高中數學教學中利用導數討論含參函數單調性的策略

馬志芳

【摘要】導數是研究函數的重要工具，而利用導數來判斷函數的單調性也是高考重點考查的內容之一。但當函數含有參數時，問題往往會變得復雜，運算也會變得繁瑣。含參函數的單調性的討論考查學生的分類討論思想、數形結合思想和轉化與化歸等數學思想方法，以及學生分析問題和解決問題的能力。

【關鍵詞】高中數學;導數;參數;單調性;分類討論;方程的根

一、利用導數求含參函數單調性的實質

導數是高中數學新增內容，給高中數學注入了新的活力。利用導數方法往往會比傳統的初等方法顯得更簡便、更易行、更有效。特別是在研究函數的單調性方面，對于不含參數的函數用導數來判斷函數的單調性，其一般步驟為：1.確定函數y=f（x）的定義域;2.求導函數 f'（x）;3.在函數f（x）的定義域范圍內解不等式f'（x）>0 或f'（x）<0，很容易寫出函數的單調區間。但是當函數中含有參數時，往往需要討論，討論含參函數的單調性過程中，如何確定分類的標準，分類時怎樣做到不重不漏，是學生學習的重點，也是難點。在研究如何分類之前，我們應該問學生兩個問題：

1.在求單調性時遇見參數一定要分類討論嗎？

2.求含參函數的單調性需要討論時，討論的關鍵點是什么呢？

例如，求f（x）=lnx -ax2（a>0）的單調性，f'（x）=-2ax，令f'（x）=0，因為a>0，x>0，解得x= ，則可以得到f（x）在（0，）上單調遞增，在（，+∞）上單調遞減。此函數含有參數，但求導后卻沒討論，是因為f'（x）=0的根是確定的。利用導數研究含參函數的單調性，需要討論是因為方程f'（x）=0的根不確定，參數影響f'（x）=0有沒有根？有幾個根？根在不在定義域內？有兩個以上的根的時候，根的大小？討論參數的目的是要化不確定為確定，通過對參數的分類使得剛才的問題能確定下來，從而寫出函數的單調區間。這就是通過導數研究含參函數單調性的本質，從而我們得到用導數求含參函數單調性的步驟：

1.求函數的定義域;

2.求導函數f'（通分化為乘除式，便于正負討論）;

3.找f'（x）=0的根（有沒有根？有幾個根？根在不在定義域內？根的大小？）;

4.標數軸，判正負;

5.結合圖像定增減。

二、導數為一次函數或類一次函數型的函數單調性討論

導數為含參的一次函數型，將求解不等式ax+b>0（<0）①a=0時單獨討論②討論a>0和a<0時，還要注意單調區間必須包含在定義域內。

例如：已知f（x）=ax+lnx（a∈R） ，討論f（x）單調性。

f'（x）=a+=，令ax+1=0，此方程的根的情況由a的正負和是否為0來決定，所以分三類：①a=0時，無根，同時f'（x）>0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上單增;②a>0時，有負根，不在定義域內，此時，情況同①;③當a<0時，方程有正根- ，畫出一次函數的圖像，結合圖像很容易得出，f（x）在（0，-）單增，在（-，+∞）單減。

導數為一次函數的討論相對比較簡單，根據定義域轉化為方程根的分布問題;根在定義域的左右兩邊（左中右）幾種情況研究;習慣畫出導函數圖像，數形結合判斷原函數單調性。同時，還有一些導數是類一次函數型的單調函數，如，ex+a，aex+1，討論的方法同一次函數型類似。

三、導數為二次函數或類二次函數型的函數單調性討論

導數為含參的二次函數型，轉化為二次函數的圖像分析，當二次項系數含參不確定時，結合定義域對其分類討論;然后根據其對稱軸、判別式、特殊點等情況結合其圖像來分類討論。當二次函數能分解因式，則應優先考慮分解因式求出函數零點，即f'（x）=0的根，當零點大小不確定時，結合定義域對零點的大小進行分類討論。

例如：已知函數f（x）=a2x2-ax-lnx，討論f（x）的單調性。

解：定義域：（0，+∞）

f'（x）=2a2x-a-==

.

①當a=0時，f'（x）=<0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞減;

②當a>0時，- <0<，x>0令f'（x）>0，即>0，解得a>;令f'（x）<0，即<0，解得0

∴f（x）在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增;

當a<0時，<0<-，x>0，

令f'（x）>0即>0解得x>-，

令f'（x）<0，即<0，解得0

∴f（x）在（0，-）上單調遞減，在（-，+∞）上單調遞增。

綜上，當a=0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減;

當a>0時，f（x）在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增;

當a<0時，f（x）在（0，-）上單調遞減，在（-，+∞）上單調遞增。

導數為二次函數時，一定要先考慮能否分解因式，若不能，則要先求出△，討論二次函數的判別式△，先考慮△≤0的情況，再考慮△>0，因為當△≤0 時，往往恒為正（負），此時，f'（x）的符號就可以較為容易判斷出來，先將這一部分問題解決后，再解決△>0時的部分;當△>0 時，對應方程=0有兩個不同的根，需要進一步討論x1，x2。這一塊主要討論兩點：①x1，x2 之間的大小關系;②x1，x2 是否在定義域或題目條件指定的區域中。這一部分運算往往比較繁瑣，討論容易出現混亂，解答時思路要清晰，同時還要有耐心。解答這類問題時，要嚴格按照上面的步驟和要求，有序進行，解答的過程才能更加全面和徹底，不會有遺漏，如，討論函數f（x）=ax2-x+lnx的單調性。此外，導函數有兩個根的函數，可以類比二次函數來研究。可能出現的類型，一般是一次函數與指數、對數函數，三角函數的組合：（x-1）（lnx+a），（x-a）（lnx+1），（x-1）（ex+a）（ex-1）（ex+a）（ex-1）（aex+1），（x-）（cosx -）.

例如：已知函數f（x）=aexx-2aex-x2+x，求函數f（x）的單調區間。

解：f'（x）=（x-1）（aex-1）.

①當a=0時，f'（x）=-（x-1），

若x>1，則f'（x）<0，f（x）單調遞減，

若x<1，則f'（x）>0，f（x）單調遞增。

②當a<0時，若x>1，

則f'（x）<0，f（x）單調遞減;

若x<1，則f'（x）>0，f（x）單調遞增.

③當a>0時，

若00即為（x-1）（x-ln）>0，

可得x<1或x>ln;

f'（x）<0，即為（x-1）（x-ln）<0，

若a=，則f'（x）=（x-1）·（ex-1-1），f（x）在R上單調遞增。

若，則f'（x）>0，即為（x-1）（x-ln）>0，可得x>1或x

f'（x）<0，即為（x-1）（x-ln）<0，可得ln

綜上可得：

當a≤0時，f（x）的單調遞增區間為（-∞，1），單調遞減區間為（1，+∞）;

當a=時，f（x）的單調遞增區間為R;

當a>時，f（x）的單調遞增區間為（1，+∞），（-∞，ln），單調遞減區間為（ln，1）;

當0

在我們用導數研究函數單調性時，會碰到各種形式的含參導數，面對這一類型的題目時，我們要鼓勵學生不要輕易放棄。只要我們抓住利用導數研究含參函數單調性的本質是從導函數的變號零點在定義域中存在的問題入手，關注定義域的限制，遵循先特殊后一般的原則;以f'（x）=0的根的個數及大小關系為線索分類討論，按照上述的步驟和要求依次執行，很多問題都會柳暗花明。正所謂，“高中導數作用大，函數單調多虧它，遇到參數不可怕，尋根來問分類答”。

責任編輯? 溫鐵雄