平面幾何中最值問題的解題策略

摘" 要：平面幾何中的最值問題是中考的熱點，也是難點.解決這類問題的主要依據有兩個：一是兩點之間，線段最短；二是垂線段最短.最值問題常常涉及圓、三角形和四邊形的相關知識，其解題策略主要有：化折線為直線、化雙動點為單動點等.

關鍵詞：平面幾何；圓；三角形；四邊形；最值問題；解題策略

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）17-0005-03

收稿日期：2024-03-15

作者簡介：劉景制（1977.5—），男，甘肅省隴南人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

解決初中平面幾何最值問題的主要依據是“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”.筆者結合具體問題，分析平面幾何最值問題的解題策略，供參考.

1" 圓中的最值問題

例1" 如圖1，AB是⊙O的弦，AB=5，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB=45°，若點M，N分別是AB，AC的中點，則MN長的最大值是.

分析" 因為M，N分別是AB，AC的中點，所以MN=12BC.欲求MN長的最大值，只需BC的長取得最大值即可.由圓的性質可知，當BC是直徑時，BC的長最大.

解" 如圖2，因為M，N分別是AB，AC的中點，所以MN=12BC，所以當BC取得最大值時，MN就取得最大值， 因此BC是直徑時，BC的長最大.連接BO并延長交⊙O于點C′， 連接AC′.因為BC′是⊙O的直徑，所以∠BAC′=90°.因為∠ACB=45°，AB=5，所以∠AC′B=45°，所以BC′=ABsin45°=5×22=52，所以MNmax=522.

2" 三角形中的最值問題

例2" 如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=3，AC=4，D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為.

分析" 因MN是矩形AMDN的一條對角線，連接AD，則MN=AD，把求MN的最小值轉化為求AD的最小值.線段AD的一端點A固定，另一端點D在線段BC上，因而可把MN的最小值問題轉化為定點到一條定直線距離的最小問題.根據“垂線段最短”易知，當AD⊥BC時，AD取最小值.由勾股定理求出BC的長，再用面積法求出MN的長.

解" 如圖4，連接AD.因為∠BAC=90°，BA=3，AC=4，所以BC=BA2+AC2=5.因為DM⊥AB，DN⊥AC，所以∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°，所以四邊形DMAN是矩形，所以MN=AD，所以當AD⊥BC時，AD的值最小，如圖5.因為ΔABC的面積=12AB×AC=12BC×AD，所以AD=AB×ACBC=125，所以MN的最小值為125.

點評" 本題屬于雙動點問題.一般通過適當的變換或作出輔助線，找出雙動點線段與圖中某條單動點線段之間存在的數量關系，然后利用“垂線段最短”或其他數學知識求出單動點線段長的最小值.將雙動點轉化為單動點，進而得到雙動點線段長的最小值，即消點——將雙動點轉化為單動點.

例3［1］" 如圖6，在△ABC中，BC=6，BC邊上的高為4，在△ABC的內部作一個矩形EFGH，使EF在BC邊上，另外兩個頂點分別在AB，AC邊上，則對角線EG長的最小值為.

分析" 求解本題的思路靈活，方法不唯一.

思路1" 如圖7，由題意易得ΔADG∽ΔABC，線段間存在比例關系.作AQ⊥BC于點Q，交DG于點P，設GF=PQ=x（0＜x＜4），則AP=4-x， 可證ΔADG∽ΔABC，由此可得APAQ=DGBC，據此可知EF=DG=32（4-x），由勾股定理和二次函數可得答案.

思路2" 如圖7，作AQ⊥BC于點Q，交DG于點P，由線段間的比例關系得APDG=AQBC=23，設AP=2a，DG=3a，可以減少運算量.

解法1" 如圖7，作AQ⊥BC于點Q， 交DG于點P.因為四邊形DEFG是矩形，所以AQ⊥DG，GF=PQ.設GF=PQ=x（0＜x＜4）， 則AP=4-x，由DG∥BC易知△ADG∽△ABC，所以APAQ=DGBC， 即4-x4=DG6，則EF=DG=32（4-x），易知EG=EF2+GF2=134x-36132+14413，所以當x=3613時，EG取得最小值，最小值為121313.

解法2" 如圖7，作AQ⊥BC于點Q，交DG于點P，因為四邊形DEFG是矩形，所以AQ⊥DG，GF=PQ.由DG∥BC知△ADG∽△ABC，所以APDG=AQBC=23.設AP=2a，DG=3a， 則GF=PQ=4-2a，易知EG=（3a）2+（4-2a）2=13a-8132+14413，所以當a=813時，EG的最小值為121313.

點評" 通過適當變換或作出輔助線找出雙動點線段與圖中某條單動點線段之間存在的數量關系，再運用“垂線段最短”或其他數學知識求出單動點線段的最小值，這樣就把“求雙動點線段的最值”轉化為 “求單動點線段的最值”.

3" 四邊形中的最值問題

例4" 如圖8，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，BE=1，F為AB上一點，AF=2，P為AC上一點，則PF+PE的最小值為.

分析" 本題屬于“將軍飲馬”型問題，用軸對稱變換將動線段PF或PE變換到定直線AC（動點所在直線）的兩側，將兩折線轉化到同一條線上，即轉化為兩定點間的線段長.

解法1" 如圖9，作點E關于直線AC的對稱點E′，連接E′F，則E′F即為所求的最小線段和，過F作FG⊥CD于G.在Rt△E′FG中，GE′=CD-DE′-CG=4-1-2=1，GF=4，所以E′F=FG2+E′G2=42+12=17.

解法2" 如圖10，作點F關于直線AC的對稱點F′，連接EF′，則EF′即為所求的最小線段和，過F′作F′G⊥BC于G.

在 Rt△EF′G中，GE=BC-BE-CG=4-1-2=1，GF′=4，所以EF′=EG2+F′G2=17.

例5［2］" 如圖11，四邊形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分別是BC，DC上的點，當ΔAEF的周長最小時，∠EAF的度數為（" ）.

A.50°" B.60°" C.70°" D.80°

分析" A是定點，E，F是動點，要在∠BCD的兩邊各確定一點使這三點構成的三角形周長最小，只需將這三邊的和轉化為以兩定點為端點的一條折線.如圖12，因此作出點A關于BC和CD的對稱點A′，A″，確定點E，F的位置，將三條折線轉化到同一直線上.如圖13，易知∠AA′E+∠A″=50°，進而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案.也可以先求∠DAB=130°，也能得出答案.

解" 如圖13，作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F， 則A′A″即為△AEF的周長最小值.因為∠C=50°，所以∠DAB=130°，所以∠AA′E+∠A″=50°.因為∠EA′A=∠EAA′，∠FAA″=∠A″，所以∠EAA′+∠FAA″=50°，所以∠EAF=130°-50°=80°.故選D.

點評" 涉及兩個動點與一個定點的三條線段和最小時，一般作出定點關于動點所在直線的對稱點，即通過兩次對稱變換，將三條線段轉化為兩定點間的折線段，化“三折線”為“線段”.

4" 結束語

由此可以看出，求解平面幾何最值問題的策略是將幾何中的最值問題轉化為基本的幾何模型，即“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”.解題的關鍵是抓住變化中不變的量（長度、角度、面積），將其與變化的量比較大小.在解題過程中，需要通過平移、旋轉、對稱軸等將多條線段首尾相連轉化為兩定點之間的線段，實現化折線為直線，然后利用“兩點之間，線段最短”說明最小，或者將最值問題轉化為一定點到一定直線的距離，利用“垂線段最短”即可求出最小值.

參考文獻：［1］ 鄧文忠.淺談解一類線段最小值的兩種視角［J］.數理化學習（初中版），2016（3）：28-31.

［2］ 李玉榮.應用代數法求幾何最值的三個途徑［J］.數理化學習（初中版），2019（11）：19-21.

［責任編輯：李" 璟］