融入課程思政的線性代數混合式教學模式探究

王志華 王成敏

摘 要：圍繞立德樹人根本任務，本文對課程思政與線性代數混合式教學模式的相互滲透與有效融合開展了探索與研究。線性代數混合式教學的不同環(huán)節(jié)應體現課程思政的不同方式和內涵，本文對混合式教學的各個環(huán)節(jié)應該融入哪類思政元素進行了辨析，努力在混合式教學模式下將價值塑造、知識傳授和能力培養(yǎng)融為一體，形成協(xié)同育人的效應。

關鍵詞：課程思政 線性代數 混合式教學 數學思維

2016年12月，習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上指出：“要用好課堂教學這個主渠道，思想政治理論課要堅持在改進中加強，提升思想政治教育親和力和針對性，滿足學生成長發(fā)展需求和期待，其他各門課都要守好一段渠、種好責任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應。”［1］

2020年5月，教育部印發(fā)的《高等學校課程思政建設指導綱要》從九個方面對高校課程思政建設工作進行了部署和指導，明確要把思想政治教育貫穿人才培養(yǎng)體系，全面推進高校課程思政建設，發(fā)揮好每門課程的育人作用，提高高校人才培養(yǎng)的質量。

作為高等學校理工科專業(yè)核心公共課程之一，線性代數對培養(yǎng)學生的邏輯推理和抽象思維能力、提升學生的空間想象力和創(chuàng)新思維能力有著不可替代的作用，對學生數學素養(yǎng)的形成和后續(xù)專業(yè)的學習至關重要。在線性代數教學模式的改革方面，不少高校教師踴躍嘗試，推陳出新。比如，胡建成等探究了OBE理念下的線性代數混合式教學模式［2］；王華麗等探究了BOPPPS教學模式在線性代數中的應用［3］；王彬彬等以線性代數為例探究了SPOC教學模式在提升學生自主學習能力方面所發(fā)揮的作用［4］；任北上等探究了線性代數課程的PBT教學模式［5］。在這些教學模式中，胡建成等人探究的OBE理念下的混合式教學模式將在線資源有效融入課堂教學中，充分發(fā)揮了線上教學和線下教學的優(yōu)勢，拓展了課堂教學的廣度和深度，增強了學生學習的自主性，提升了課堂的教學質量，受到師生的廣泛歡迎。

一堂完整的線性代數混合式教學包含課前線上預習階段、課堂線下講授階段、課后線上復習階段。因此，混合式教學不僅要求教師能夠在課堂上為學生講解知識內容，提供學習指導，而且要為學生提供必要的線上學習平臺與學習資源，包括課前的預習與檢測內容以及課后的復習鞏固與知識拓展等。

在線性代數混合式教學模式中，除了課堂教學之外，還有線上學習環(huán)節(jié)，如何落實立德樹人根本任務，將課程思政有效貫穿混合式教學的各個環(huán)節(jié)，發(fā)揮價值塑造、知識傳授、能力培養(yǎng)的協(xié)同育人效應？本文基于線性代數混合式教學的實踐，對課程思政與線性代數混合式教學模式的相互滲透與有效融合展開了初步探索；根據線性代數混合式教學的不同階段，對其各個環(huán)節(jié)應融入哪類思政元素進行了辨析。

一、課前線上預習階段

線性代數混合式教學的第一階段是課前線上預習階段，這一階段的學習內容需要根據課堂教學內容進行設置，可以是以前所學知識的復習與鞏固，可以是新知識的預習，通過預習建立新舊知識之間的聯(lián)系；也可以是某個問題的探究，為課堂教學環(huán)節(jié)講授新的概念、定理、方法等提供切入點。在課前線上預習階段，教師預先在學習平臺上傳學習資源，發(fā)布學習任務，并通過在線測試、訪談、留言、調查等方式及時了解學生的課前預習效果。教師根據學生的線上預習情況，對線下課堂授課的重難點有針對性地進行備課，對學生在線預習遇到的知識難點以及顯露出來的知識弱點進行必要的加強與鞏固。

由于課前線上預習這一階段主要以學生自主預習為主，學生處于主體地位，教師處于從屬地位，因此這一階段不宜圍繞數學思維能力、數學思想方法等開展課程思政，而應該側重于從學生的世界觀、價值觀、人生觀以及馬克思主義認識世界、改造世界的立場、觀點、方法等方面開展課程思政。由于每個學生的家庭背景、生活環(huán)境等各不相同，觀察事物的角度與思考問題的方式也并不一樣，學生對整個世界的看法和觀點也不盡相同，從而形成了不同的世界觀、價值觀、人生觀。在課前線上預習階段，教師應該先對學生進行必要的學情分析，可以在課前通過對學生學習生活、周邊同學的評價、一些課程的學習成績等綜合了解學生的基本情況。一般而言，從價值觀角度來看，學生能夠遵紀守法，理解并認同社會主義核心價值觀，具備愛國情懷，但是大多數學生未能做到知行合一，沒有將自己當前的學習行為與家國的發(fā)展、社會的進步結合起來，沒有將自己的理想與信念、志向與抱負融入中華民族偉大復興的時代背景中去，缺少“為中華之崛起而讀書”的氣魄與志向。從素質觀角度來看，學生的專業(yè)知識儲備較少，沒有形成正確的分析問題、解決問題的方法與思路，缺少去粗取精、去偽存真，從紛繁的事物表象中抓住事物本質的能力；缺少認識、實踐、再認識、再實踐地認識世界與改造世界的經驗與能力；缺乏科學嚴謹的思維與開拓創(chuàng)新的精神。 因此在課前預習階段，思政元素的挖掘需要從價值引領與素質引領兩個方面入手。

（一）價值引領

價值引領體現在對學生的人生觀、價值觀，也就是學生的思想、觀念、態(tài)度、精神、志向、目標等方面的引導。對于這方面思政元素的挖掘，教師可以結合線性代數的概念與理論，通過文字、微課、視頻等形式介紹線性代數發(fā)展史上取得偉大成就的古今中外數學家，比如行列式理論的奠基人范德蒙、矩陣理論的創(chuàng)立者凱萊、將國外代數理論翻譯傳播到我國的近代數學家李善蘭等。通過介紹這些數學家取得的重要成果以及這些數學家勤學多思、刻苦鉆研、敢于創(chuàng)新、淡泊名利的優(yōu)秀品質，激發(fā)學生樹立遠大理想，勇攀科學高峰，實現人生價值。值得一提的是，我國近代數學家李善蘭對國外數學理論進行了翻譯，一些術語在國內沿用至今，為我國近代數學思想的傳播與發(fā)展做出了巨大貢獻。教師通過對李善蘭的介紹，讓學生了解我國近代數學家在代數發(fā)展史上發(fā)揮的重要作用，樹立文化自信。同時我們也要反思我國近代數學落后的根源，摒棄閉關鎖國、封建落后的思想，樹立自強不息、奮起直追的精神。在課前預習階段融入這些思政元素，不僅不影響預習的進度和效果，而且可以消除線性代數課程內容的枯燥乏味，引導學生樹立遠大理想，培養(yǎng)學生高尚的人格情操。

（二）素質引領

素質引領體現在對學生的世界觀、方法論，也就是學生的思維、能力、方法等方面的塑造。對于這方面思政元素的挖掘，教師可以結合線性代數的思想與方法提出一些具體的實際問題，讓學生利用線性代數中已經學習的方法或理論去分析問題、解決問題，培養(yǎng)學生解決問題的能力，培養(yǎng)學生從具體實例中概括與總結、發(fā)現與形成一般規(guī)律的能力。比如在介紹行列式的性質之前，教師在線上給出一個具體的三階行列，通過對調該行列式的兩行或者兩列讓學生觀察并總結行列式值的變化情況；將行列式的某行或者某列乘以一個數后讓學生觀察并總結行列式值的變化情況，為課堂介紹一般的行列式的性質做好鋪墊。再如，教師在課堂講授線性方程組有解或無解的判斷之前，可以通過線上預習的方式讓學生用消元法求解兩個具體的線性方程組（其中一個有解，一個無解），讓學生感受并總結什么樣的情況下方程組有解或無解。這些探究性問題適合安排在課前線上完成，既發(fā)揮了學生的主觀能動性，激發(fā)了學生探究真理、發(fā)現規(guī)律的樂趣，培養(yǎng)了學生解決問題的能力，又為教師課堂講授一般的抽象理論提供了必要的感性認識，提高了課堂教學的效果。

二、課堂線下學習階段

線性代數混合式教學的第二階段是課堂線下學習階段。在這一階段教師根據學生課前線上預習的情況，結合課堂教學內容，采取適當的教學方法在教室與學生面對面進行授課。這一階段是教師傳授新知識、講授新理論、介紹新方法的關鍵階段，因此這一階段教師在教學活動中發(fā)揮主導作用。在掌握了學生課前在線預習的效果之后，教師在授課時可以有的放矢，著重講授大部分學生在預習過程中碰到的難點。學生也是有備而來，可通過教師的講解及時化解預習過程中產生的疑難問題。這種帶著問題聽課的學習方式既能夠讓學生感受到課前在線預習的重要性，又能夠立竿見影讓學生感受到課堂學習的效果。即便個別學生在預習階段產生的問題教師在課堂上沒有講解，學生仍然可以通過與教師討論交流的方式化解問題。因此，線下學習階段學生從課堂學習中得到了最大的收獲，教師從課堂教學中得到了最大的滿足，課堂學習效果與教學質量得到了極大提高。

課堂線下學習這一階段的課程思政，應該充分發(fā)揮教師在課堂教學中的主導作用，充分利用課堂上教師與學生互動交流的機會，在傳授線性代數理論知識的同時融入數學思維，注重學生數學思維能力的培養(yǎng)與數學思想方法的訓練。數學思維包括邏輯思維、轉化思維、類比思維、辯證思維、逆向思維等，這些思維方式在線性代數課堂教學的過程中經常被用到。下面結合線性代數課程內容，分別對這些數學思維進行闡述，以便教師在講解線性代數相關內容時能夠通過課程思政的方式點撥知識背后的數學思想，提高學生的數學思維能力。

（一）邏輯思維

邏輯思維就是人們在認識事物的過程中，借助概念、判斷、推理等思維形式來反映客觀現實的理性認識過程。線性代數課程目標本身要求學生掌握矩陣、行列式、線性方程組、線性空間、二次型等基礎知識、基本計算與基本理論，通過這些內容的學習培養(yǎng)學生的抽象思維能力和邏輯推理能力。由于線性代數課程中各種定理、公式的推導證明過程在邏輯上都是自洽的，都是經過千錘百煉、反復推敲得到的結果，其結論的科學性、準確性、嚴謹性不容置疑，因此線性代數課堂教學無時無刻不在展示邏輯思維的魅力。學生在這樣的學習環(huán)境中，耳濡目染、潛移默化，自身的邏輯思維能力自然得以提高。

（二）轉化思維

轉化思維就是將生疏的問題轉化為熟悉的問題，復雜的問題轉化為簡單的問題，抽象的問題轉化為直觀的問題。轉化思維不僅是線性代數解題中一種最基本的解題策略，而且是一種有效的數學思維方式。比如在求矩陣秩的時候，通過初等變換將復雜的矩陣化為簡單的階梯形矩陣；在求線性方程組的解時，通過消元法將復雜的線性方程組化為簡單的方程組；在研究二次型時，通過配方法或者合同變換法將二次型化為簡單的標準型甚至規(guī)范型，這些變換都運用了轉化的思維。因此教師在講授這些內容時，不能就題解題、就理論理，不僅要講解數學方法本身，還要引導學生挖掘方法背后運用的數學思維，這樣課堂教學質量才能得到質的提高。

（三）類比思維

類比思維就是將兩個具有相同或相似特征的事物進行對比，從某一事物的某些已知的特征去推測另一事物的相應特征是否存在的思維活動。線性代數教學活動中也經常用到類比思維。比如在定義矩陣的加法、減法、乘法運算時，可以類比數的加法、減法、乘法運算，特別在定義矩陣的逆矩陣時，通過類比數的倒數來引導學生推測什么樣的矩陣是可逆矩陣；在研究矩陣的高次冪運算法則時，可以類比數的高次冪運算法則；在介紹分塊矩陣時，可以將分塊矩陣中的“子矩陣塊”類比成普通的數，將分塊矩陣類比成普通的矩陣，這樣學生更加容易理解分塊矩陣之間的運算規(guī)律；在學習向量空間時，可以將向量空間的維數與向量組的秩進行類比，將向量空間的基與向量組的極大線性無關組進行類比，通過類比，學生更加容易理解抽象的概念背后所蘊含的意義。另外，通過類比，學生更加容易抓住事物的不同之處，比如將矩陣的初等變換、相似變換與合同變換三者進行類比，學生更加容易把握它們的區(qū)別，避免概念的混淆。

（四）辯證思維

辯證思維通常是用動態(tài)的、變化發(fā)展的眼光認識事物的一種思維方式，這種思維通常認為與邏輯思維相對立。在邏輯思維中，事物一般是“非此即彼”，而在辯證思維中，事物可以在某一階段表現為“亦此亦彼”。利用辯證思維考慮問題時，需要厘清事物發(fā)展變化的過程中哪些屬于事物外在表面“形”的部分，哪些屬于事物內部“質”的部分。事物在某個發(fā)展階段，外在表面“形”的部分不斷發(fā)生變化而內部“質”的部分卻不變。比如對矩陣施展相似變換時，矩陣的形式發(fā)生了變化，但是矩陣的行列式、特征值等數值始終不變；對矩陣施展初等變換時，矩陣的形式不斷發(fā)生變化，但是矩陣的秩始終不變；將行列式轉化為上三角行列式求值時，行列式的形式發(fā)生了變化，但是行列式的值不變。線性代數中的這些變與不變的現象表明認識事物不僅要觀察其表象，更要抓住事物的本質。事物形變而質不變，而數學的意義就是用數學的語言研究事物運動變化過程中不變的部分，用數學的概念、公式、定理等方式呈現事物的內部本質或變化規(guī)律。

（五）逆向思維

逆向思維就是從事物的對立面來觀察、分析、思考和解決問題。這種思維模式能夠破除由經驗和習慣引起的思維僵化，能夠克服思維定式。在線性代數教學過程中靈活運用逆向思維會起到意想不到的效果。線性代數中存在大量等效的概念、性質和法則，在實際教學過程中教師應該充分利用這些等效結果，通過概念的等價形式、命題的逆否命題、公式與法則的逆運算等多種途徑，引導學生突破思維定式，開展反向論證，揭示逆向思維的規(guī)律，培養(yǎng)學生逆向思維的意識。比如線性代數中求方陣的伴隨矩陣，正向思維是從伴隨矩陣的定義出發(fā)，按部就班求出矩陣每一個元素的代數余子式，然后將這些代數余子式組合成一個伴隨矩陣，按照這種思路計算伴隨矩陣，計算工作量很大。逆向思維則預先計算一下方陣的行列式，在行列式不為零的前提下，通過初等變換求出矩陣的逆矩陣，再將逆矩陣乘以行列式就得到伴隨矩陣，顯然運用逆向思維計算伴隨矩陣，計算的工作量大大減少。再如，線性代數中經常出現計算行列式中某一行各個元素的余子式或代數余子式的線性組合這類問題，正向思維就是將這一行的各個元素的余子式或代數余子式分別計算出來，然后代入線性組合計算得到結果，而逆向思維則將所求的線性組合轉化為一個行列式，通過求該行列式的值得到所求結果，解題思路非常簡潔明了，也顯著降低了計算的工作量。教師在課堂教學過程中可以設計一些利用逆向思維求解的實例，有意識地培養(yǎng)學生逆向思維的能力。

三、課后線上復習階段

混合式教學的第三階段是課后線上復習階段，這一階段的主要任務是學生課后在學習平臺鞏固已學內容。教師可以將課堂重要的學習內容預先錄制成視頻上傳到平臺；或者將所學的知識點之間的因果關系以思維導圖的形式呈現出來供學生復習鞏固；也可以在學習平臺布置必要的課后練習，通過練習與測試的方式幫助學生復習鞏固主要知識點。另外，教師也可以上傳一些拓展性資源，比如課堂知識產生的背景、所學知識的應用價值、相關數學家的研究成果與人生經歷等，培養(yǎng)學生學習的興趣。因為這一階段學習的側重點在于知識點的復習與鞏固，而且學習環(huán)境、學習方式也由教室講授轉換為學生在線復習，因此這一階段的課程思政應該以數學文化的熏陶、數學美感的浸染為主。

（一）數學文化

線性代數課程中的數學文化需要從線性代數發(fā)展史中去探尋。線性代數發(fā)展史融入了一代代著名的數學家前仆后繼、繼往開來、刻苦鉆研、勇攀高峰的人生成長史、奮斗史、勵志史，通過對這些史料典故進行辨析梳理，可以勾勒出線性代數中重要的概念、符號、公式、命題、定理、方法等知識與理論產生、演變、發(fā)展的脈絡。

在課后線上復習階段，教師如果能適當融入線性代數發(fā)展史的介紹，比如在學習平臺提供一些視頻、科普讀物等介紹矩陣、行列式等基本概念、符號的演變由來，介紹一些數學家在線性代數理論研究方面取得的成果，介紹線性代數在當今計算機圖像處理、信號處理、搜索引擎等方面的應用［6］，這樣不僅可以讓學生較為系統(tǒng)地感受到線性代數知識體系的發(fā)生、發(fā)展、成熟、完備的歷史過程，而且可以激發(fā)學生學習線性代數的興趣，讓學生發(fā)現枯燥乏味的數學符號、抽象嚴密的代數體系背后竟然隱藏著一段段令人津津樂道的數學軼事，線性代數在當今社會生活中竟然有著如此廣泛深入的應用。

（二）數學美感

線性代數是一門具有統(tǒng)一美的數學課程。學完線性代數我們便會發(fā)現，矩陣的初等變換這一思想方法貫穿課程的始終，無論是求矩陣的逆矩陣、解線性方程組、求矩陣的秩，還是求向量組的極大線性無關組、化二次型為標準型，這些都可以利用矩陣的初等變換這一思想方法加以解決，因此一旦掌握了初等變換的思想方法，實際上就掌握了線性代數中大多數問題的求解之道。總之，線性代數眾多問題的處理思想和方法幾乎都以初等變換為主。因此，在課后線上復習階段，教師要培養(yǎng)學生利用初等變換解決相關問題的能力，對能夠利用初等變換求解的線性代數問題進行歸納總結，讓學生體會到線性代數中初等變換這一重要思想方法所具備的統(tǒng)一美。

另外，線性代數和其他數學課程一樣，具備簡潔美的特征。所謂簡潔美，指的是透過復雜繁亂的事物表象，對事物的本質進行總結、概括與抽象，并用簡單清晰的數學語言表現出來的概念、理論、方法，同時這些又反過來解釋、指導更多的客觀現象和事物。比如，線性代數中矩陣秩的概念、線性空間基與維數的概念、矩陣的特征值與特征向量的概念、矩陣相似對角化的理論、二次型理論、矩陣求逆公式、坐標變換公式等等，這些概念、理論和公式呈現出“形式的簡潔性、內容的豐富性”就是簡潔美的重要體現。另外，矩陣、向量等抽象符號的引入，大大簡化了行列式、線性方程組、二次型等表達式的表示形式，人們在研究這些問題時不再被如何簡潔描述這些問題而困擾，從而能夠集中精力研究問題本身。在課后線上復習階段，教師不僅要讓學生欣賞到線性代數的簡潔美，而且要身體力行，通過課后練習的方式力求讓學生做到證明過程要簡潔、計算過程要簡化、同類項要合并，培養(yǎng)學生追求簡潔美的意識。

四、結語

線性代數混合式教學模式實現了線上與線下這兩種教學模式的交替融合，充分發(fā)揮了線上教學與線下教學各自的優(yōu)勢，實現了優(yōu)勢互補，達到了教學效果的最大化。而且混合式教學不僅照顧到大多數學生的學習需求，而且兼顧到學生的個體差異，體現了個性化、差別化的人才培養(yǎng)要求。同時，針對課前線上預習、課堂線下學習、課后線上復習三種不同階段，學生的學習環(huán)境、學習方式、學習任務不同，教師要積極探索這些不同階段課程思政的不同內涵，將課程思政貫穿到線性代數混合式教學的各個環(huán)節(jié)，實現了全程、全方位育人的要求，形成了價值塑造、知識傳授、能力培養(yǎng)的協(xié)同育人效應。

參考文獻：

［1］ 習近平談治國理政：第2卷［M］. 北京：外文出版社，2017：378.

［2］ 胡建成，周鈺謙，楊韌. OBE理念下的線性代數混合式教學探索與實踐［J］. 大學數學，2022（1）：32-37.

［3］ 王華麗，馮倩倩. BOPPPS教學模式在線性代數教學中的應用及效果評價［J］. 黑龍江科學，2021（1）：52-53.

［4］ 王彬彬，莊常陵，王華麗. SPOC教學模式提升自主學習能力效應研究——以“線性代數”課程為例［J］. 黑龍江科學，2020（17）：68-69.

［5］ 任北上，田檢，蔣春玲，等. 線性代數課程PBT模式的探究［J］. 南寧師范大學學報（自然科學版），2020（1）：143-148.

［6］ 胡瑩瑩，孫毅. 《線性代數》課程教學改革的研究與思考［J］. 吉林省教育學院學報，2018（3）：49-52.

基金項目：江蘇省高校“高質量公共課教學改革研究”專項課題“基于OBE理念的線性代數混合式教學模式的探究與實踐”（2022JDKT102），江蘇高校“青藍工程”資助，泰州學院教學改革課題“‘雙減背景下師范專業(yè)人才培養(yǎng)模式的改革與創(chuàng)新”。