CPPFS結(jié)構(gòu)及其在高中數(shù)學(xué)單元主題教學(xué)中的教學(xué)設(shè)計(jì)

摘要：單元教學(xué)超越了傳統(tǒng)課時教學(xué)在零散知識灌輸方面的局限，被視為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路.CPFS結(jié)構(gòu)是經(jīng)過論證的，適合我國教學(xué)特色的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)也適合單元教學(xué).問題是數(shù)學(xué)的心臟，本研究把問題融合至CPFS結(jié)構(gòu)，構(gòu)造CPPFS結(jié)構(gòu)，并設(shè)計(jì)建立以個體CPPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)，為一線教師提供教學(xué)參考.

關(guān)鍵詞：CPPFS結(jié)構(gòu)；單元教學(xué)設(shè)計(jì)；高中數(shù)學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）提出：“以大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí).”由此可見，強(qiáng)調(diào)知識點(diǎn)間的交叉聯(lián)系對于促進(jìn)學(xué)生基本素養(yǎng)落地的意義.喻平[1]在數(shù)學(xué)知識分類、數(shù)學(xué)知識表征的基礎(chǔ)上，提出了CPFS結(jié)構(gòu)，CPFS是學(xué)生頭腦中內(nèi)化的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，即概念域、概念系、命題域、命題系的統(tǒng)稱.優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)能促進(jìn)學(xué)習(xí)者對知識的理解，豐富學(xué)生的內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò)和促進(jìn)圖式的重組和調(diào)整.在單元教學(xué)促核心素養(yǎng)發(fā)展的潮流下，2020年喻平提出了以建立個體CPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)設(shè)計(jì)，該教學(xué)模式的提出給一線教師進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)提供了新的視角和理論基礎(chǔ).

高中數(shù)學(xué)教材的構(gòu)成分為章節(jié)引言、章節(jié)知識以及例題和習(xí)題[2].在整體化教學(xué)過程中，除了要注重知識教學(xué)的整體性，還應(yīng)注重解題教學(xué)的整體性[3].將問題化繁為簡、化難為易，使學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，提升學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素質(zhì).問題是數(shù)學(xué)的心臟，從喻平發(fā)表的多篇有關(guān)CPFS結(jié)構(gòu)的論文中可以看出，雖建立了概念和命題的結(jié)構(gòu)，但也有意將概念、命題和問題三者融合，突出問題的重要性.

基于此，本研究將喻平提出的CPFS理論進(jìn)行推廣，增加問題域和問題系，建立CPPFS結(jié)構(gòu)，并將之應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)中.

1 構(gòu)建CPPFS結(jié)構(gòu)

在構(gòu)建CPFS結(jié)構(gòu)中，喻平提出教師可以采用“變式”教學(xué)方法使學(xué)生辨別數(shù)學(xué)知識的不同表達(dá)形式或者錯誤表達(dá)形式.這里的“變式”就是在擴(kuò)展域和聯(lián)系系.實(shí)際上，擴(kuò)展和聯(lián)系的不僅是“概念”和“命題”，還有“問題”.除了“變式”以外，喻平還指出“遷移”也會擴(kuò)展域和系，溝通“概念”“命題”和“問題”，進(jìn)而提升素養(yǎng).由此可見，與概念和命題類似，問題也有域和系.基于此，本研究在CPFS結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，增加了問題域（probelm field）和問題系（problem system），即構(gòu)建“CPPFS結(jié)構(gòu)”，其是由概念、命題、問題、域和系五個名詞的英文單詞的首字母組成的縮寫.

與CPFS結(jié)構(gòu)一脈相承，本研究將問題域和問題系定義如下：問題域即等價問題的集合，是指兩個或多個問題雖然表述或形式不同，但其解決的方法、策略或表達(dá)的數(shù)學(xué)思想方面有相似之處.通過對具體問題的條件或結(jié)論的等價轉(zhuǎn)化以及代數(shù)問題和幾何問題的轉(zhuǎn)化等來促進(jìn)思維的靈活轉(zhuǎn)換.問題系是指在個體頭腦中形成的具有特定數(shù)學(xué)問題關(guān)系的問題網(wǎng)絡(luò).各個問題之間存在著聯(lián)系和依賴，形成了一個相互關(guān)聯(lián)的問題體系.

CPPFS結(jié)構(gòu)是學(xué)生自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)良好的學(xué)生可以把知識與問題域、問題系緊密聯(lián)系，從更大視角形成對知識單元整體的認(rèn)識，從而更好地指導(dǎo)自己的學(xué)習(xí)，認(rèn)清題目、反思總結(jié)，更好地監(jiān)控自己的學(xué)習(xí).

2 建立個體CPPFS結(jié)構(gòu)的單元教學(xué)

建立個體CPPFS結(jié)構(gòu)的單元設(shè)計(jì)可以以一個概念為核心，研究并得出與這個概念等價或有抽象聯(lián)系的概念，又或者以一個命題為核心，研究并得出與這個命題有等價或推出聯(lián)系的命題.此外，以建立個體CPPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)也可從大問題的角度出發(fā)，以大問題為中心，引導(dǎo)學(xué)生探究解決問題需要從哪些方面研究，需要學(xué)習(xí)哪些方面的知識，怎樣分解這個復(fù)雜的問題，得到與這個問題有推出關(guān)系的問題，并將這一組問題用于解決大問題.以建立個體CPPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)流程見圖1.[FL）]

在核心素養(yǎng)教學(xué)下，教師需按照“定單元主題—明基本概念—理概念關(guān)系—確定大概念”的流程，提煉主題單元大概念.依據(jù)教材內(nèi)容和大概念框架，在已劃定的概念范圍內(nèi)挑選核心概念.對已挑選的核心概念進(jìn)行派生，逐步下行設(shè)計(jì)，最終落實(shí)到具體課時教學(xué)中的一般概念.與之相反，學(xué)生從低層的一般概念或命題出發(fā)，自下而上地對知識進(jìn)行抽象和概括，建構(gòu)并正確表述核心概念，再由核心概念總結(jié)概括出大概念，最終達(dá)成核心素養(yǎng)的培養(yǎng).從總體來看，知識點(diǎn)從設(shè)計(jì)教學(xué)到學(xué)生學(xué)習(xí)的過程如圖2“W”模型的右半支.在進(jìn)行單元問題設(shè)計(jì)時，教師從核心素養(yǎng)出發(fā)來設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)確定教學(xué)活動和大任務(wù).從大任務(wù)出發(fā)思考設(shè)計(jì)大問題，再下行至核心問題，最終具體到每個課時的一般問題.在一般問題中，表述形式不同但解決方法和運(yùn)用策略相似的問題為一個問題域.相反，學(xué)生是從一個個具體問題開始逐步解決來達(dá)成課時任務(wù)，然后經(jīng)過小單元總結(jié)，最后解決大問題，達(dá)成單元目標(biāo).教學(xué)中的問題活動從設(shè)計(jì)、開展到達(dá)成如圖2“W”模型的左半支.“W”教學(xué)模式將零散的知識進(jìn)行統(tǒng)一組織，促使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的動態(tài)生成中不斷獲得思維和能力的提升.

3 “三角函數(shù)”教學(xué)背景

3.1 明確教學(xué)內(nèi)容，建立新舊聯(lián)系

本章是在學(xué)習(xí)完函數(shù)的概念與性質(zhì)之后安排的三角函數(shù)單元教學(xué).三角函數(shù)是繼函數(shù)概念學(xué)習(xí)后的第四類基本初等函數(shù)的概念，應(yīng)該是在大框架函數(shù)概念的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)，經(jīng)歷概念的背景了解，探索概念的形成過程，再分析其性質(zhì)、應(yīng)用等，因此前面單元安排的函數(shù)的學(xué)習(xí)是三角函數(shù)單元學(xué)習(xí)最好的參照物，如圖3.將三角函數(shù)納入函數(shù)主線的大框架下進(jìn)行教學(xué)，有利于學(xué)生“既見樹木，又見森林”.

3.2 調(diào)研學(xué)生學(xué)情，進(jìn)行深度分析

3.2.1 學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)點(diǎn)

初中對圓的軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)對稱性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)內(nèi)容得出的結(jié)果可以用三角函數(shù)概念來表達(dá)，進(jìn)而得到三角函數(shù)的性質(zhì).學(xué)生初中掌握的平面幾何相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法也會為本單元的學(xué)習(xí)提供可行思路，比如兩角差余弦公式的證明等.而在函數(shù)主線的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)了解研究函數(shù)的一般方法，在冪指對函數(shù)的學(xué)習(xí)中積累的數(shù)學(xué)思想方法都是本單元的認(rèn)知基礎(chǔ).

3.2.2 學(xué)習(xí)本章的障礙點(diǎn)

在學(xué)習(xí)本章之前，教師應(yīng)對以上學(xué)情調(diào)研結(jié)果進(jìn)行梳理，整體把握學(xué)生的認(rèn)知障礙和有待提升的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，依據(jù)認(rèn)知規(guī)律梳理課程素材、選擇教學(xué)方法.學(xué)生認(rèn)知障礙及待提升的學(xué)科素養(yǎng)如表1所示.

3.3 “三角函數(shù)”單元設(shè)計(jì)

3.3.1 找準(zhǔn)“大概念”，劃分單元組塊

大概念往往涵蓋性強(qiáng)，含義抽象且缺乏教學(xué)實(shí)用性.教師需充分考慮大概念與核心概念、一般概念之間的關(guān)聯(lián)，再劃分單元組塊，選取相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容和資源進(jìn)行重組和排序.“三角函數(shù)”學(xué)科大概念層級結(jié)構(gòu)如圖4所示.

3.3.2 創(chuàng)設(shè)單元情境，引發(fā)學(xué)習(xí)任務(wù)

將“刻畫小明在摩天輪的位置”作為問題情境，貫穿于全部的課程單元.選取以刻畫摩天輪的位置設(shè)計(jì)為教學(xué)場景的理由大致有兩點(diǎn)：一是這個問題情境從我們所熟悉的教學(xué)情景開始，建立平面直角坐標(biāo)系，由銳角三角函數(shù)的定義自然過渡到任意角三角函數(shù)；二是這個問題情境以摩天輪為模型，與本單元單位圓模型一脈相承，從而在問題情境的解決中得到三角函數(shù)的概念.

3.3.3 設(shè)置大問題，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動

大問題與單元大概念相呼應(yīng)，是能反映單元核心學(xué)習(xí)內(nèi)容、促進(jìn)單元大概念的生成、理解與掌握的問題.學(xué)習(xí)活動應(yīng)緊扣大問題設(shè)計(jì)，在學(xué)習(xí)活動中體現(xiàn)探究核心概念、逐漸形成單元大概念的過程.三角函數(shù)單元問題和單元活動如表2所示.

3.3.4 小結(jié)構(gòu)建系統(tǒng)，加深域系認(rèn)識

新高考下，高考考查學(xué)生是否能夠?qū)⑷呛瘮?shù)的內(nèi)容同其他基本函數(shù)內(nèi)容有效銜接起來.因此，教師應(yīng)在每節(jié)課接近尾聲時，及時引導(dǎo)學(xué)生將三角函數(shù)模塊中所學(xué)的知識點(diǎn)置于高中階段函數(shù)知識的整體框架中，豐富概念域、概念系和命題域、命題系，厘清問題之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，構(gòu)建問題域、問題系，促進(jìn)學(xué)生反思、審視自己的學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

[1]（喻平.數(shù)學(xué)問題解決中個體的CPFS結(jié)構(gòu)對遷移的影響[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004（4）：13-16.

[2]李坤.高中數(shù)學(xué)新舊教材結(jié)構(gòu)及內(nèi)容的比較分析[D].曲阜：曲阜師范大學(xué)，2021.

[3]王新芝.整體思維在解題過程中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2011（9）：66.