數學課堂提問的基本策略

摘 要：教師要善于把教學內容變成具有潛在意義的問題，使學生更加充分地參與到學習活動中。就數學教學而言，廣義的問題包括例題和習題，貫穿于課堂教學的全過程。教師要注意創設有情境背景的核心問題，驅動學生探究新知；設計系列性的變式問題，引導學生把握本質；設計不同樣例的分層問題，幫助學生學會應用。

關鍵詞：高中數學；教師提問；情境問題；變式問題；分層問題

“善教者必善問。”為了更好地突出學生的主體地位，教師要善于提出問題，引導學生積極思考和探究，主動建構和發現，從而在解決問題的過程中獲取知識、形成能力——而不是一味地講授，讓學生被動地接受。也就是說，教師要善于把教學內容變成具有潛在意義（廣義）的問題，使學生更加充分地參與到學習活動中——最好還能有所表現，從而讓教師在更加精準的評價基礎上展開更有針對性的教學。這樣才能讓教學“活”起來、更有效。

那么，在數學教學中，教師提出問題要注意些什么？就數學教學而言，廣義的問題包括例題和習題，貫穿于課堂教學的全過程。下面，以《等比數列的前n項和》新授課為例，談一談幾個基本的教學環節中可以提出怎樣的問題，來幫助學生有效學習。

一、 有情境背景的核心問題，驅動學生探究新知

數學新知教學，首先（也是關鍵）要提出問題，驅動（引導）學生探究發現（思考建構）新知。這樣的問題可以是一系列問題，但是一般來說，有一個核心的驅動性問題，其他是引導性追問。那么，提出這樣的問題（尤其是核心問題）要注意什么呢？最好有一定的情境背景，以體現知識產生的必要性（價值），并激發學生學習的求知欲（興趣）。這樣的情境背景雖然也可以是純數學的，但是最好是與現實生活或虛構故事（尤其是熱門的、經典的）相關的，從而讓抽象、枯燥的數學變得具象、生動一些。同時要貼近學生的“最近發展區”，即在學生已有認知水平的基礎上具有一定的挑戰性和啟發性，能引發認知沖突和指引探究方向——后者有時不是核心問題的功能，而是連續、遞進的追問的功能。

《等比數列的前n項和》新授課，筆者創設了這樣的情境問題：“話說豬八戒自西天取經回到了高老莊，從高員外手里接下了高老莊集團，搖身變成了CEO。可好景不長，便因資金周轉不靈而陷入了窘境，急需大量資金投入，于是就找孫悟空幫忙。悟空一口答應：‘行！我每天投資100萬元，連續一個月（30天），但是有一個條件：作為回報，投資的第一天你必須返還我1元，第二天返還2元，第三天返還4元……即后一天返還數為前一天的2倍。’八戒聽了，心里打起了小算盤：‘第一天：支出1元，收入100萬；第二天：支出2元，收入100萬；第三天：支出4元，收入100萬元……哇，發財了！’心里越想越美，但再看悟空的表情，心里又嘀咕了：‘這猴子老是欺負我，這次會不會又在耍我？’八戒能接受悟空的投資條件嗎？”

這里，借助家喻戶曉的《西游記》故事人物和社會熱點的金融投資事件創設情境背景，引出求等比數列前n項和的核心問題，不僅體現了知識產生的必要性（價值），而且激發了學生學習的求知欲（興趣）。同時，引出的核心問題有一定的挑戰性，而這個情境背景有一定的啟發性：2為公比的具體數列能啟發學生發現錯位相減法。教學中，教師可以通過引導性追問，讓學生發現：對第2到n項的和（n≥2）提取公比q，即得前n-1項和，然后，利用Sn與Sn-1的遞推關系，可得Sn的關于a1、an+1、q的表達式。符號表達為：Sn=a1+a1q+a1q²+…+a1q^n-1=a1+q（a1+a1q+a1q²+…+a1q^n-2）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an）Sn=a1-an+11-q。進而，可以引導學生發現，這一推導方法的關鍵步驟是將Sn乘q，從而相減消去“中間項”（第2至n項）。由此，可以引出錯位相減法。

二、 系列性的變式問題，引導學生把握本質

數學是一門精確、嚴謹的學科，而且具有很強的一般性和深刻性。數學知識有著精確的內涵本質和廣泛的運用變化，難以一步到位地理解、掌握。學生發現（建構）數學新知后，教師要注意設計一系列變式問題，由是（正確）到非（錯誤）、由淺（特殊）入深（一般），幫助學生在不同運用的比較中，逐步把握數學新知的本質。

《等比數列的前n項和》新授課，引導學生探究發現（思考建構）等比數列的前n項和公式Sn=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q后，筆者設計了這樣的一系列變式問題：

例1 求等比數列14，-12，1，…的前n項的和。

變式1 求等比數列14，-12，1，…從第6項到第10項的和。

變式2 求等比數列2，2，2，2，2，…的前n項的和。

變式3 求等比數列a，a2，a3，a4，…的前n項的和。

例1直接運用公式求和即可。變式1也是直接運用公式求和，但是，需要求兩次前若干項的和，然后作差得到從某一項到另一項的和——當然，也可以重新確定從某一項到另一項的數列的首項和項數，再基于公比不變，運用公式求一次和。變式2能讓學生發現，公比為1時，公式沒有意義，不能用來求和，但是，因為各項相等，所以可以用Sn=na1這個簡單的公式求和。變式3是更一般的情況（含字母參數），可引導學生發現，要分公比為1和公比不為1兩類情況討論。因此，這一系列變式問題能讓學生充分把握之前探究所得公式的本質：真正意義上的等比數列（公比不為1）而非實際上是常數數列的等比數列（公比為1，也是等差數列）的前n項和公式。

三、 不同樣例的分層問題，幫助學生學會應用

學生獲得新知、把握本質后，練習解決一定數量的問題，以進行鞏固、學會應用，是必需的。此時，設計問題的關鍵是適當分層，注意不同的難易性和綜合度。這樣，一方面可以更好地面向全體學生，關注個體差異，“使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”；另一方面可以更好地展示豐富側面，關注問題的典型性，通過不同樣例的學習，充分發展遷移應用的能力。

《等比數列的前n項和》新授課，引導學生把握等比數列的前n項和公式的本質后，筆者設計了這樣的（課內）不同樣例分層問題：

1. 在等比數列an中，若a1=2，q=2，n=8，則前n項和Sn=""" 。

2. 求等比數列1，2a，4a2，8a3，…的前n項和Sn。

3. 已知an=2n-13ⁿ（n∈N^*），求數列an的前n項和Sn。

4. 已知數列an的前n項和為Sn，a1=-94且4Sn+1=3Sn-9（n∈N^*），而數列bn滿足3bn+（n-4）an=0（n∈N^*）。

（1） 求bn的前n項和Tn；

（2） 若Tn≤λbn對任意的n∈N^*恒成立，求實數λ的取值范圍。

第1題是等比數列前n項和公式最直接（最簡單）的應用，雖然沒有像上述例1和變式1、2那樣給數列的前若干項，但是更加直接地給出了數列的首項、公比和項數。第2題則像上述變式3那樣給出了更一般的數列（含字母參數），同樣需要先求出公比并對其是否為1進行討論，再利用相應的公式求和。第3題讓等差數列和等比數列通項相乘，構造新數列，求其前n項和，意在將錯位相減法的應用范圍推廣到更一般的情形。第4題則大幅度提升了綜合性，要求學生先通過前n項和的遞推關系求出數列an的通項（是等比數列），再根據通項之間的關系求出數列bn的通項（是等差數列與等比數列的積數列），由此，先利用錯位相減法求出bn的前n項和，再根據bn的通項與前n項和的不等關系分離參數、求最值從而求出參數的取值范圍。可見，這四個問題（樣例）層次分明，同時相互關聯、依次遞進，能讓學生初步體會到等比數列前n項和公式及其推導方法的不同應用側面以及豐富應用價值。