GeoGebra軟件在高中數學教學中的應用探究

雷青蘭

【摘要】隨著我國社會生產力與科技的不斷發展，教育領域也發生了很大變化.改變傳統的教學方法和觀念，運用現代化的教學技術手段，成為滿足教育改革要求和提高課堂教學效果的關鍵.GeoGebra軟件是現代化教學工具，具有操作簡單方便、交互性強、學習效率高以及應用范圍廣等特點，將其運用到高中數學教學中，可將抽象的數學圖形直觀地展示給學生，幫助學生形象地理解和學習抽象的數學知識，在提升數學課堂教學效果和教學質量等方面具有積極的作用.文章介紹了GeoGebra軟件的概念，并深入分析了GeoGebra軟件在高中數學中的運用，希望能幫助教師合理掌握GeoGebra軟件在高中數學教學中的運用.

【關鍵詞】GeoGebra軟件；高中數學；教學應用

【基金項目】本文系2022年湖南省郴州市教育科學“十四五”規劃一般課題“GeoGebra軟件在高中數學教學中的應用探究”（課題批準號：CJKG2022B028）的階段性成果.

引 言

隨著科學技術的不斷進步與社會經濟的飛速發展，人們對現代信息傳遞手段有了新的要求，這也給信息化教學帶來了新的發展契機.為滿足教育改革的要求，教師需要對傳統的教學方法進行創新，實現現代信息化技術與課堂教學的有效融合.而將以GeoGebra軟件為代表的現代化教學工具應用到高中數學教學中，能直觀地展示抽象的數學知識，提升學生數學學習的興趣，有效提升學生的數學學習能力.

一、GeoGebra軟件簡介

GeoGebra是一款結合幾何、代數和微積分的動態數學教學軟件，其作為動態的幾何軟件，可以作點，畫向量、直線、線段、函數等，還能根據輸入的數值對圖形進行相應的調整，讓學生直觀觀察抽象圖形的動態變化.GeoGebra軟件不僅能夠提供大量的計算工具，還能進行各種幾何變換，如旋轉體、旋轉角度及平移角等，從而幫助學生多角度認識事物的本質.GeoGebra由幾何工作窗口、代數工作窗口和工作表窗口組成.在GeoGebra代數命令窗口輸入表達式，按下回車鍵，代數區內會出現代數表達式，還會有對應的圖形出現，實現了數與形的統一，能夠讓學生用代數方法學習幾何.總之，GeoGebra軟件具有輔助求解代數、幾何問題等功能.教師應用GeoGebra軟件開發高中數學實驗課件，能發展學生的數學直觀意識，簡化學生的學習思維方式，幫助學生深入理解深奧的數學問題.

二、GeoGebra軟件在高中數學教學中的應用分析

（一）創建直觀形象

教師可借助GeoGebra軟件為學生創設問題情境、想象情境與實驗情境等，讓學生在實際教學情境中直觀地觀察需要學習的知識，也會激發學生的好奇心和求知欲，使學生產生自主探究的意識，由此促進學生對數與形轉化規律的掌握.

就高中數學教學而言，最重要的就是讓學生通過數形結合理解數學知識，借此對數學知識有一個更深刻的認識.例如，對立體幾何，教師在制作課件時可先在GeoGebra軟件上使用3D繪圖功能畫圖，再配合GeoGebra里的動態功能制作實驗教學課件，借此更直觀、更形象地展示數學知識，讓學生直觀感知圖形的性質，使學生在頭腦中產生有效的視覺意識，最終提升學生的直觀想象能力，幫助學生借助幾何圖形探索數學問題，促使學生形成幾何直觀意識，這樣既能填補實物模型的空白，還能完成抽象幾何向直觀圖形的轉換.以“立體圖形的直觀圖”的教學為例，其教學重點是讓學生繪制空間幾何體直觀圖，為學生學好立體幾何打下基礎.因此，教師在教學中如何幫助學生正確地畫出各種形式的空間圖形就顯得十分重要.課程主要介紹了斜二測畫法，它具有形象直觀、容易記憶和運用等特點，所以在實際教學中被廣泛應用.因此，在本課中教師首先要幫助學生掌握斜二測畫法.教材中給出了長方體、圓柱以及圓柱與圓錐組合體的直觀圖繪制方法.由于這些圖形中各部分形狀不同，因此它們都有相應的直視圖或斜視圖.在教學中，教師可運用GeoGebra軟件可動態繪制圖形的優勢進行適當的延伸，讓學生探討圓錐、圓臺、球的直觀圖畫法，進而使學生掌握繪制空間幾何體直觀圖的方法，認識空間幾何體直觀圖，從直觀層面學習基本的立體圖形知識，加深學生對多面體、旋轉體、組合體等多種圖形的理解，讓學生深刻了解平面與空間幾何之間的關系，更好地掌握立體幾何的概念以及規律.

借助圖形這一工具實現數形之間的相互轉化是一種行之有效的教學方法.教師可利用幾何畫板等輔助設備進一步增強直觀教學手段的實用性和有效性.例如，教師可使用GeoGebra軟件畫圓柱體，讓學生從不同的角度觀察圓柱體，或者將三維立體圖像展示給學生，進一步加深他們對物體形狀和大小等方面的認識與理解.學生可利用GeoGebra軟件的幾何功能區繪制圓柱體，然后按照提示在坐標系中對圓柱體上下底面的圓心進行處理，選擇下底面圓心，輸入底面半徑，再點擊確認，右邊繪圖區將自動產生一個圓柱.學生還可借助幾何圖形輔助運算操作，如要將二維圖形轉換成三維空間物體模型，則需要根據三維建模方法建立三維坐標系，之后才能創建出具有立體感的物體模型，使學生在動手模擬繪圖的過程中更加直觀地認識相應圖形，并且在數與形不斷轉化與關聯的過程當中對數學知識形成更加明確、直觀的理解.

（二）構建知識模型

教師在對不同知識點進行講解時運用GeoGebra軟件，可使學生靈活運用已獲得的經驗與知識深化對數學知識的把握與理解，建立舊知識和新知識之間的關聯，從而有效運用數學方法解決實際問題.

就高中數學教學而言，教師可通過數形結合讓學生理解數學知識，用數形結合實現代數問題與幾何問題的相互轉化，使幾何問題代數化，借此讓學生對數學問題有一個更深刻的認識，并借助幾何直觀發展學生的抽象思維能力，幫助學生學會利用圖形進行解題分析與求解，將抽象問題具體化，復雜問題簡單化，激發學生的學習興趣與探索欲.教師也可以借助GeoGebra軟件進行教學，準備數形結合的數學實驗課件，由此直觀展現數與形的本質聯系，讓學生借助建構幾何圖形探索數學問題，使學生形成幾何直觀意識.另外，教師借助幾何圖形進行輔助運算操作，也有利于促進學生對數與形之間相互轉化規律的掌握.教師可采用構造圖形的方法幫助學生理解代數問題的解決思路，讓學生掌握數與形的聯系和轉化方法，使學生更加容易找到數學問題的解決方法.教師借助這一方式還能夠促使學生將抽象的數學知識具體化，從而便于理解和掌握.這種直觀的教學手段對學生數形轉換能力的構建起到了很好的促進作用，還能激發學生對數學知識的學習興趣.以“函數的概念和性質”的教學為例，在教學過程中，教師可以利用GeoGebra軟件制作課件，以此更直觀地顯示對應圖形和函數式之間的聯系，從而讓學生在觀看課件后學會探討其內在關系，增強數學轉換的意識.在此基礎上，教師可將抽象的數學知識轉化成具體形象的圖像信息，幫助學生更好地理解相關內容.通過這一教學模式，學生既能深刻體會數形結合的含義，又能學會運用圖形求解數學問題.

（三）師生共同參與

傳統的數學課堂一般都是教師先向學生傳授深奧的理論知識，然后布置作業，讓學生加深對知識的理解，但是這種教學方法不但不能強化學生的知識學習效果，還會讓學生喪失學習的熱情.因此，要想提高課堂效率，教師就必須改變傳統教學方式，引入更多先進的教育理念和教學方法.教師可應用GeoGebra軟件進行演示教學，再依據教學問題或引申問題，讓學生親自動手進行探索.具體的操作如下.第一，教師在學生動手操作的過程中在一旁觀摩，在學生遇到問題時予以幫助和指導，讓其學會獨立動手和自主思考，以此達到GeoGebra軟件在高中數學課堂中的運用實效.在實際教學當中，教師不僅應該幫助學生解決疑難問題，還要對學生提出有效的意見和建議，如此才能更好地提升教學質量.第二，教師作為教學活動的組織者，應該發揮主導作用，保證課堂教學活動的有序開展，在教學中掌握節奏，恰當地對課堂中出現的問題加以指導，指出學生在學習上存在的問題，切實發揮教師組織者、策劃者的應有作用.第三，教師應充分結合教材內容以及學生學情設計出符合教學要求的問題，讓學生把學習中遇到的深奧、不易掌握的知識點記錄下來反饋給教師，教師及時給予指導，幫助學生解決疑難問題.

使用GeoGebra軟件授課時，教師可在教學中精心設計互動與提問環節，并引導學生上臺動手操作，讓學生自主探索知識.在這一基礎上，教師可以將數學知識與現實生活相結合，借助這一手段培養學生的創新思維能力，從而達到優化教學效果的目的.另外，在教學過程中，教師應結合具體教學內容設置不同類型的問題，鼓勵學生積極提出問題與解決方法，從而有效培養學生分析問題和解決問題的能力.在向學生傳授重難點知識的過程中，教師可使用GeoGebra軟件，采用分組的方式，指導學生開展組內討論，以此培養學生的合作探究精神.如開展“簡單幾何體的表面積與體積”的教學，本節主要內容是計算柱體、錐體、臺體的表面積與體積，學生初次計算時會因圖形太抽象感到無所適從，為此教師可以運用GeoGebra軟件繪制柱體、錐體、臺體，并向學生展示幾何圖形的展開圖，讓學生弄清組合體的組成形式，這樣學生就能掌握多面體表面積計算就是求各個面的面積和，圓柱體、圓錐體、圓臺體的側面是曲面，側面積計算需要將曲面展開，表面積就是側面積與底面圓的面積的和.之后，教師可根據圖形的組成形式，讓學生學會利用“拼接面”“切割”“補形”的方法求幾何體的表面積和體積.為了進一步探究柱體、錐體、臺體的表面積與體積的區別與聯系，教師可先將學生分為小組，然后用GeoGebra軟件指導學生組內討論，以此提升學生學習的積極性.之后，教師可根據教學內容選擇不同類型的教具展示相關幾何體，或者指導學生使用GeoGebra軟件繪制相關幾何體，通過親自動手或者組內互動探索這部分數學知識，從而發揮學生在學習中的主觀能動性.

（四）學生自主探究

課前預習是提高高中數學課堂教學效率和效果的重要環節之一，也是培養學生學習興趣以及探索精神的重要途徑.對學生不易掌握的內容，教師可將其與其他學科相結合，這樣能夠激發學生的求知欲和探索欲，提高教學質量.教師可先用GeoGebra軟件向學生進行演示教學，然后根據引申問題讓學生進行動手操作，切實培養學生的直觀觀察能力、抽象概括能力、聯想能力與讀圖能力.同時，教師可借助此軟件幫助學生分析數學習題，并歸納總結出相應的解題規律與方法，或者借助軟件對部分數學知識進行輔助解釋，從而使學生借助這一工具加深對所學知識內容的理解與掌握.另外，在這個過程當中，教師可借助教學課件，讓學生利用GeoGebra軟件觀察數學圖形，概括數學知識.

以“三角函數”教學為例，學生在初中階段就學習過銳角三角函數知識，所以對本節課內容學習具備一定的基礎.學生面臨的一個新的學習問題是：角這一概念擴展后，原來熟知的銳角三角函數能否同樣擴展為任意角？這一問題可使學生體驗新知識產生的可能性和自然性.教師借助GeoGebra軟件導入新課能使這個問題的解決變得更輕松.教師可在GeoGebra軟件的輔助下利用幾何畫板進行動畫演示，讓學生系統地理解該部分內容，同時讓學生借助該軟件探究不同角度下正弦和正弦波之間存在著怎樣的變化規律，加深學生對該部分內容的認識.然后，教師可讓學生求解任意角的三角函數值，學生可以直觀觀察到只要找到角的終邊，使得終邊端點與原點之間有1個單位距離，便可求出這個角的三角函數值.然后，教師可引導學生學習弧度的定義：長等于半徑長的圓弧所對應的圓心角為1弧度，單位縮寫是rad.在此基礎上，教師可提出計算圓周長及面積的兩種方法.此外，教師可借助GeoGebra軟件的動態演示，幫助學生認識π和180°，2π和360°之間的關系.運用GeoGebra軟件編制數學實驗課件既能有效指導學生學習，又能有效地促進學生觀察能力的發展.

結 語

總之，GeoGebra軟件在高中數學教學中的運用能幫助學生形成更加形象、直觀的數學認識，更好地理解和掌握數學知識.同時，教師通過該軟件可以更好地促進教學活動的開展，學生會因GeoGebra軟件帶來的數學美感而提升學習數學的興趣.所以，高中數學教學應該從教學和學生實際出發，將GeoGebra軟件合理穿插到數學教學中，培養學生的自主探究能力，提升高中數學教學的成效.

【參考文獻】

[1]何麗萍.在高中數學教學中應用GeoGebra軟件的策略[J].基礎教育論壇，2022（31）：111-112.

[2]周李曉.GeoGebra與高中數學教學深度融合的案例研究[J].理科考試研究，2022，29（21）：25-26.

[3]張文香.GeoGebra軟件在高中數學教學中的探究性應用[J].家長，2022（29）：55-57.