核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解策略分析

任丹

【摘要】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的指揮棒、方向標(biāo)，不僅能促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)改革，賦能數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，還能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)模型建構(gòu)等學(xué)科技能，從而帶動(dòng)學(xué)生綜合解題能力的發(fā)展.而導(dǎo)數(shù)問(wèn)題作為近年來(lái)高考考查的熱點(diǎn)，在其解題教學(xué)中滲透核心素養(yǎng)，有利于進(jìn)一步提升學(xué)生的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解能力.為發(fā)揮核心素養(yǎng)對(duì)學(xué)生導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解的促進(jìn)提升作用，文章將基于核心素養(yǎng)深入探究數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解的有效策略.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)問(wèn)題；求解策略

函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式取值范圍等問(wèn)題均是導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)考查的重點(diǎn)，解決這些導(dǎo)數(shù)問(wèn)題不僅要求學(xué)生熟悉導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)概念，能靈活遷移轉(zhuǎn)化知識(shí)，還需要學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等思想能力，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力、直觀想象能力也提出了較高的要求.隨著學(xué)科育人思想理念的更新迭代，學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已成為衡量課堂育人實(shí)效性的標(biāo)準(zhǔn)之一，并深受廣大教育工作者的認(rèn)可.對(duì)此，筆者將基于對(duì)核心素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)，簡(jiǎn)述對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解策略的見(jiàn)解.

一、在核心素養(yǎng)下研究高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解題策略的意義

（一）有助于強(qiáng)化學(xué)生導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解能力

在核心素養(yǎng)指引下對(duì)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解策略進(jìn)行研究，既能促使相關(guān)教育工作者重新審視導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)，關(guān)注學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展情況，還能促進(jìn)導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)架構(gòu)的合理規(guī)劃，全面提升學(xué)生導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解能力，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的導(dǎo)數(shù)知識(shí)模型.而學(xué)生亦能借此科學(xué)提升導(dǎo)數(shù)解題能力，發(fā)揮學(xué)科核心素養(yǎng)對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解的輔助效能，擺脫傳統(tǒng)模板化解題的狀態(tài).

（二）有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)

導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解是學(xué)生發(fā)現(xiàn)、研究、創(chuàng)造數(shù)學(xué)的一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，在此過(guò)程中，學(xué)生能充分體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)由已知轉(zhuǎn)化為未知、由抽象到具體、由定量到定性、由理論到實(shí)際的方法技巧，掌握問(wèn)題發(fā)現(xiàn)、切入、探究及處理的具體手段，鍛煉并強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)應(yīng)用能力，以更好地理解導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、內(nèi)涵以及應(yīng)用等，繼而潛移默化地對(duì)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)產(chǎn)生積極的導(dǎo)向促進(jìn)作用，帶動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.此外，導(dǎo)數(shù)問(wèn)題作為集抽象、邏輯、數(shù)據(jù)于一體的綜合性問(wèn)題，與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著異曲同工之妙，故學(xué)生在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解訓(xùn)練中，也在不斷地強(qiáng)化個(gè)人的學(xué)科素養(yǎng).

二、核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解策略

（一）邏輯推理轉(zhuǎn)化問(wèn)題，用導(dǎo)數(shù)求解不等式問(wèn)題

不等式恒成立問(wèn)題與不等式證明問(wèn)題作為導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的重要組成，是高考導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的熱點(diǎn).不等式恒成立問(wèn)題可通過(guò)邏輯推理轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，再套用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值問(wèn)題的方式進(jìn)行解題.而對(duì)于不等式證明問(wèn)題，可利用邏輯推理轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.對(duì)此，教師不妨在利用導(dǎo)數(shù)處理不等式問(wèn)題教學(xué)中側(cè)重發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，在解題環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化的條件，將未知信息轉(zhuǎn)化為已掌握的函數(shù)知識(shí)，推理演繹出解題的思路，降低不等式問(wèn)題求解的難度.用導(dǎo)數(shù)邏輯推理轉(zhuǎn)化不等式問(wèn)題的解題策略如下.

例1 已知函數(shù)f（x）=sinx（x≥0），g（x）=ax（x≥0），若f（x）≤g（x）恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 根據(jù)題意，f（x）≤g（x）恒成立，代入原函數(shù)式可得到一個(gè)不等式，再根據(jù)所求的是實(shí)數(shù)a的取值范圍，便可推理出本問(wèn)題主要是用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問(wèn)題.

反思：學(xué)生在用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可先進(jìn)行簡(jiǎn)單的函數(shù)式代入化簡(jiǎn)，若得到如例1中的f（x）≤g（x）恒成立不等式，便可根據(jù)上述導(dǎo)數(shù)求解不等式問(wèn)題的思考切入方式，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值與0的關(guān)系，從而進(jìn)行求解.同時(shí)，將f（x）≤g（x）恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）與g（x）的圖像關(guān)系，且前者圖像應(yīng)恒在后者圖像下方.以上解題策略的探討可帶動(dòng)學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展，達(dá)到發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的目的.

（二）數(shù)形結(jié)合直觀想象，用導(dǎo)數(shù)求解最值問(wèn)題

用導(dǎo)數(shù)解函數(shù)最值問(wèn)題，一般需要學(xué)生先結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的零點(diǎn)，再通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想將其轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像的變化情況逆向思考是否符合題意，再直觀想象推演出函數(shù)極值點(diǎn).值得注意的是，該類(lèi)型問(wèn)題求解的關(guān)鍵是作圖，教師需要在解題教學(xué)中側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合處理最值問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成作簡(jiǎn)圖的習(xí)慣，以輔助學(xué)生更好地進(jìn)行直觀想象，高效求出導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的最值，達(dá)到發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的目的.

例2 已知A地為海中小島，距離公路BC的直線距離AB=50km，且公路一端的B地與另一端的C地相距100km.若小明打算從海島A地到C地，先借助速度為25km/h的小船到達(dá)公路BC上的D處（不與B，C重合），再乘坐速度為50km/h的小汽車(chē)從登陸點(diǎn)D去到C地，試分析登陸點(diǎn)D應(yīng)當(dāng)設(shè)在何處才能使小明所使用的時(shí)間最短.

解析 本例題主要考查學(xué)生函數(shù)關(guān)系建立及用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值問(wèn)題.由于條件較為抽象，學(xué)生可通過(guò)數(shù)形結(jié)合輔助求解，從而更快地建立函數(shù)式進(jìn)行最值求解.

反思：利用數(shù)形結(jié)合思想求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題能為學(xué)生思考提供方向，使得學(xué)生更加迅速地找到問(wèn)題切入點(diǎn)，化抽象要素為具體要素，將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)求最值問(wèn)題.

（三）分類(lèi)討論數(shù)據(jù)分析，用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)單調(diào)性問(wèn)題是近年來(lái)高考熱點(diǎn)，其大多與一元二次不等式相結(jié)合，需要學(xué)生根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性所存在的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性.該類(lèi)型問(wèn)題的本質(zhì)就是討論分析導(dǎo)函數(shù)f′（x）的值的正負(fù)問(wèn)題.而分類(lèi)討論思想作為處理該類(lèi)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題較為常用的思想，是學(xué)生處理該類(lèi)型問(wèn)題必須具備的思想能力.同時(shí)，分類(lèi)討論思想能幫助學(xué)生強(qiáng)化數(shù)據(jù)分析能力，培養(yǎng)學(xué)生在不同情境中收集、分析、處理信息思維素養(yǎng)，使學(xué)生能結(jié)合題目條件靈活討論、求解函數(shù)的單調(diào)性，幫助學(xué)生高效處理導(dǎo)數(shù)單調(diào)性問(wèn)題.

解析 根據(jù)題意，可知參數(shù)a會(huì)對(duì)函數(shù)圖像產(chǎn)生影響，故a的取值決定著函數(shù)的單調(diào)性，所以本題主要應(yīng)先求f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后利用分類(lèi)討論思想對(duì)a進(jìn)行分析，得出函數(shù)的單調(diào)性.

反思：本例題主要考查函數(shù)單調(diào)性判斷問(wèn)題，可直接歸納到f′（x）的符號(hào)判斷上，而對(duì)于f′（x）>0或f′（x）<0問(wèn)題，則可先將其轉(zhuǎn)化為一元一次或一元二次不等式問(wèn)題，再結(jié)合分類(lèi)討論思想進(jìn)行討論.

（四）建構(gòu)模型導(dǎo)向?qū)嵺`，用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題

用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)生提升知識(shí)遷移整合能力、綜合解題能力的最佳手段，也是貫徹實(shí)踐育人思想的重要體現(xiàn).近年來(lái)，導(dǎo)數(shù)問(wèn)題聯(lián)系生活實(shí)際的題目漸多，同時(shí)，此類(lèi)型題目需要學(xué)生綜合運(yùn)用最值、零點(diǎn)、單調(diào)性等函數(shù)知識(shí)，對(duì)學(xué)生的綜合解題能力要求較高.對(duì)此，教師可通過(guò)整合以上多種解題策略，聯(lián)系生活實(shí)際，幫助學(xué)生積累用導(dǎo)數(shù)處理生活問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)和技巧，逐步建構(gòu)與之相匹配的導(dǎo)數(shù)解題模型，帶動(dòng)學(xué)生導(dǎo)數(shù)解題能力素養(yǎng)的發(fā)展，最終達(dá)到用生活實(shí)踐數(shù)學(xué)模型建構(gòu)帶動(dòng)學(xué)生導(dǎo)數(shù)解題能力的目的.

反思：本例題中涉及函數(shù)的眾多知識(shí)，考查學(xué)生建構(gòu)模型處理實(shí)際問(wèn)題的能力，教師可通過(guò)用導(dǎo)數(shù)處理實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型來(lái)幫助學(xué)生解題：（1）列函數(shù)式y(tǒng)=f（x）；（2）對(duì)y求導(dǎo)，并令y′=0；（3）求得x，解決實(shí)際問(wèn)題.教師應(yīng)通過(guò)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)提升學(xué)生的實(shí)際問(wèn)題處理能力.

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解教學(xué)可發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，符合新高考考查學(xué)生知識(shí)技能的思想理念，故教師用核心素養(yǎng)創(chuàng)新指引高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解策略勢(shì)在必行.教師應(yīng)基于核心素養(yǎng)推進(jìn)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求解教學(xué)體系架構(gòu)，輔助學(xué)生建構(gòu)完整的導(dǎo)數(shù)解題模型，發(fā)展學(xué)生的導(dǎo)數(shù)思維意識(shí)，鍛煉學(xué)生的導(dǎo)數(shù)解題技能，以助力學(xué)生綜合提升導(dǎo)數(shù)解題能力，最終達(dá)到發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的目的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳爾明，陳坤其.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的試題命制與解析：以“導(dǎo)數(shù)解決零點(diǎn)問(wèn)題”為例[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（18）：33-35.

[2]王洋洋.繼承和構(gòu)造思想在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的運(yùn)用[J].數(shù)理化解題研究，2019（28）：26-27.

[3]勇樂(lè)慧.分類(lèi)討論在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（高中版），2023（1）：4-5.