表征視角下的數形結合思想方法引導探究

李成 蔡慶有

【摘? 要】? 問題表征是解決問題的一種有力工具，而數學表征能力是學生數學核心能力之一的體現.中學數學的主要研究對象就是以數量關系與空間形式所表征出現的問題，“數”與“形”的各自表征體現出嚴謹的邏輯思維和直覺的感知思維，研究“數”與“形”的結合方法在一定程度上也拓寬了這兩種思維的培養路徑.

【關鍵詞】? 高中數學；表征；數形結合

1? 概念綜述

1.1? 數學表征

在心理學中表征一詞概念為“信息在大腦中的呈現就稱為表征”.徐斌艷對于數學表征站在變換能力的角度定義為：“用某種形式，例如書面符號、圖形（表）、情景、操作性模型、文字（包括口頭文字）等，表達要學習或處理的數學概念或關系，以便最終解決問題”[1].從數學表現形式上將數學概念或問題劃分為符號（文字）表征和圖示表征.例如集合的表示法中的描述法就是用符號語言來下定義集合概念的，而圖示法（維恩圖法）就是用幾何圖形重疊的區域表示集合的一種方法，兩種方法都是對集合概念的描述方法.符號表征具有歷時性，是對數學概念的信息的抽象化數字表征.圖示表征具有共時性，是對數學知識的內涵的直觀化的形象表征.問題解決表征呈現形式不同，采取的解決路徑也是大相徑庭.

1.2? 數形結合

數與形是數學學習的兩大主題.從畢達哥拉斯的“萬物皆數”到笛卡爾解析幾何的建立都是“數形結合”在歷史長河中的痕跡[2].將一個代數問題轉化為一種特定形式的幾何問題，便可直觀化地分析出問題中要素關系以及其解法；將一個幾何問題代數化后，便可抽象化精準化地測量出幾何要素的位置關系[3].數形結合的實質就是通過對數與形在符號形式與空間形式上的對應轉換，使得數量關系與空間形式在某種機制下相得益彰、水乳交融[4].

2? 表征視角下的數形結合思想方法引導探究

數形結合的思想方法在高考中的考查屬于重點和難點，考查學生的代數運算能力和圖形空間想象能力.作為一種解題技巧，無非就是兩種情況（形化為數和數化為形），但是從高中數學知識的表征形態來看，以知識層面對數形結合思想的運用分類為三種表征對象：①方程、不等式、代數式最值；②平面幾何和立體幾何；③代數和幾何的橋梁者（函數和向量）.這些都是獨立的知識體系，數形結合的考查要點就是對這幾種知識體系的轉換.根據不同知識點的不同表征形態劃分轉化，使得數形結合解題思路清晰有章可循.已有的成固定思維的數形結合本文不再探究，例如方程的根與函數圖象零點問題、用建系法解決平面或立體幾何中位置關系等問題.高級段的數形結合應是跨度大但有深層聯系的不同知識板塊的數形結合，這也是近年來高考的難點和學生思維的障礙點.

2.1? 平面幾何表征解決方程問題

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思路? 方程組中后兩式與余弦定理可聯系，余弦定理與三角形有密切聯系，此題的方程表征就轉換到三角形幾何表征了.

評價? 本題的突破點在于方程能否轉化為余弦定理公式，其次根據余弦定理與幾何圖形（三角形）的聯系性，運用等積法解決.

2.2? 立體幾何表征解決不等式問題

觀察變化后不等式，發現左邊類似于勾股定理，那么我們就能進一步聯想為在長方體中各邊構造關系來解決問題.

評價? 本題的突破點在于利用勾股定理把問題引入到幾何表征中，值得強調的是，勾股定理多在平面幾何中出現，能聯想到立體幾何空間中去構造長方體是此題突破點.

2.3? 函數表征解決代數式最值問題

評價? 采用整體視角去發現代數式中兩點間距離公式是本題的解答關鍵所在，之后的構建函數利用圖象來找最值就迎刃而解了.

2.4? 等式表征解決平面幾何“長度”問題

思路? 從題的表征形式上看，這是一道幾何求線段長的問題，那么其中的各條幾何線段必存在某種數量的聯系，這就會讓學生聯想到用以三角形為工具展開的“勾股定理”或“三角函數”來解決此問題了.

評價? 此題的轉化角度在于要明察到線段長度背后的代數關系，這里的表征突破點在于幾何圖形里的直角三角形勾股定理的運用，因為從代數的角度看，勾股定理就是平面幾何中線段長度的關系橋梁，當然了，還有三角函數.

2.5? 向量表征解決平面幾何“角度”問題

思路? 角度與長度都屬于“數”的表征，所以這題的解法肯定要用到代數關系來解決，我們就容易想到“向量”.求∠MPN可以轉化到求兩向量夾角.

評價? 幾何題中求解角度的問題從實質性上講就是代數問題，但是需要在無序的圖形中搭建適宜的坐標系以及找準對應的向量關系，這樣后續的代數運算才能事半功倍.

3? 結語

數形結合思想方法作為高中數學的必備解題思想策略之一，也滲透了轉化、類比、分類等重要數學思想，值得強調的是數形結合的運用要具體情況具體分析，切記不可生搬硬套.學生要深入研究高中知識板塊，明了哪些板塊之間可以運用“數形結合”思想搭建起溝通橋梁，以便解題思路的清晰和過程的簡便.

參考文獻：

[1]徐斌艷.數學學科核心能力研究[J].全球教育展望，2013，42（06）：67-74+95.

[2]魏芳.數形結合，讓數學學習更有意義[J].教學與管理，2012（32）：33-34.

[3]李巧文. 數形結合的心理機制[D].西安：陜西師范大學，2008.

[4]劉星紅.例談“數形結合”應用的四個誤區[J].數學通報，2007（11）：48-49.