用試錯鋪平高中數學學科核心素養落地之路

季林波

[摘? 要] 當前高中數學教學的主要任務，就是幫助學生發展數學學科核心素養. 如果真正立足對學生學習過程的關注，就可以發現學生的學習過程本質上是一個從錯誤走向正確的過程——讓學生在學習過程中充分暴露錯誤、分析錯誤，學生就可以從錯誤走向正確. 試錯可以成為數學學科核心素養落地的推動力，教師在教學過程中不要一味地追求完全正確，要將試錯當成重要的教學策略. 教師可以引導學生在正確思維的過程中，充分體驗數學抽象，進行邏輯嚴密與科學的推理，同時深刻理解數學語言所描述的概念與規律，如此能夠讓數學學科核心素養的落地得到充分保障.

[關鍵詞] 高中數學;核心素養;試錯;落地

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學.數學源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律. 這是《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對數學課程性質的基本描述. 在這一版本的課程標準中，核心素養成為貫穿全書的核心概念，是體現國家立德樹人教育意志的重要載體. 將核心素養與數學學科的基本特征結合起來，可以發現當前高中數學教學的主要任務，就是幫助學生發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等數學學科核心素養，因此高中數學教學過程就可以理解為促進學生核心素養落地的過程.

既然核心素養的落地是一個過程，那么這一過程與學生的數學知識學習與運用就一定是高度融合的. 如果說后者是高中數學教學傳統的基本取向，那么在后者中尋找前者的落地途徑，就成為高中數學教師教學及其研究的著力點. 從邏輯關系的角度來看，要讓核心素養順利落地，就必須為學生創設能夠體現數學學科核心素養要素的學習情境，比如要培養學生的數學抽象素養，就要讓學生經歷數學抽象的過程;要培養學生的邏輯推理素養，就要讓學生經歷邏輯推理的過程……問題在于學生的學習過程并不完全符合教師的預設，由于學生個體經驗和思維方式的差異性，教師也不可能完全預測到學生在學習過程中表現出來的諸多細節. 實際上如果真正立足對學生學習過程的關注，就可以發現學生的學習過程本質上是一個從錯誤走向正確的過程——讓學生在學習的過程中充分暴露錯誤、分析錯誤，學生就可以從錯誤走向正確. 在結合數學教學中曾經出現過的讓學生試錯的傳統，筆者認為通過充分試錯，可以踏上一條通往核心素養落地的康莊大道. 下文以《普通高中教科書·數學·選擇性必修第一冊（人教A版）》中的“直線的交點坐標與距離公式”為例，來闡述相關的觀點.

試錯與數學學科核心素養培育之間的關系

之所以重視試錯在高中數學教學中的價值，是因為在學生學習的過程中錯誤總是會發生的，有識之士也一直呼吁將學生的錯誤視作重要的教學資源. 數學作為一門基礎學科，不僅要讓學生獲得基礎數學知識，還要讓學生在學習過程中形成良好的學習品質，而良好的學習品質的重要體現之一，就是學生面對錯誤時能夠理性客觀地分析錯誤，然后在錯誤中尋找通往正確的道路. 所以有經驗的教師即使不知道試錯的概念，也會在日常教學中跟學生強調“錯誤不可怕，可怕的是遇到錯誤時不改正錯誤，然后重復犯錯誤”. 那么試錯與數學學科核心素養培育之間存在著怎樣的關系呢？筆者通過梳理，發現了這樣一個基本邏輯：試錯是面向學生學習過程的，而核心素養培育是學習后的目標，過程與目標之間的對應關系，使得試錯有可能成為核心素養落地的重要推動力. 當然這一邏輯是否成立，還須結合數學學科的特點來梳理.

眾所周知，數學知識、問題解決與數學思維可以構成數學學科核心素養[1]. 其實數學知識、問題解決以及數學思維之間的關系是非常密切的：數學知識是高中數學教學的基礎，數學思維是數學知識建構過程中學生表現出來的思維，問題解決一方面反映著數學思維的品質，另一方面又是數學思維得以存在的載體，在問題解決的過程中，學生需要調用已經學到的知識，同時借助數學思維來尋找數學知識間的邏輯關系. 無論學生的數學知識基礎是多么扎實、思維方式是多么完善，在知識建構以及問題解決的過程中，總會出現這樣或那樣的錯誤. 本著錯誤也是一種重要的教學資源，教師就應當引導學生在數學知識學習和運用時能夠大膽猜想，主動試錯，將自己的思維品質通過問題解決充分展現出來. 此過程中出現的錯誤就是試錯的結果，當學生認識到錯誤后，原有的認知平衡必然會被打破，從而產生新的學習動力. 這時教師應當引導學生去審視自己的錯誤，去判斷到底是知識掌握出了問題，還是邏輯運用出了問題. 在這樣的反思過程中，必然要對數學學習過程重新進行梳理與判斷，并在此過程中發現是知識方面的缺陷還是思維方面的缺陷;嘗試建立新的認知結構，并找出更加科學的問題解決方法. 在此過程中，數學學科核心素養的要素都有可能得到不同程度的體現，尤其是邏輯推理和數學建模等，都會伴隨著學生對學習過程的精加工而變得更加清晰，這意味著數學學科核心素養的發展得以實現.

由此可見，試錯可以成為數學學科核心素養落地的推動力，教師在教學過程中不要一味地追求完全正確，要將試錯當成重要的教學策略.

試錯驅動數學學科核心素養落地之例析

有人說，“錯誤是試驗田，在試驗田上精心播種，能收獲良種.”通過上文分析也可以發現，錯誤雖然是主觀行為的結果，但客觀存在，錯題、錯解、錯答、錯講等都意味著錯誤. 但是對待錯誤，“給一個巴掌”或許只能達到“認錯”的目的，“給一個微笑”“給幾許關注”卻能達到容錯、析錯和改錯的理想效果. 作為高中數學教師，要有“容錯”的肚量，更要有掌握“融錯”的技巧，讓學生錯有所得[2]. 這樣的一段經典闡述，充分肯定了錯誤的價值，強調教師面對學生的錯誤時應有科學態度，強調在“融錯”中讓學生獲得發展. 當然所有的這一切，都是在試錯的基礎上進行的.

“直線的交點坐標與距離公式”對于高中生而言似乎不存在太大的學習挑戰——在平面幾何學習中對直線做了定性研究，而且借助平面直角坐標系和二元一次方程來表示直線，學生認識到了直線的方程——但是具體學習“直線的交點坐標與距離公式”時，學生還是會出現各種錯誤. 與其像傳統教學那樣，當學生出現錯誤后想方設法進行修補，倒不如讓學生在學習過程中主動出錯、主動試錯，讓錯誤真正成為學生建構數學知識與數學學科核心素養落地的重要推動力.

例如學習“兩條直線的交點坐標”時，教師向學生提出問題：已知兩條直線相交，那么它們的交點坐標與兩條直線的方程有著什么樣的關系？在教師的認識中，這個問題非常簡單，但是對于部分學生而言，由于缺乏數形結合意識，因此他們一開始是茫然的，甚至有學生想著通過嘗試的方法，看哪個坐標既適合一條直線的方程，又適合另一條直線的方程. 面對學生這種看似“幼稚”的想法，教師不必急著去評價，而應當讓學生去嘗試，并且在嘗試中試錯、糾錯. 這一策略是非常有效的，學生可以在短時間內通過嘗試得出新的認識：如果一個坐標既適合一條直線的方程，又適合另一條直線的方程，那么這個坐標值就是這兩個方程所組成的方程組的解. 上面之所以說在教師的認識中這個問題非常簡單，就是因為教師認為這一認識是自然而然的. 但是對于這部分學生而言，正是由于數形結合意識的缺乏，他們無法憑直覺一下子得出正確的判斷，因此只能讓學生去試錯，并且在試錯過程中糾錯，得到正確的認識. 當學生有了正確的認識后再引導他們去反思學習過程，這樣就能夠讓學生進一步感悟數形結合思想的價值，而這正是本內容教學的一個著力點，也是直觀想象和邏輯推理素養培養的一個著力點.

再比如，在“點到直線的距離公式”的教學中，教師通常會結合一個具體的問題去組織學生進行探究.例如，如圖1所示，已知點P（x，y），直線l：Ax+By+C=0，如何求點P到直線l的距離？

如果教師對學生解決問題的過程不加干涉，就可以發現部分學生對“點到直線的距離”的認識是有缺陷的. 如有學生認為“點到直線的距離”就是“點到直線上‘任意一點的距離”. 這是對基本概念的判定錯誤，看起來不可思議，但是在這部分學生身上確實存在. 這時教師也不必急著更正，因為學生很快就會發現這一認識的缺陷：直線上有無數個點，那么按照上述邏輯，這個距離就有無數個，這顯然是不正確的;既然題目要求的是一個確定的值，這就意味著“點到直線的距離”應當是“點到直線上‘某一點的距離”，那么這個點應當是哪個點呢？當學生產生這個疑問時，“幼稚”的錯誤就變成了有價值的探究方向. 學生可以迅速發現直線上的“點”應當是最特殊的一個點，而最特殊的這個點就是距離直線外那一點最短的點. 有了這一認識，“點到直線的距離”的正確知識就建立起來了.

其后，在探究“點到直線的距離公式”時，還會出現一些錯誤，例如求點P到垂足Q的距離時，確定垂足Q的坐標就是一個難題. 解決這一難題的關鍵在于固定思維的突破，也就是要讓學生在建立PQ⊥l的過程中，通過求相交點的坐標來確定垂足Q的坐標. 部分學生剛開始是很難將思維的觸角伸向這一認識的，他們在思考時會出現各種各樣的錯誤，此時就需要教師進行引導. 引導的出發點就是學生所犯的錯誤，落腳點就是正確的解題思路. 通過這樣的引導，可以讓學生在認識自己所犯的錯誤的同時，建立起正確的思路乃至思維模式，而這將促進學生的知識建構.

用試錯鋪平數學學科核心素養落地之路

上文案例充分體現了試錯對于知識建構的作用與意義，從數學學科核心素養培育的角度來看，試錯的意義也是非常顯著的. 學生認識到的錯誤，不僅僅是知識方面上的，更多的是思維方法方面上的. 這是高中生在數學學習過程中表現出來的優點之一，絕大多數學生面對錯誤時都不會就事論事，而會思考諸如“為什么會犯這樣的錯誤”“怎樣才能做到一次性正確”等問題. 盡管學生的學習初衷是數學知識的正確理解與運用，但這樣的問題后有豐富的數學學科核心素養要素，教師可以引導學生在正確思維的過程中，充分體驗數學抽象，進行邏輯嚴密與科學的推理，同時深刻理解數學語言所描述的概念與規律，如此能夠讓數學學科核心素養的落地得到充分保障.

相對于傳統教學中追求正確而回避錯誤而言，試錯開辟了一條新的教學途徑. 在這條教學途徑上，學生看似走了一些彎路，卻通過自己的知識缺陷與思維缺陷的充分暴露，有了更多的反思學習的機會. 在這些機會中，數學知識及其體系能夠更加清晰地呈現出來，數學學科核心素養也有更大的培育空間. 因此從這個角度來看，可以確認試錯確實能夠鋪平數學學科核心素養的落地之路，日常教學必須積極實踐.

參考文獻：

[1] 武麗莎，朱立明. 高中數學學科核心素養：生成機制與培養路徑[J]. 數學教育學報，2021，30（04）：25-29.

[2]王愛斌. 高中數學課堂中的“融錯”藝術[J]. 教學與管理，2016（04）：61-63.