初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生幾何作圖能力的培養(yǎng)策略研究

朱海峰

［摘? 要］ 培養(yǎng)學(xué)生的幾何作圖能力，既能促進(jìn)學(xué)生對幾何知識的理解，又能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，因此其應(yīng)當(dāng)成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要抓手. 培養(yǎng)幾何作圖能力，可以讓學(xué)生擁有一個概括所學(xué)知識的機(jī)會，可以給學(xué)生提供更為廣闊的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地空間. 幾何作圖能力的培養(yǎng)策略可以概括為：運(yùn)用任務(wù)驅(qū)動的教學(xué)機(jī)制，讓學(xué)生解決明確的知識學(xué)習(xí)任務(wù)或問題，然后結(jié)合自己的作圖過程，通過體驗與反思形成作圖能力.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；幾何作圖能力；培養(yǎng)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表述分為兩個層面：一是從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的構(gòu)成角度，明確其是指會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界；二是從核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)，明確核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識. 縱向?qū)Ρ群罂梢园l(fā)現(xiàn)，這樣的闡述相對于原有的課程標(biāo)準(zhǔn)來說是一個重大的突破，這也意味著核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，應(yīng)當(dāng)致力于培養(yǎng)學(xué)生的、以上面所闡述的核心素養(yǎng)的兩個層面為內(nèi)容的核心素養(yǎng).

確認(rèn)了這一目標(biāo)之后，一線教師有一個重要的任務(wù)，那就是通過怎樣的教學(xué)途徑實現(xiàn)這些目標(biāo). 很顯然要達(dá)成這些目標(biāo)不能一蹴而就，在某一具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)中，也不可能做到面面俱到，而結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，瞄準(zhǔn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的某一組成要素，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)知識的同時發(fā)展相應(yīng)的核心素養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)是最為現(xiàn)實的教學(xué)途徑. 本著這樣的認(rèn)識，筆者認(rèn)為，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生的能力養(yǎng)成. 能力是多方面的，不同的數(shù)學(xué)知識所對應(yīng)的能力也有所區(qū)別，在初中階段的幾何知識學(xué)習(xí)中，最常見的是平面幾何知識. 學(xué)生面對幾何圖形時，常常需借助數(shù)形結(jié)合思想來理解圖形背后隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律，來理解數(shù)是如何描述形的. 在平面幾何知識的學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的幾何作圖能力，應(yīng)當(dāng)是基礎(chǔ)之基礎(chǔ). 之所以這么說，是因為，當(dāng)學(xué)生形成幾何作圖能力的時候，就意味著學(xué)生對圖形已經(jīng)有了基本的理解，也意味著圖形所表達(dá)的數(shù)學(xué)規(guī)律已經(jīng)能夠為學(xué)生所認(rèn)識，而這些正對應(yīng)著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，比如幾何直觀與空間想象. 從這個角度來看，培養(yǎng)學(xué)生的幾何作圖能力，既能促進(jìn)學(xué)生對幾何知識的理解，又能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，因此其應(yīng)當(dāng)成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要抓手.

下面以教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)“軸對稱的性質(zhì)”時的作圖為例，談?wù)劰P者對培養(yǎng)學(xué)生幾何作圖能力的一些思考和做法.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生幾何作圖能力的培養(yǎng)價值

相對于一般的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)而言，幾何作圖能力的培養(yǎng)有一個顯著的特點，那就是需要學(xué)生動手作圖. 因此有人說，幾何作圖的過程承載著“做數(shù)學(xué)”理念，在手腦協(xié)作的過程中培養(yǎng)幾何直觀、數(shù)學(xué)模型、邏輯推理等素養(yǎng)［1］. 對于這樣的闡述，筆者的理解是：幾何作圖的過程確實是一個動手做的過程，學(xué)生需要在做的過程中理解數(shù)學(xué)規(guī)律，因此這里有著“做數(shù)學(xué)”的理念；從學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度來劃分，做指向動作，因此一定程度上具有動作技能的意味. 但是作圖又不能完全理解為動作技能，因為對初中生而言，形成基本的作圖能力，并不是對某一個圖形進(jìn)行重復(fù)作圖，而是基于對數(shù)學(xué)知識的掌握，在大腦當(dāng)中形成豐富的基本圖形表象，然后在具體的情境下按照要求作圖，或者按照需要去作圖，如此體現(xiàn)出來的能力才是真正的作圖能力. 因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何作圖能力，需要關(guān)注學(xué)生最基本的作圖技能，更要從數(shù)學(xué)知識掌握、數(shù)學(xué)規(guī)律理解等角度，形成更為系統(tǒng)的、能夠促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的能力.

重視學(xué)生幾何作圖能力的培養(yǎng)的價值是多方面的，站在學(xué)生的角度，幾何作圖能力的養(yǎng)成，既能促進(jìn)學(xué)生對平面幾何知識及其相關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律的理解，又能讓學(xué)生獲得更好的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育空間. 下面從兩個角度來闡述：

其一，幾何作圖能力的培養(yǎng)，可以讓學(xué)生擁有一個概括所學(xué)知識的機(jī)會.

有課程專家指出，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中最重要的能力之一就是概括能力. 當(dāng)學(xué)生面對眾多數(shù)學(xué)知識的時候，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些數(shù)學(xué)知識隱藏的規(guī)律時，概括就能充分發(fā)揮作用了. 因此概括既是一個發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，又是一個整合知識的過程. 如果說概括能力是一種重要的能力，那么幾何作圖能力的培養(yǎng)就能夯實概括能力發(fā)展的基礎(chǔ).

分析學(xué)生作圖時的心理可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生面對作圖任務(wù)時，要么是因為外界明確了作圖任務(wù)，要么是自己產(chǎn)生了作圖需要. 學(xué)生所作之圖，實際上近乎一種工具，一種思維工具. 在解決問題時，或者學(xué)習(xí)新知識時，學(xué)生作圖的過程可以理解為梳理自己思路的過程. 通過作圖，學(xué)生可以將學(xué)習(xí)的思路梳理得更加清晰，從而對數(shù)學(xué)規(guī)律的理解更加深刻. 所有這些目標(biāo)的實現(xiàn)，都可以在幾何作圖能力培養(yǎng)的過程中實現(xiàn).

其二，幾何作圖能力的培養(yǎng)，可以提供更為廣闊的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的空間.

同上面所分析的那樣，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地需要一個過程，這個過程必然是數(shù)學(xué)知識發(fā)生的過程，同時也是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的過程. 平面幾何作圖的過程既涉及數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，又涉及數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用，因此該過程必然伴隨著數(shù)學(xué)抽象（幾個圖形原本就是數(shù)學(xué)抽象的截圖）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（初中數(shù)學(xué)幾何作圖有一個基本的原則，那就是作圖盡量要準(zhǔn)，不論是線的長短，還是角的大小），幾何直觀與空間觀念的體現(xiàn)也非常充分. 幾何直觀對應(yīng)著學(xué)生的直覺，能使學(xué)生面對具體問題時有相對準(zhǔn)確的圖形表象的感覺. 如果學(xué)生面對具體問題時能夠有這種準(zhǔn)確的直覺，那就說明學(xué)生的幾何直觀與空間觀念得到了培養(yǎng)，幾何作圖能力的追求正在于此.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生幾何作圖能力的培養(yǎng)策略

通過上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何作圖能力，無論是從知識理解的角度來看，還是從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的角度來看，都有其必要性. 就算是從眼前最需要的應(yīng)試角度來看，也應(yīng)當(dāng)看到越來越多的中考幾何問題不僅要求學(xué)生會用邏輯推理的辦法來解題，更是在幾何直觀能力培養(yǎng)方面提出了新的要求［2］. 因此，作為一名合格的初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)努力尋找能夠培養(yǎng)學(xué)生幾何作圖能力的策略，并且在具體的教學(xué)過程中加以運(yùn)用. 筆者在學(xué)習(xí)相關(guān)理論的基礎(chǔ)上，借鑒他人的教學(xué)經(jīng)驗，同時結(jié)合自己的教學(xué)習(xí)慣，結(jié)合自己對所教學(xué)生的分析與一般性規(guī)律的把握上，總結(jié)出了幾何作圖能力培養(yǎng)的策略：運(yùn)用任務(wù)驅(qū)動的教學(xué)機(jī)制，讓學(xué)生解決明確的知識學(xué)習(xí)任務(wù)或問題，然后結(jié)合自己的作圖過程，通過體驗與反思形成作圖能力. 為了保證作圖能力的可持續(xù)發(fā)展，考慮到初中生的學(xué)習(xí)反思意識與能力，還可以讓學(xué)生在作圖后，在知識建構(gòu)與問題解決后，回顧自己的作圖過程，反思其中的優(yōu)點與不足，這樣可以讓學(xué)生的作圖能力得到更加充分的發(fā)展.

例如，教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級上冊“軸對稱的性質(zhì)”時，最基本的作圖是讓學(xué)生作出某一圖形關(guān)于某條直線的對稱圖形. 一個簡單的例子是：在圖1中，用三角尺畫出△ABC關(guān)于直線l對稱的△A′B′C′.

從知識難度的角度來看，這一作圖并沒有太高的難度，但是作圖本身卻有很重要的培養(yǎng)學(xué)生作圖能力的價值. 之所以做出這樣的結(jié)論，是因為讓學(xué)生完成這一作圖，本身就是將學(xué)生大腦當(dāng)中所形成的關(guān)于軸對稱的抽象數(shù)學(xué)知識變成形象的圖形. 這樣的轉(zhuǎn)換，看起來是數(shù)學(xué)抽象的逆過程，但是如果站在學(xué)生學(xué)習(xí)心理的角度來分析，則可以發(fā)現(xiàn)正是這一轉(zhuǎn)換，可以讓學(xué)生在關(guān)于“軸對稱”這一概念的抽象表達(dá)與形象表達(dá)之間，形成較強(qiáng)的切換能力——其背后所對應(yīng)的則是抽象思維與形象思維之間的切換熟練程度. 與此同時，完成這一作圖，需要學(xué)生對軸對稱的性質(zhì)有準(zhǔn)確的把握，需要學(xué)生對垂直、等距等有準(zhǔn)確的把握——垂直對應(yīng)著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的幾何直觀，而等距既與幾何直觀有關(guān)，又與運(yùn)算相關(guān)，因此總體而言，這一作圖孕育著核心素養(yǎng)培育的機(jī)會.

具體教學(xué)時，筆者分析過學(xué)生的知識基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)經(jīng)驗，且這一題具有明確的驅(qū)動性任務(wù)——作一個三角形的軸對稱圖形. 要明確具體的任務(wù)，教師還有兩個選擇：一是給出現(xiàn)成的圖形；二是只給文字描述，不給圖形，讓學(xué)生從零開始，自己作圖. 實際教學(xué)時采用哪一種，取決于學(xué)生已有的水平.

當(dāng)學(xué)生開始作圖時，教師應(yīng)當(dāng)巡回觀察，這是教師體驗教學(xué)現(xiàn)場最直接的方法. 筆者在教學(xué)中通過觀察（筆者選擇的是上述第二個選擇），發(fā)現(xiàn)學(xué)生的作圖有這樣幾種情形需要注意：一是學(xué)生選擇三角形的時候，對三角形的類型以及位置，會有一個預(yù)先的判斷，其目的是便于后面畫軸對稱圖形時更加簡易；二是學(xué)生在草稿紙上畫三角形的時候，部分學(xué)生不會注意位置的選擇，導(dǎo)致后續(xù)作圖時所畫軸對稱圖形跑到了紙外；三是作軸對稱圖形時，有的學(xué)生會作出三角形三個頂點的對稱點，還有的學(xué)生會嘗試通過沿對稱軸折疊，將三角形的三個頂點用筆尖壓了之后，找到對稱位置，最后作圖……

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生幾何作圖能力的培養(yǎng)小結(jié)

分析學(xué)生的作圖方法可以發(fā)現(xiàn)他們的思路有所不同：有的學(xué)生大腦當(dāng)中的表象比較清晰，有的學(xué)生則比較模糊；有的學(xué)生是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖，有的學(xué)生則是根據(jù)定義作圖……學(xué)生的所有不同表現(xiàn)都是重要的教學(xué)契機(jī)，教師都可以用來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解軸對稱圖形及其性質(zhì)，從而讓學(xué)生在作圖的過程當(dāng)中獲得對軸對稱知識的深入理解.

教師的一個很重要的任務(wù)，就是在學(xué)生作圖的過程中以及在作圖之后，引導(dǎo)學(xué)生的思維走向深入. 這也是作圖能力培養(yǎng)的重要組成部分. 如同本文一開始所分析的那樣，作圖并不只是一種動作技能，更多的是對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知，只不過這種認(rèn)知是通過作圖這一動作來反映的. 因此，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力本質(zhì)上是發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知能力，是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知水平. 從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度來看，自然是學(xué)生在作圖過程中表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)組成要素.

需要強(qiáng)調(diào)的是，評價學(xué)生作圖能力的強(qiáng)弱，不僅要關(guān)注學(xué)生的作圖結(jié)果，更要看學(xué)生的作圖過程. 類似上面的軸對稱作圖，需要關(guān)注作圖順序——先找點（三角形的三個頂點），然后作垂直等距，并找到相應(yīng)的對稱點，最后將對稱點連接起來形成對稱圖形. 應(yīng)當(dāng)說只有學(xué)生按照上述作圖順序進(jìn)行作圖，才能說明學(xué)生具有清晰的認(rèn)知；如果學(xué)生的作圖順序混亂或者出錯，那就說明學(xué)生對相應(yīng)數(shù)學(xué)知識點的理解是膚淺的、混亂的. 所以培養(yǎng)學(xué)生的幾何作圖能力，關(guān)注學(xué)生的作圖過程與細(xì)節(jié)，不僅影響學(xué)生對相關(guān)知識的理解水平，還影響學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展水平，所以教師教學(xué)時要尤為注意.

參考文獻(xiàn)：

［1］潘麗莎. 基于“做數(shù)學(xué)”理念的幾何作圖教學(xué)探索［J］. 教學(xué)與管理， 2022（07）：52-55.

［2］顧彩梅. “草圖”不草，助力幾何直觀——淺談初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的有效作圖策略［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)，2020（10）：1-3.