一道高中數(shù)學(xué)小題的算法分析

馬建

【摘? 要】? 本文通過一道數(shù)值估算小題，用常用算法、改進算法、巨難算法、最優(yōu)算法來進行分析比較，對于估值計算，大多情況下學(xué)生解題時都要使用到題目中所給出的參考數(shù)據(jù).如果出現(xiàn)其他的數(shù)據(jù)，再尋找關(guān)系進行等價轉(zhuǎn)換.類似的問題選擇合適的算法，提高運算的速度和解題的正確率，在高考中從容面對各種運算問題，才能順利解答相關(guān)問題，完美體現(xiàn)出數(shù)學(xué)算法表征．本文又舉例一道高考題，學(xué)生當(dāng)年高考的時候也算不出來，分析主要原因在于沒有認真審題，所以，數(shù)學(xué)運算前提都要進行閱讀和認真審題.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；數(shù)據(jù)估算；數(shù)學(xué)算法表征

高中學(xué)生只有具備良好的運算能力，才能順利解答相關(guān)問題．高考對學(xué)生的運算能力提出了較高的要求，運算能力也反映了學(xué)生的學(xué)習(xí)水平．高中學(xué)生正處于能力培養(yǎng)的關(guān)鍵階段，數(shù)學(xué)教師必須重視其運算能力的培養(yǎng)．因此，在教學(xué)的過程中，教師要根據(jù)學(xué)生的學(xué)情和心理狀態(tài)，應(yīng)用創(chuàng)新性教學(xué)策略，全面提升學(xué)生的運算能力．

數(shù)學(xué)算法表征，是數(shù)學(xué)其他表征中最突出的一個表征，它與數(shù)學(xué)的其他表征都有交集和融匯，在各種問題的解決中，必不可少.

下面，通過一道最近的高三數(shù)學(xué)小測試中數(shù)值估算小題來進行研究和分析數(shù)學(xué)的多元表征中，算法表征的應(yīng)用.

1? 例題

（2022年12月廣東省中山市中山紀念中學(xué)高三周測訓(xùn)練）已知某種裝水的瓶內(nèi)芯近似為底面半徑是4dm、高是8dm的圓錐，當(dāng)瓶內(nèi)裝滿水并喝完一半，且瓶正立放置時（如下圖1所示），水的高度約為（? ?）（本題使用的參考數(shù)據(jù)， ）

（A） 1.62dm. ? ? ? （B） 1.64dm.

（C） 1.65dm. ? ? ? （D） 1.66dm.

2? 數(shù)學(xué)表征分析

上題中的數(shù)學(xué)文字表征表述得十分清晰，數(shù)學(xué)圖形表征也是簡單明了，并且學(xué)生在解答本題的時候?qū)Α捌績?nèi)裝滿水并喝完一半”這句話的理解是沒有任何問題的，它的準(zhǔn)確表示是體積的一半，而不是表示喝了水高度的一半，從題目的問題也能看出來，本題主要是求這個幾何體進行體積.

本題的考查目標(biāo)：數(shù)學(xué)的文字表征、數(shù)學(xué)的表征圖形、數(shù)學(xué)的公式表征、數(shù)學(xué)的運算表征、數(shù)學(xué)的算法表征等多元表征，同時也考查了學(xué)生的審題能力.

3? 用常規(guī)算法求得準(zhǔn)確值但不是正確答案，改進算法后進行原因分析

如圖2、圖3，設(shè)圓臺上下底面的圓心分別為，上、下底面圓的半徑為和，且，圓臺以上部分的小圓錐的高為，體積為，大圓錐的高為，體積為.

解? 先求小圓錐的底面半徑，再算高.

由題意：，，

所以，，

所以，

，

所以，

得，

所以，

所以，

所以水的高度為，

其實這就是本題問題的準(zhǔn)確值，但題目顯然是要求利用所給的數(shù)據(jù)來求水的高度的近似值，而題目中并沒有給出的近似值，所以，需要將進行進一步的處理.有同學(xué)還發(fā)現(xiàn)有這個關(guān)系可以用，但是這個數(shù)不能夠直接完全開出來，接下來就用兩種常用的算法對這道題進行計算.

3.1? 常用算法1

用手動平方的方法，來估算的近似值.

經(jīng)過一些手動平方計算發(fā)現(xiàn)：，，所以可以取近似值1.26，甚至小數(shù)點再向后取一位，這樣可以算到已經(jīng)非常接近了，所以可取的近似值為1.261.

代入最后的式子，求得了水的高度為：，選（D）（錯誤答案）.

3.2? 常用算法2

假如有記憶力非常好的同學(xué)，或者是刻意記住了一些特殊根號的近似值，記住了的準(zhǔn)確近似值為，直接把代入了最后的式子，最后求得了水的高度為：，選（C）（錯誤答案）.

以上這兩種算法都求出了水的高度的近似值，而且是較準(zhǔn)確的值，但并非正確答案，那么問題到底出在哪里，學(xué)生到底該怎么計算這道題呢？

3.3? 改進算法3

將先求上底面圓的半徑，直接改為求小圓錐的高.

把前面得到的結(jié)果稍加改變后：，所以，從而得到了，這樣小圓錐的高為，這樣就出現(xiàn)了題目給出的參考數(shù)據(jù)：，把這個近似數(shù)代入題中，求到了小圓錐的高.

下一步代入最后的式子，求得水的高度為：，得到了正確答案，選（B）.

3.4? 學(xué)生計算錯誤的原因分析

雖然由算法1、算法2得到了較準(zhǔn)確值，這些值卻不是題目的正確答案，分析具體原因有以下兩點.

錯誤原因1? 前面兩種算法，算法1、算法2算錯答案的原因，都是先算小圓錐的底面半徑，再算小圓錐的高.小圓錐的底面半徑在計算過程中已經(jīng)開始進行近似取值了，這就能產(chǎn)生由近似值帶來的下一步計算產(chǎn)生誤差，計算小圓錐的高，讓誤差加倍，再經(jīng)過了一次除法運算，然后再取近似值，最后算出的結(jié)果，這樣的多步驟運算，它的算法和計算數(shù)據(jù)都能共同產(chǎn)生的誤差，這樣產(chǎn)生的計算誤差我們很難控制.所以，做這樣的估值題目，一定要用到題目給出的數(shù)據(jù).還有同學(xué)根本沒有用題目所給的數(shù)據(jù)，直接得到結(jié)果，也屬于審題不到位導(dǎo)致錯誤.

錯誤原因2? 原本題目給出的近似數(shù)據(jù)就有誤差：題目給出的是，但是的更精確的數(shù)據(jù)可以為，用這兩個不同的近似數(shù)值計算產(chǎn)生了誤差，和之間產(chǎn)生的的偏差，乘以了4之后的結(jié)果對小數(shù)點后的第二位數(shù)有影響.但是，這道近似估值計算題，給的數(shù)據(jù)保留到小數(shù)點后兩位也確實是沒有問題的，這樣算來就產(chǎn)生的誤差.

3.4? 典型的巨難算法4

直接求圓臺的上底面半徑或者高，

設(shè)圓臺的體積為，

則，

整理得：.

這個算法看似非常簡單、直接，但得到上面的三次方程后就很難把它解出來了.又或者把求上底面半徑轉(zhuǎn)換成求小圓錐的來試一下，

有：.

整理得：，這個三次方程同樣很難解出來.

3.5? 最優(yōu)算法5

利用相似幾何體的相似比來做這道題.其實，這道題可以直接使用相似幾何體的體積比為等于它們對應(yīng)邊比的立方來求解.

由大小圓錐相似，易得：，.

接下來就遇到了和前面同樣的困境：無法正確表達出來.

其實，學(xué)生除了能找到了和有平方關(guān)系外，還可以發(fā)現(xiàn)：，然后把結(jié)果右邊的分數(shù)的分子和分母同時乘以來進行這樣的處理，

處理之后就得到了：，這樣，就可以把成功地轉(zhuǎn)換成來進行近似計算了，代入求得結(jié)果：.

從而代入最后的式子，求得水的高度為：，得到正確答案，選（B），題目得到完美解決.

4  分析問題

綜上幾種不同的計算方法，表面上看都能解決本題的問題，但是，作為近似計算的題目，大多要用到，也是必須用到題目中給出的參考數(shù)據(jù)，對于計算結(jié)果中沒有出現(xiàn)的新的數(shù)據(jù)，學(xué)生要想辦法尋找數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或者變形來進行解決，進行等價轉(zhuǎn)換.不同的算法過程不一樣，結(jié)果一樣，但是得到結(jié)果所花費的時間也不一樣，學(xué)生可以對這些算法進行對比和總結(jié)，從而可以找到快速有效解決這些問題的最優(yōu)算法.

數(shù)學(xué)高考考試大綱中對數(shù)學(xué)運算能力的要求實質(zhì)就是“多思少算”．所以通過研究高考試題的特點，多了解、理解算理，改進計算的方法，減少在高考解題過程的計算量是贏得考試時間和考試成功的重要途徑[5].

數(shù)學(xué)多元表征的類型系統(tǒng)，在科學(xué)研究中一般使用語言描述、數(shù)值表示和圖像顯示三種表征形式[2].數(shù)學(xué)的數(shù)值表示在各種問題考核中都是最直觀、最清晰的有效表述.在高考中，每道數(shù)學(xué)題都把數(shù)學(xué)多元表征的融合表現(xiàn)得淋漓盡致.近年來，為了體現(xiàn)教育公平，有很多省份都陸續(xù)加入了全國統(tǒng)一考試的行列，同時，近幾年的數(shù)學(xué)高考題，對數(shù)學(xué)運算能力的要求也是越來越高，考查的內(nèi)容和方向也是多種多樣，如果沒有好的數(shù)學(xué)運算思想和數(shù)學(xué)運算方法，在高考答題中一定會大大減慢答題速度，甚至影響到整張試卷答題的完整性，有的甚至出現(xiàn)算了半天，得到了錯誤的結(jié)果，所以，教學(xué)過程中要加強對數(shù)學(xué)算法的分析和總結(jié).

本題不能得到正確答案的原因還有就是，沒有經(jīng)過認真審題，這種錯誤的原因就是拿到了題目就開始悶頭計算，沒有看到題目后的小括號里的補充說明，根本沒有看到（本題使用的參考數(shù)據(jù)，），或者學(xué)生認為不需要這個他可以直接求出來.事實上，他確實可以求出結(jié)果，只不過求到的不是正確答案而已，這種情況完成以自我的中心，根本不管題目.因此，學(xué)生在今后的讀題、審題過的程中，一定要把題目看完整，也包括把題目中所給的附加括號的條件，或者試卷題頭中出現(xiàn)的公式、數(shù)字記住，甚至練一個標(biāo)點符號也不要放過.在高考過程中，學(xué)生拿到試卷后打鈴前的五分鐘，切記不要急于做前面的幾道小題，拿到高考試卷后應(yīng)該先把整張試卷通覽一遍，包括試卷前給的文字和公式等，做到心中有數(shù)，簡單判斷了各個題目的大致難易程度，打鈴之后再認真地從第一題開始作答.

5? 變式練習(xí)

本文最后再給大家創(chuàng)造一個訓(xùn)練的機會，不妨將第一個例題進行一個小的改編：若將水瓶倒置喝完水瓶一半高度的水后，再將水瓶進行正立旋置如圖1，問：此時水瓶中的水的高度是多少？（參考數(shù)據(jù)）（參考答案：水瓶中的水的高度約為）

6? 結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)的解題過程中，審題尤為重要，這是能正確算出結(jié)果的一個充要條件.審題關(guān)鍵之一在于要逐字逐句看，看清楚問題.特別是要注意容易看錯和被忽略的字詞.審題關(guān)鍵之二在于要學(xué)會轉(zhuǎn)化問題.對一些題目，題目背景很長，給出的已知條件和結(jié)論都很繁雜，在審題時，可將條件和問題重新整理在草稿紙上，并進行簡化，學(xué)會化繁為簡.審題關(guān)鍵之三還在于要注意題目中的隱含條件.有一些題目的題干中給出的條件并不是那么明顯，需要對一些隱含的條件要進行深入地思考、分析、挖掘和加工之后才能運用到解題過程中.此外，在審題過程中還可以通過畫出相應(yīng)的圖形等直觀地進行問題分析.

【基金：廣東省教育科學(xué)規(guī)劃2022年度中小學(xué)教師教育科研能力提升計劃項目一般課題“基于數(shù)學(xué)表征的高中生運算素養(yǎng)培養(yǎng)實踐研究”（課題編號：2022YQJK554）階段性研究成果之一】

參考文獻：

[1]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社出版，2020.05.

[2]唐劍嵐.數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的認知模型及教學(xué)研究[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2009.07.

[3]姚建法.數(shù)學(xué)多元表征研究綜述[J].江蘇教育研究，2020（13）：53-59.

[4]王佳榮.高中學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（26）：116-118.

[5]張展彬、王位高.優(yōu)化高考運算能力的策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2010（09）：7-10.

[6]張梅.數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)——審題[J].課程教材教學(xué)研究（中教研究），2022（07）：34-35.