處不在的數學美和數學魅力.在一些章節的教學中，教師還可以通過講解數學定理和公式的由來、數學家的生平來滲透數學文化.這不僅可以最大限度地激發學生對課堂學習內容的好奇心和探索欲望，讓學生改變對數學課程和知識枯燥乏味的刻板印象，使數學課堂變得更加生動活潑，還可以幫助學生構建完整的知識體系，使其數學知識掌握得更加牢固，從而為學生其他學科的學習和后續的學習打下良好的基礎.

（二）構建多元化評價體系滲透數學文化

目前素質教育也提倡建立目標多元、方法多樣的評價體系，單純的數學定理、定義、公式的掌握并不能滿足目前社會所期望的人才培養要求，所以數學知識的應用對學生整體素質的影響尤為重要.成績并不是唯一度量學生學習結果的指標，許許多多的學生可能會應用公式定理來解決試卷中的數學問題，但對數學知識的起源、數學定理的證明、數學概念的內涵一無所知，他們可能擁有較好的數學成績，但他們缺少數學的素養.一味地培養應試數學，對數學的思想、數學的思維模式、數學的精神沒有了解和掌握，這樣的數學是不符合素質教育要求的數學，也是對學生后續的人生都沒有實際價值的數學.素質教育所要培養的是能夠全面發展的人.因此，在數學教學的過程中滲透合理的數學文化不僅能夠在傳授數學知識的同時幫助學生開闊視野，從全新的角度去了解數學、認識數學、構建新的數學觀念，還能夠培養學生在數學中的創新精神和數學的理性思維，以此來增強學生各個方面的素質和能力.因此，不光要對學生數學解題能力進行考核，學生的創新能力、思維邏輯、數學素養等都可以成為評價學生的標準，從而建立多元化的評價體系和在教學過程中滲透數學文化是相輔相成的.

（三）營造合適氛圍滲透數學文化

數學文化不僅存在于數學的定理、定義等知識之中，數學史，數學與其他學科的聯系、與社會的聯系以及其中所蘊含的精神、思想、方法和思維模式中都能表現出數學文化，所以數學文化的滲透也可以從這些方面著手，直接突兀地宣傳數學文化可能會較為生硬，使學生的數學學習并不能得到正向影響.從班風、校風、學風等方面都較為容易營造數學文化氛圍.通過在教室的文化墻上定期更新一些數學家生平、數學史中重要事件、有趣的數學問題等也能潛移默化地向學生滲透數學文化.在學校內的數學家雕塑、舉辦的數學知識競賽等，學生在觀賞和參與的同時就起到了學習的作用.展示學生親手繪制的相關內容的手抄報，在課后留下的邏輯小問題等不僅可以使學生主動地將注意力和精力投入到對數學知識的學習中，還能鍛煉學生的動手能力、創新能力和邏輯思維能力.這種潤物細無聲的方式不僅可以在不知不覺間達到滲透數學文化的目的，還能使學生不排斥對數學知識的學習.其他學科課程中對于數學的應用，如物理、化學以及生物等理科課程與數學有著千絲萬縷的聯系，這樣通過與其他學科之間建立一定的聯系來滲透數學文化也可以幫助學生認識到數學的價值，體會到數學的重要性，使數學更加有吸引力.

七、結束語

在數學教學的過程中滲透數學文化符合數學課程標準的理念，也是目前數學教學的一大趨勢.在未來的教學中滲透數學文化也將成為必然，而且數學文化的合理滲透可以幫助學生掌握數學的精髓，深入理解數學的概念內涵;掌握數學知識，產生探究數學的好奇心.因此，提高學生對于數學學習的興趣，同時增強學生的創新能力、應用能力和邏輯思維能力等，幫助學生形成數學的理性思維，體會數學的精神，并獲得較好的數學素養，從而使學生成為更符合社會和教育目的所要求的全面發展的人.滲透數學文化的同時可以提高數學教師的教學能力，幫助教師活躍課堂，調動學生的積極性，從而使教師和學生都終身受益.

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