注重知識內在聯系 著眼知識整體架構

朱明明

［摘? 要］ 文章以“點到直線的距離”為例，在大單元視角下架構點到直線的距離公式的學習路徑，引導學生通過深度研學在整體把握大單元知識架構的基礎上體驗知識生成和發展的過程． 通過系列問題設計，引領學生在課堂活動中逐步養成仔細觀察、用心思考的良好數學習慣，培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學學科核心素養.

［關鍵詞］ 高中數學；大單元教學；深度研學

新課標研制成員呂世虎教授指出：單元教學設計就是“在教學整體觀的指導下，以教材為基礎，用系統論的方法對教材中‘具有某種內在關聯性的內容進行分析、重組、整合，并形成相對完整的教學單元，以優化教學效果的教學設計”． 單元教學設計著眼于“距離”這一“具有某種內在關聯性”的內容，有利于學生構建整體性和系統性的知識，避免“只見樹木不見森林”的知識碎片化，體現了新課標的教學要求． 本文以“點到直線的距離”為例，探索單元教學在高中數學教學中的重要意義.

教學過程和設計意圖

1. 單元教學，方法引領

節首語：數缺形時少直觀，形少數時難入微. 代數和幾何，若兩者相互結合、共同發展，則會相互加強，以快速的步伐向完善化猛進. 而解析幾何正是兩者之間的橋梁，是數形結合思想的重要體現.

回憶舊知，引入新知，體現單元教學理念.

師：距離是解析幾何研究的對象之一，上節課我們學習了平面上兩點間的距離，推導出了兩點間的距離公式. 同學們，我們還應該研究平面上的哪些距離呢？

生1：我們還應該研究點到直線的距離.

生2：研究兩條平行線間的距離.

師：要想研究這兩個“距離”，我們首先要知道它們的定義分別是什么. 你知道它們分別是怎樣定義的嗎？

生3：兩條平行線間的距離是指夾在兩條平行線之間的公垂線的長度，也就是從一條平行線上的任意一點向另一條平行線作垂線所得垂線段的長度.

師：我們發現兩條平行線間的距離可以化歸為點到直線的距離，因此研究點到直線的距離就顯得尤為重要.

設計意圖 首先用數學名言讓學生知道代數和幾何是不可分割的整體，解析幾何是兩者的紐帶；然后通過上節課研究的兩點之間的距離，引導學生思考接下來應該研究平面上的哪些距離，以探究新舊知識間的關系，體現大單元教學理念.

2. 有效遷移，自主研學

問題1 開始新課前讓我們一起回憶一下上節課是如何研究兩點間的距離公式的.

師生交流：運用“化斜為正”思想，構造直角三角形得到A，B間的距離公式.

問題2 根據已有的學習經驗，今天你準備怎樣推導點到直線的距離公式呢？

學生通過小組討論得到了兩個方案，如圖3所示.

師：請兩個小組的同學分別說一下你們是怎么想到這兩個方案的.

生4：我們是根據定義想到方案1的，因為點到直線的距離是指點到直線的垂線段的長度，所以只要求出垂足Q的坐標，然后利用上節課所學的兩點間的距離公式，就可以求出點到直線的距離PQ了.

師：很好，第一小組同學想運用我們上節課所學的兩點間的距離公式來解決今天要研究的點到直線的距離問題，那么第二小組同學是怎么想到方案2的呢？

生5：因為我們在推導兩點間的距離公式時用的是“化斜為正”思想，所以這里我們也想嘗試去構造一個直角三角形，用“化斜為正”思想解決這個新問題.

師：老師覺得你們的想法也非常好，其他小組的同學覺得他們的想法好不好呢？好在哪里呢？

生6：好，他們沒有直接去求點Q的坐標，而是利用圖形的幾何特征去求PQ的長度.

通過對比兩個方案，讓學生找出這兩個方案各自研究的重點，在此基礎上進一步進行探究.

設計意圖 引導學生利用上節課學習的兩點間的距離公式及推導方法去探究點到直線的距離公式，讓學生體會知識和方法的遷移過程.

問題3 （用方案1解題后）解題時是否遇到過困難？解題后的感受是什么？

生7：太繁了?。ūг梗?/p>

師：所以我看到有的同學沒有算下去，對吧？（笑，表示理解）現在我們具體來找一找哪幾步的計算比較復雜.

師：我們有沒有什么辦法來避免或優化這幾步運算呢？（學生思考）

引導學生帶著問題用整體的眼光重新審視條件和目標，尋找優化解題過程的方法.

師：這個想法非常好！接下來我們就可以直接研究這兩個整體了，不妨令它們分別為X，Y，然后呢？哦，這位同學說我們可以先解出X，Y，然后代入目標函數得到X2+Y2，或者先將第一個方程轉化為BX－AY=0，再將兩個方程分別平方后相加，也同樣可以得到X2+Y2. 接下來的運算就留給同學們課后自己去完成了.

問題4 （用方案2解題后）對比兩個方案，說說兩個方案各自的側重點是什么.

師生交流：方案1運用代數法求點Q坐標后再借助兩點間的距離公式算出PQ的長度，側重于用代數法來研究幾何問題，而方案2則運用圖形的幾何特征來優化代數運算，這就是所謂的數形結合，相輔相成.

設計意圖 通過兩個方案的對比和總結，讓學生體驗知識和方法從已知向未知遷移的過程，體會數形結合在解析幾何中的重要地位.

師生交流：發現AB=0（A=0，B≠0或A≠0，B=0）時上述公式依然成立（具體情況如表1所示）.

設計意圖 通過討論AB=0（A=0，B≠0或A≠0，B=0）這種特殊情況來完善點到直線距離公式的應用范圍，體現學生數學思維的嚴謹性和完備性.

3. 典型例題，學會應用

例題：求點P（－1，2）到下列各直線的距離.

（1）y=－2x+10；

（2）3x=2.

追問：運用點到直線的距離公式解題時你有哪些體會？

師生交流：（1）用此公式時要先建立直線的一般式方程；（2）斜率不存在或為0時，直接利用圖形性質求解更快捷.

設計意圖 通過設置具體、直觀的問題，深化學生對點到直線的距離公式的理解，強化和鞏固學生運用公式的能力.

學以致用：某電信局計劃年底解決本地區最后一個小區的“寬帶光纖電纜改造”工程． 經過測量，若按照部門內部設計好的坐標圖（即以電信局為原點），得知這個小區光纖電纜接入點的坐標為P（－1，2），離它最近的只有一條光纖電纜線通過，其方程為2x－y－10=0． 要完成這項工程至少需要多長的光纖電纜線？（單位：千米）

生10：求解這道應用題，首先根據題意找出本題要求的是“至少需要多長的光纖電纜線”，由點到直線的距離的定義可知，就是求點P（－1，2）到直線2x－y－10=0的距離，于是將實際問題轉化為了我們熟悉的數學問題，接下來的運算我們在例題中已經完成，最后就是檢驗作答.

師：回答得很完整，請坐！由此可知，解決實際問題的一般步驟是：首先將實際問題轉化為數學問題，然后通過邏輯推理或數學運算來解決這個數學問題，最后就是檢驗作答. （此時展示圖5所示的解決步驟供學生觀看）

設計意圖 通過設置社會生活中的實際問題，進一步加深學生對點到直線的距離公式的理解，強化學生靈活運用公式解決問題的能力.

4. 總結反思，提升認識

師：同學們，通過本節課的學習你們有哪些收獲呢？

生11：我們學習了點到直線的距離公式，掌握了代數法、幾何法，體會了數形結合和轉化與化歸思想.

師：很好，我們發現兩條平行線之間的距離可以化歸為點到直線的距離，而點到直線的距離可以化歸為兩點間的距離，接下來我們還可以研究些什么呢？

下面一起梳理本節課學習的內容，然后讓學生利用今天所學的知識去研究兩條平行線之間的距離公式. 所謂復習舊知，構建新知，探索未知.

設計意圖 在課堂小結的同時，用“單元”思想引領學生關注知識的系統性、整體性和延展性.

5. 布置作業，自主提升

（1）知識鞏固型作業：課本第38頁的練習1、練習3和練習4.

（2）思維拓展型作業：上網查閱相關資料，寫一篇小論文《點到直線距離公式的推導》.

設計意圖 作業布置體現層次性、選擇性和開放性.

教學反思和四大特點

本節課所學內容是蘇教版選擇性必修第一冊第一章“直線與方程”的最后一個內容，它在研究直線的方程和兩條直線的位置關系的基礎上，借助上節課研究的兩點間的距離公式，進一步研究點到直線的距離公式，為下節課學習兩條平行線之間的距離公式打下了基礎，體現了大單元教學理念. 在本節課課堂教學中，學生在問題的引導下參與度高、活動充分、思維活躍，課堂生態好. 從學生作業反饋來看，課堂效果也很好.

1. 創設合理情境，提出新問題

遵循學生的認知規律和教材的編寫意圖，本節課通過創設“兩點間的距離公式及推導”這一數學情境，提出問題“我們還可以研究些什么”，繼而引出課題“點到直線的距離”．這樣的設計自然順暢，既符合學生的認知規律，又符合數學知識的發展規律，更符合普通高中數學新課標的要求和新教材的編寫意圖．

2. 遵循單元設計，建構知識體系

對于高中數學學習而言，完整的知識體系不能只包含知識，還要包含其內部縱橫交錯的關聯. 在大單元設計中，教師首先對一個單元要有整體認識，隨后基于關聯性學習引導學生養成自主梳理、構建知識體系的習慣，找到認知體系，形成思維體系. 本節課就是通過“點到直線的距離”這一載體，將整個“平面上的距離”一節內容串聯起來，幫助學生厘清了知識的來龍去脈. 心中裝綠洲，眼中看森林，運用大單元設計的教學，無論是學習質量還是學習效率都遠遠高于傳統低效的碎片化教學.

3. 設計關鍵問題，促進深度學習

教學設計中以學生熟悉的情境為鋪墊，通過“我們還可以研究平面上的哪些距離”“根據已有的學習經驗，怎樣來推導點到直線的距離公式”等問題的引導，圍繞具有挑戰性的學習任務，主動思考，全身心參與，體驗成功，這樣“獲得發展的有意義的學習”就是深度學習．

4. 把握數學本質，實現育人價值

本節課教學過程采用“雙線”設計，以“數學公式的發現—推導—驗證—應用”為明線，以“事實方法—數學方法—數學思想—數學本質觀”為暗線. 明線以數學知識為載體，完善學生的數學知識體系；暗線以數學思想方法為載體，體現數學本質. 利用明線和暗線培養學生的數學學科核心素養，讓學生“數學化”思考、解決問題，這正是用“數學的方式”落實學科育人價值．

5. 注重“解決問題”，培養核心素養

本節課教學設計注重由“解題”到“解決問題”的轉變，引導學生關注“解題”背后的一般方法與思想，探究問題解決過程中的一般規律和數學本質，培養學生的數學學科核心素養．