精研教材 理解本質

潘永斌 張居敏

摘 要：以“圓錐曲線”的單元復習課教學設計為例，通過充分利用教材所提供的素材，重新審視“綜合與聯系”的含義，旨在將目光聚焦在核心概念上，站在整體與本質的角度，“再研”教材，促使學生真探究，提升理解層次，更好地把握圓錐曲線.

關鍵詞：整體教學；核心素養；數學本質；圓錐曲線

隨著《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的發布，數學核心素養成為數學教育領域研究的熱點問題.圓錐曲線作為解析幾何的重要內容之一，是高中數學教學的重點與難點.筆者嘗試以“圓錐曲線”章節復習課的設計為例，通過完成大單元教學設計的閉環，努力實現課堂教學設計與數學學科素養的有效對接，以期讓數學核心素養的落實不再是一句口號.

1 問題的提出

在蘇教版《普通高中教科書·數學》中，“圓錐曲線”單元通過“總—分—總”方式編排.首先，在章首語部分，總體建構了圓錐曲線的概念，總領研究內容與研究方法；其次，立足橢圓、雙曲線及拋物線，從標準方程、幾何性質兩方面進行由知識及素養的深層研究；最后，聚焦學生關鍵能力的生長點，通過回顧與總結，使學生形成從對三類圓錐曲線分類定義的差異化到對其數學本質理解的一致性的飛躍.

在教材的實際使用和日常教學過程中，越來越多的教師能在章首語與具體內容的教學中體現總體的研究方法，但在章節復習課的教學中，卻往往將教科書里的經典素材與精彩的“思維留白”束之高閣，取而代之的是大量的解題訓練.單純的解題訓練往往無法實現學生對概念本質的理解，很多試題通常是對概念在標準或變式情境下的套用和模仿，屬于記憶性理解，不涉及數學本質和根源.因此，對數學概念的理解要深入源頭，厘清脈絡，構建關系網絡，才能達到解釋性理解和探究性理解的層次.

2 問題的分析

在蘇教版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊中，關于橢圓和雙曲線的簡單幾何性質，都給出了以“動點到定點的距離與到定直線的距離的比值等于常數的動點軌跡”的例題或課后習題；而在人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊中，關于橢圓和雙曲線的簡單幾何性質，都給出了求“動點到定點的距離與到定直線的距離的比值等于常數的動點軌跡”的例題，并設置了“用信息技術探究點的軌跡——橢圓”的活動.筆者認為，兩版教材都如此編排的目的是為建立圓錐曲線統一定義作好鋪墊，也為學生消除圓錐曲線離心率定義上的差異、理解其數學本質的一致性提供支架.

因此，在章節復習階段，教師更應充分利用教材所提供的素材，重新審視“綜合與聯系”的含義.通過知識點的疊加、加大題目的難度并不是明智之舉.

3 圓錐曲線的再認識

3.1 統一定義，消除差異

在蘇教版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊中，在橢圓、雙曲線的幾何性質之后，分別在p.93頁的思考運用14和p.108頁的探究拓展13給出了如下兩道習題：

14. 在推導橢圓的標準方程時，我們曾得到這樣一個方程.

你能解釋這個方程的幾何意義嗎？

13. 動點M（x，y）與定點F（c，0）的距離和它到定直線l：x=a/2c的距離之比是常數ca（c＞a＞0）.求動點M的軌跡.

兩版教材均在例題或習題處提供了橢圓和雙曲線第二定義的探究情境，究其原因是為了給拋物線的定義作好銜接與鋪墊.在給出拋物線的幾何性質之后，又給出了鏈接：圓錐曲線的統一定義的閱讀材料.

在本章節的復習課上，教師可以通過串聯以上三個內容，解決在之前拋物線教學中學生的困惑：拋物線與橢圓、雙曲線定義的不一致.教師帶領學生回顧推導橢圓和雙曲線的標準方程過程中第一次平方、化簡后的方程，從橢圓和雙曲線方程的推導過程出發，消除圓錐曲線定義形式上的差異，促進學生對圓錐曲線統一性的理解.

3.2 追溯起源，一致理解

在本章節教學內容全部結束之后，教材又在閱讀材料中談到了圓錐曲線與三大幾何作圖問題中的“立方倍積”問題有關，再次加深了對三種圓錐曲線本質的一致性理解.教材提供了從起源看圓錐曲線一致性的視角.筆者認為，在單元復習課上，教師可通過整合教材上此部分閱讀內容并通過適當介紹“Dandelin雙球模型”，適當介紹此部分數學史的相關內容，使學生認識到從起源上看圓錐曲線的形狀和類別是由截面位置確定的.因此，離心率是截面與圓錐面相對位置的代數表達.通過對“Dandelin雙球模型”和圓錐曲線起源的了解，以圓錐曲線的統一定義為依據，可深化學生對圓錐曲線本質的理解.

3.3 回歸起點，深入認識

在蘇教版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊“圓錐曲線”章節的復習題中，有這樣一個探究拓展的問題：離心率相同的二次曲線形狀都相同.文中還提到了任何拋物線的形狀都相同（相似）這樣一個看起來有些讓人困惑的結論.

其實，形狀是圖形分類的標準，對形狀的刻畫和研究是幾何的內容.由于研究方法的變化，平面幾何與解析幾何刻畫圖形形狀的方式不同，前者是直觀的度量方法，只需度量幾何元素的數目和大小；后者是間接的運算方法，既要度量還要運算.這種改變致使學生在平面幾何中積累的經驗不能正確遷移到解析幾何中.

直線斜率是理解離心率的認知起點.首先，兩者功能相同，斜率刻畫了直線的傾斜程度，斜率相等的直線經平移后可以重合，體現為圖形的全等.同樣，離心率刻畫的是橢圓的扁平程度（雙曲線的張口大小），離心率相同的圓錐曲線經過旋轉、伸縮和平移后也能重合.其次，兩者的概念表征相似，直線上點的坐標是計算斜率的幾何量，但斜率并不依賴點的坐標.同樣，圓錐曲線上點到焦點的距離和它到準線的距離，或者橢圓（雙曲線）的焦距和長軸（實軸）是計算離心率的幾何量，但離心率也不依賴于它們，而是源自截面和圓錐面的相對位置.

在章節復習課中，教師可利用教材給出的拓展問題引發學生的思考，體會離心率是如何統一地作用于刻畫三種不同圓錐曲線形狀的.再聯系之前直線斜率這一離心率的認知起點，串聯起解析幾何整章的教學.

4 總結與反思

在目前的數學課堂上，教師往往會不自覺地被各種試題牽著鼻子走，不斷給學生強化各種解題技巧.特別是在單元復習課上，更是常常將復習課上成習題課.筆者認為，復習課的作用絕不僅僅是概念的機械重復與習題的強化，更應是站在一個高處，俯瞰整章脈絡，梳理出一條清晰的線索，串聯起知識與方法，體現內部的聯系與整體結構，甚至是回到邏輯起點，將發生發展的過程說清楚、想明白.

單元整體教學不是僅僅一個章首課或是一兩句話就能完成的，它體現在教學的每個環節，到單元復習課更應對其形成閉環，不但統一研究內容與研究方法，更應體現知識點的內部邏輯聯系與結構，達到融會貫通.

本節復習課的設計旨在引導學生在逐個學習圓錐曲線的基礎上，利用確定圓錐曲線的幾何要素，從多種角度、用統一的幾何語言清晰地描述圓錐曲線的幾何特征與問題，再用代數語言描述這些特征和問題，然后借助幾何圖形的特點形成解決問題的思路，通過直觀想象和代數運算得到結果，并給出幾何解釋，解決問題，以期將對學生數學核心素養的培養落到實處.

參考文獻：

［1］ 章建躍.基于數學整體性的單元教學設計之教學過程設計［J］.中小學數學（高中版），2020（10）：4+6264.

［2］ 周軍鳳.整合單元要素 促進綜合學習——以“圓錐曲線的方程”為例［J］.中學數學教學參考，2022（6）：7274.

［3］ 劉慧.基于深度學習的高中數學重組單元教學路徑研究［J］.數學之友，2022（16）：2021.