培養數形結合思想 發展數學核心素養

翁文彪

［摘? 要］ “直線與圓的位置關系”是高中數學的重要知識點，也是高考的重要考點，還是培養學生數形結合思想的重要素材. 在教學中，教師要結合教學實際創設有效的教學情境，引導學生由“數”向“形”轉換，讓學生學會用代數法來分析和解決幾何問題，培養學生的數形結合思想，發展學生的數學核心素養.

［關鍵詞］ 數形結合思想；教學情境；數學核心素養

對于“直線與圓的位置關系”這一內容學生并不陌生，在初中階段就重點學習過. 不過初中階段主要是通過直觀觀察得到結論，而高中階段則是通過運算得到結論. 在具體教學中，教師應以學生的已有知識和經驗為出發點，引導學生從“代數”和“幾何”兩個角度研究直線與圓的位置關系，通過由“形”到“數”的轉換加深學生對數學知識的理解，提高學生分析和解決問題的能力.

教學設計與實施

1. 創設情境，引入主題

例1 已知圓C的圓心坐標為（2，3），半徑為1，直線l：kx－y－1+2k=0恒過定點P，請分別求出點P的坐標及圓C的標準方程，并化成一般式.

思考：（1）點P與圓C具有怎樣的位置關系？（2）動直線l與圓C具有怎樣的位置關系？

問題給出后，學生積極思考，求得定點P的坐標為（－2，－1），圓C的標準方程為（x－2）2+（y－3）2=1，化成一般式為x2+y2－4x－6y+12=0. 對于思考（1），學生借助圖形可知，點P為圓C外一點. 對于思考（2），學生再借助圖形去判斷卻犯了難，由此引發了學生的認知沖突，激發了學生的探究欲.

設計意圖 直線方程、圓方程以及點與圓的位置關系是學生已經學習并掌握的知識，在此基礎上進一步拓展延伸，通過動直線的變化引出直線與圓的三種位置關系——相離、相切、相交.

2. 合作交流，數學建構

教師利用幾何畫板展示直線l：kx－y－1+2k=0繞定點P（－2，－1）旋轉，讓學生直觀感知如何判斷直線l與圓C：（x－2）2+（y－3）2=1的位置關系.

師：如何判斷直線與圓的位置關系？

生齊聲答：看直線與圓有幾個公共點.

師：很好，圖1中的直線與圓是怎樣的位置關系呢？（教師展示圖1）

生1：相切. （其他學生也贊成生1的說法）

師：是嗎？現在我們放大來看一看. （教師將圖1的局部放大，得到圖2）

生1：看圖1明明是相切的，怎么又是相交的呢？（學生投來詫異的眼神）

師：人會產生“錯覺”，所以眼見未必為實. 有沒有其他方法可以準確地判斷直線與圓的交點個數呢？

問題給出后，教師刻意放慢速度，讓學生結合已有知識和經驗探尋其他解決方案.

生2：前面我們學習了直線的方程和圓的方程，可以利用方程思想來研究直線與圓的位置關系.

師：不錯的想法，解析幾何的本質就是用代數法來研究幾何問題. 若k=1，則直線l：x－y+1=0與圓C：（x－2）2+（y－3）2=1有幾個交點呢？

教師啟發學生結合兩直線相交的研究經驗來解決圓與直線相交的問題；學生聯立直線和圓的方程，求出其交點的坐標，判斷兩者的位置關系.

師：上述過程（略）是否可以簡化呢？一定要求出交點的坐標才能判斷它們有幾個交點嗎？

生3：不需要，只要考慮根的判別式即可，即根據根的判別式判斷方程的實根個數，就可以得到交點的個數.

師：很好，結合大家交流的內容，請同學們總結一下判斷直線與圓的位置關系的方法.

教師先讓學生以小組為單位進行歸納總結，然后讓各小組交流展示結果.

生4：聯立直線和圓的方程，通過消元法得到一個一元二次方程，若Δ>0，則直線與圓有兩個交點，即直線與圓相交；若Δ=0，則直線與圓有且僅有一個交點，即直線與圓相切；若Δ<0，則直線與圓沒有交點，可以判斷直線與圓相離.

師：這樣將幾何問題代數化，利用方程思想解決問題，可以有效規避“錯覺”的風險，充分體現數學的嚴謹性.

設計意圖 在教學中，教師先從“形”的角度出發，讓學生通過觀察直觀感知直線與圓的位置關系，然后利用“錯覺”讓學生體會“形缺數時難入微”的含義，以此激發學生用代數法研究幾何問題的積極性.

師：除了應用方程思想，你還能找到其他方法嗎？回顧初中判斷直線與圓的位置關系的方法，你有何發現呢？

生5：比較d（圓心到直線的距離）與r（圓的半徑）的大小.

師：利用這個方法你能判斷直線l：x－y+1=0與圓C：（x－2）2+（y－3）2=1的位置關系嗎？

生6：圓心C（2，3）到直線l：x－y+1=0的距離d=0，d

師：哦，d=0？

生6：直線l剛好過圓心.

師：如果直線與圓相切或相離，又會存在怎樣的情況呢？

生7：若d>r，則相離；若d=r，則相切.

師：很好，這樣利用圖形的幾何性質同樣可以判斷直線與圓的位置關系. 對于以上研究結果，能總結一下嗎？

在教師的啟發和指導下，學生通過互動交流對代數法和幾何法進行了歸納總結.

設計意圖 引導學生從“形”的角度出發，運用初中判斷直線與圓的位置關系的方法及點到直線的距離公式，得到判斷直線與圓的位置關系的另一種方法——幾何法，以此讓學生學會運用數量關系刻畫直線與圓的位置關系，深化對數形結合的理解.

3. 數學應用，深化理解

例2 過點A（－1，4）作圓（x－2）2+（y－3）2=1的切線，求切線方程.

題目給出后，教師讓學生獨立求解，并鼓勵學生分別應用代數法和幾何法來處理問題. 問題解決后，教師讓學生展示解答過程，并規范其書寫. 緊接著，教師對例2進行變式，讓學生思考：若定點A的坐標為（1，5）或（1，0），此時切線方程又會怎樣變化？使學生體會定點位置對求切線方程的影響.

設計意圖 通過典型例題幫助學生鞏固和強化新知，培養學生思維的靈活性，提升學生的解題技能. 在此過程中，教師鼓勵學生應用代數法和幾何法求解，并對這兩種方法進行對比分析，讓學生了解代數法的一般性和幾何法的直觀性、簡潔性，進一步體會數形結合的重要性.

4. 回顧小結，升華認知

該環節教師啟發學生從知識、思想、方法等多方面進行歸納總結，然后組內交流，最后各小組派代表展示交流成果.

設計意圖 通過課堂小結幫助學生完成知識、思想、方法的梳理，完善認知結構. 在此過程中，教師不僅重視學生對數學思想方法的提煉，促進學生認知升華，還鼓勵學生提出自己所想、所惑，培養學生善于提出問題、思考問題的習慣，提升學生的數學學習品質.

課后反思

1. 巧用教學情境，激發學習熱情

一個好的情境應該具有良好的生長性和開發性，能有效激發學生學習的積極性. 在現實教學中，大多數教師習慣以現實生活為依托，這樣的情境是易于學生理解的，有利于學生數學抽象和數學建模能力的培養. 不過，教學中要避免只使用單一情境，而應通過情境的多樣性激發學生的學習興趣. 在本課教學中，教師結合教學實際設計數學情境，由點與圓的位置關系延伸至直線與圓的位置關系. 在建構新知的過程中，從學生的最近發展區出發，通過創設問題情境引導學生將舊知與新知聯系起來，促進知識網絡的建構和思維的生長，促進學生數學能力的提升.

2. 滲透數形結合思想，培養數學素養

數形結合思想是重要的數學思想之一，是學生研究解析幾何問題的重要方法. 在本課教學中，應重視數形結合思想方法的滲透，讓學生感受數形相互依存的關系，體會應用數形結合思想方法的必要性、重要性和簡潔性，培養學生數形結合能力. 在本課教學中，教師利用“錯覺”創設沖突，讓學生體驗“視覺直觀”是不可靠的，由此自然實現由“形”到“數”的轉化，讓學生學會用幾何圖形中的數的特征來解決幾何問題，充分感知數形結合思想方法的優勢.

總之，在實際教學中，教師應結合教學內容創設有效的情境，讓學生通過聯想、類比、歸納等活動加深對數學知識的理解，在分析和解決問題的過程中發展學生的數學學科核心素養. 同時，教學中應重視凸顯知識間的內在聯系，促進學生知識網絡的建構以及數學遷移能力、分析和解決問題能力的提升.