基于化歸思想的高中數(shù)學教學設計研究

郭茂彭

摘 要：基于化歸的數(shù)學思想方法，以“基本不等式”內(nèi)容為研究對象，通過“創(chuàng)設情境，引入新知；活用化歸，證明結(jié)論；例題鞏固，遷移內(nèi)化；歸納總結(jié)，概括思想”四個環(huán)節(jié)進行教學設計，在尊重學生認知水平的基礎上，將化歸思想滲透到教學設計中，讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)、探索、證明、理解、應用、總結(jié)的過程，在親身實踐的過程中體悟化歸思想的優(yōu)勢，理解化歸思想的真諦，使得化歸思想得到有效的培養(yǎng).

關鍵詞：化歸思想；基本不等式；教學設計

化歸思想是解決數(shù)學問題的最一般方法.其基本思想是在解決復雜問題的過程中，將該問題轉(zhuǎn)化為比較熟悉的問題，借助自身知識和已有經(jīng)驗來解決，本質(zhì)是一種將未知轉(zhuǎn)化為已知，將復雜問題簡單化的一種微觀的、隱性的數(shù)學思想方法，它往往蘊含在知識生成和應用的過程中.

在數(shù)學學習的過程中，數(shù)學知識本身固然重要，但其產(chǎn)生發(fā)展所蘊含的數(shù)學思想方法也不能忽略.如果僅僅關注數(shù)學知識而對于知識如何產(chǎn)生視而不見，那么對于長期的數(shù)學學習是沒有幫助的.而教學作為知識傳授的最重要的途徑之一，自然會潛移默化地影響著學生化歸思想的培養(yǎng).因此在教學設計的過程中，時刻滲透化歸的思想顯得尤為重要.基于此，筆者聚焦于高中數(shù)學“基本不等式”這部分內(nèi)容，結(jié)合化歸的數(shù)學思想方法，為教學設計提供合理方案.

1 基于化歸思想的教學設計思路

化歸思想蘊含在知識生成和應用的過程中.實際上，無論哪種數(shù)學思想方法，都不可能像數(shù)學知識和理論一樣，直接通過教師的講授讓學生理解.這個過程需要學生在學習的過程中自行感悟，因此針對本節(jié)課的教學設計需要將化歸思想滲透在其中，讓學生切實感受到化歸思想給數(shù)學研究帶來的幫助.此外，教師在這個過程中需要對學生進行適當?shù)膯l(fā)和引導，在保證不破壞學生自然思維的情況下，盡可能地給予學生思維上的幫助.

以蘇教版教材為例，“基本不等式”這一節(jié)位于必修一第三章《不等式》的第二節(jié)，主要研究基本不等式證明以及將此式用于證明、最值問題，是理論與實際結(jié)合的一個重要案例，是貫穿整個高中代數(shù)內(nèi)容的一個重要基礎.這節(jié)內(nèi)容一定程度上是不等關系和相等關系的應用，也是系統(tǒng)學習不等式證明的一個基礎，基本不等式在證明其他不等式的過程中起到了重要的橋梁作用［1］，因此地位十分重要.如何證明和應用基本不等式，是教學的重點；如何理解基本不等式的形成過程，是教學的難點.因此，滲透化歸思想，將基本不等式轉(zhuǎn)化為學生比較熟悉的代數(shù)或幾何形式，更有助于學生深刻地理解本節(jié)內(nèi)容.

基于上述分析，結(jié)合國內(nèi)現(xiàn)行各版本教材，最終將教學設計分為如下幾個環(huán)節(jié)：

圖形引入—證明結(jié)論—遷移內(nèi)化—歸納總結(jié)

首先是情境引入環(huán)節(jié)，代數(shù)相較于幾何來說較為抽象，且學生習慣于從幾何圖形中抽象出一般結(jié)論，考慮到數(shù)形結(jié)合思想也是化歸思想的一種體現(xiàn)，因此選擇從幾何圖形進行引入從直觀的幾何圖形歸納出代數(shù)結(jié)論，也符合現(xiàn)階段學生的認知水平.抽象出代數(shù)結(jié)論后，此時就可以通過觀察代數(shù)形式，在教師進行適當引導下，將陌生的代數(shù)式轉(zhuǎn)化成學生比較熟悉的代數(shù)式或者幾何圖形，再結(jié)合所學知識對基本不等式進行嚴格證明，這個過程中再次滲透了化歸的思想.得到結(jié)論后，學生通過習題進行內(nèi)化，加深了對基本不等式的理解.最后進行歸納總結(jié)，這部分不僅是對本節(jié)知識的總結(jié)，更是對化歸思想方法的總結(jié).

2 基于化歸思想的“基本不等式”教學設計

2.1 創(chuàng)設情境，引入新知

問題1：在初中學習中，我們學習了梯形和三角形中位線的概念.四邊形ABCD是一個以AB和CD為底的梯形（如圖1），AB=a，CD=b，不妨設a＜b，若取AC和BD的中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF稱作為梯形ABCD的中位線，那么EF的長度為多少？（可以利用三角形的中位線進行思考）

【設計意圖】現(xiàn)階段學生沒有接觸函數(shù)最值的內(nèi)容，解決該類問題會遇到困難，因此將該陌生問題化歸為已經(jīng)學過的基本不等式的問題，深化了基本不等式的應用范圍，體現(xiàn)了基本不等式在解決特定最值問題的便捷之處.先研究特殊情形，再研究一般情形，總結(jié)出基本不等式“和定積最大，積定和最小”的規(guī)律，提升學生邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

2.4 歸納總結(jié)，概括思想

問題6：本節(jié)課我們學習了什么內(nèi)容？是怎么進行研究的？

問題7：研究問題的思路都是將未知的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為已知的內(nèi)容進行解決，這實際上也是化歸思想的應用，那么大家能否結(jié)合本節(jié)課的研究思路，對化歸思想的一般方法進行描述？

問題8：基本不等式還能通過其他幾何圖形進行證明嗎？請同學們課后探索.

【設計意圖】課堂總結(jié)首先需要先對知識進行總結(jié)，從知識層面，學習了基本不等式的證明和應用，接著對本節(jié)課的研究方法進行總結(jié)，從方法層面，學習了化歸的數(shù)學思想.化歸思想有三個要素：未解決的問題（對象）、已解決的問題（目標）、轉(zhuǎn)化的途徑（方法），關鍵是如何化歸［2］.化歸思想的本質(zhì)是把不易解決或未解決的問題轉(zhuǎn)化為易解決或已解決的問題，把復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題.師生共同概括化歸思想的一般方法，加深學生對于化歸思想的理解.最后，設置課后探索環(huán)節(jié)，使得學生能利用化歸的思想方法自行探索，拓展對于基本不等式的認識.

3 總結(jié)與結(jié)論

從形式上來看，基本不等式的難度并不大，但學生很難想到如何進行代數(shù)運算，或是基本不等式具有何種幾何背景.上述教學設計可以讓學生從幾何情境中提煉數(shù)學信息，加深對于基本不等式公式的記憶，同時將陌生的公式化歸為已經(jīng)學過的知識來證明，再根據(jù)習題進行強化，最后總結(jié)歸納.按照這樣的教學設計思路，讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)、探索、證明、理解、應用、總結(jié)的過程，有效培養(yǎng)的學生的化歸意識和推理能力.

化歸思想在數(shù)學的研究和學習中，有著不可撼動的地位，很多知識產(chǎn)生的背后都滲透著化歸思想.化歸無疑是將問題簡單化，用熟悉的知識去解決陌生的問題，但對于教師來說，教材上的所有知識都應該是熟悉的，這就需要站在學生的角度去看問題，換位思考.在熟悉教材內(nèi)容的基礎上，著重思考如何借助學生熟悉的知識解釋那些對于學生來說陌生的知識，并將這個過程滲透在教學實踐的過程中，讓學生充分體悟化歸思想的優(yōu)勢，理解化歸思想的真諦，從而真正意義上教會學生如何學習.

參考文獻：

［1］ 易星星.基于數(shù)學核心素養(yǎng) 落實課堂提質(zhì)增效——以“基本不等式”的教學設計為例［J］.中學數(shù)學教學參考，2022（22）：2931.

［2］ 王燕榮，韓龍淑，屈俊.基于啟發(fā)式教學的數(shù)學思想教學設計——以“化歸思想”為例［J］.教學與管理，2015（1）：5759.