挖掘教材內涵 提升思維品質

摘要：隨著“雙減”政策的出臺，以及初中數學新課程標準的頒布，人們逐漸意識到數學思維對學生數學學習乃至未來的發展都至關重要.數學是思維的體操，構建深度課堂，培養數學思維，提高課堂質效，提升數學素養，為學生可持續發展奠定基礎.三角形作為基本的平面圖形，在中考中的考查相當廣泛，特別是等腰三角形以它獨特的對稱美，滲透在許多經典的數學問題中，引發學生不斷地思考、探索.教師搭建適切的腳手架，提升學生的思維品質.

關鍵詞：數學思維；三線合一；等腰三角形

1 引例

（北師大版教材八年級下冊第22頁例1）已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.

這道題通常有三種解題思路，思路一是設AO交BC于點D，先證△ABO≌△ACO得到∠BAO=∠CAO，再證明△ABD≌△ACD，得出結論.思路二同思路一得∠BAO=∠CAO，所以AO平分∠BAC，再利用等腰三角形的“三線合一”性質得出結論；思路三是利用線段垂直平分線的判定定理，要證明一條直線垂直平分一條線段，只需證明直線上有兩點在該線段的垂直平分線上，兩點確定一條直線即可證明.

筆者在兩輪的教學中均發現在證明這道題時，90%左右的學生都是利用思路一，證明兩次全等；有個別學生利用思路二；很少有學生能想到思路三，利用本節課學習的線段垂直平分線的判定定理證明.這是為什么呢？學習完定理，學生沒有應用定理的意識，是慣性思維，是本節課的問題，還是本章的問題，導致學生思維的靈活性不夠？筆者認為應該是沒有建立起學生思維的腳手架，不能激發學生有效的聯想，從而導致學生思維相對單一.經深挖教材、仔細研究，梳理以下思路，以供大家研討交流.

2 追根溯源，挖掘內涵

2.1 等腰三角形“三線合一”性質的發現

通過讓學生制作等腰三角形，沿著頂角的頂點折疊，使兩腰重合，折痕所在的直線即為等腰三角形的對稱軸，從而發現全等三角形、相等的邊、相等的角，同時會發現等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線與底邊上的高三線合一，這條線過等腰三角形頂點，也是等腰三角形底邊的垂直平分線.通過證明三角形全等，即可驗證結論.

2.2 等腰三角形“三線合一”性質的應用

2.2.1 用尺規作線段垂直平分線

如何作已知線段的垂直平分線呢？由等腰三角形的三線合一性質，自然聯想到，把已知線段看作等腰三角形的底邊，構造等腰三角形.等腰三角形的三線有共同特點，都經過頂角的頂點，作一個等腰三角形就可以確定一個頂角的頂點，即底邊垂直平分線上的一點.但由一點不能確定一條直線，需要兩點才能確定一條直線，自然遷移到以已知線段為等腰三角形的公共底邊，分別構造兩個等腰三角形，確定兩個頂角的頂點，兩點所在的直線即為已知線段的垂直平分線.而知道底邊，尋找頂角的頂點，需要借助圓規截取相等的兩腰，這樣學生自然會想到線段垂直平分線的三種作法（如圖2～4）.這種思路的引導使得線段垂直平分線判定定理的發現水到渠成，學生初步形成應用意識.

2.2.2 用尺規作角平分線

如何作角的平分線呢？可以繼續引導學生從等腰三角形的三線合一性質出發，把角的頂點看作等腰三角形頂角的頂點，再構造等腰三角形，自然想到借助圓規截取相等的兩腰，連接交點，從而確定等腰三角形的底邊，同樣可以轉化為作已知線段垂直平分線的思路，再找共底邊等腰三角形的另一頂點，兩點所在的直線即為等腰三角形底邊的垂直平分線，也即為等腰三角形頂角的平分線，從而得到角平分線的三種作法（圖5～7）.這與線段垂直平分線的作法有異曲同工之妙，重點是構造等腰三角形，由此建立起知識間的聯系.

2.2.3 三角形三邊的垂直平分線

利用幾何畫板動態演示，任意三角形三邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三角形三個頂點的距離相等.銳角三角形三邊垂直平分線的交點在三角形的內部（圖8），直角三角形三邊垂直平分線的交點在三角形斜邊中點處（圖9），鈍角三角形三邊垂直平分線的交點在三角形的外部（圖10）.

繼而認識三角形的外心，即三角形外接圓的圓心.這節課重點是證明上面的結論，而結論的發現過程學生有些淡忘，利用幾何畫板動態演示不同類型三角形的特點，便于學生快速理順思路.證明的難點是如何證明三線共點，教學時引導學生先找出其中兩條線的交點，再證明這個交點也在第三條直線上，而證明點在線上自然聯想到線段垂直平分線的判定定理.同時，這也讓學生很容易發現“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個結論.

2.2.4 三角形三個內角的角平分線

利用幾何畫板動態演示任意三角形三個內角的平分線交于一點，并且這一點到三角形三邊的距離相等，以及銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三條角平分線的交點均在三角形內部的發現過程（圖11～13），繼而認識三角形的內心，即三角形內切圓的圓心.學生感受到內切圓是從三角形中剪出的最大圓，如果設內切圓半徑為r，則S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP+S_△BCP=1/2AB5r+1/2AC·r+1/2BC·r=1/2C_△ABCr，從而又得到了三角形面積、周長與內切圓半徑的關系.

2.3 等邊三角形“三線合一”性質的應用

“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.”這個定理的證明需要構造等邊三角形，利用等腰三角形的三線合一性質，那為什么構造，怎樣構造，怎樣想出這樣構造，由此尋找思維的觸發點.等邊三角形是特殊的等腰三角形，也滿足三線合一的性質，通過課本中“做一做”引導學生用兩個含30°角的全等的三角尺，試著拼一個等邊三角形，再觀察邊、角有怎樣的特殊關系.有了前面的觀察鋪墊，再證明定理時，自然想到構造等邊三角形.兩種思路：一是延長30°所對的直角邊使它等于斜邊，利用有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；二是延長30°所對的直角邊，延長相同的長度，利用線段垂直平分線的性質定理證明.

2.4 線段垂直平分線判定定理的證明

線段垂直平分線的判定定理由等腰三角形的三線合一性質很容易發現，那如何證明呢？首先引導學生思考怎樣證明點在已知直線上：過點作另一條直線，然后證明這兩條直線重合.若點到線段兩端點距離相等則點在線段的垂直平分線上，轉化一下，相當于證明等腰三角形的頂點在底邊的垂直平分線上，即頂點在等腰三角形底邊的中線上且在底邊的高上，由此聯想等腰三角形三線合一的性質，可以作三線中的一線.有三種思路，可以先作底邊上的高再證明其也是底邊的中線，也可以先作底邊的中線再證明其也是底邊上的高，還可以作頂角平分線，證明其既是底邊的中線也是底邊上的高，哪種思路更加簡潔呢，由此培養學生最優化思維.

2.5 建立知識體系

建立的知識體系結構如圖14所示.

3 拓展延伸，回歸生活

3.1 將軍飲馬問題

如圖，一輛汽車在直線型公路l上由西向東行駛，M，N代表兩個小區.（1）若M，N兩小區在公路l的兩側（圖15），當汽車行駛到哪個位置時，汽車到小區M，N的距離相等？（2）若M，N兩小區在公路l的同側（圖16），當汽車行駛到哪個位置時，汽車到小區M，N的距離之和最??？

3.2 角平分儀問題

圖17

如圖17，角平分儀是一種角平線繪圖儀，它有一把中間有一條通透橫槽的直尺，有4條連桿用銷軸鉸接構成內角可調的菱形框架，菱形框架的一個鉸接點銷軸固定在直尺上對應橫槽的一端處，對角頂點處的銷軸下端插在直尺的橫槽中，其上端有一個推拉鈕.連桿的中間有指向鉸接點中心的直刻線.用這種工具，一次畫圖就可作出角平分線或線段垂直平分線，你能說說其中的道理嗎？

3.3 角平分線問題

如圖18，小剛同學發現，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線，一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA，并且與第一把直尺交于點P，小剛說：“射線OP就是∠AOB的平分線”.他這樣說的依據是什么？

4 舉一反三，聚焦模型

（1）如圖19，在△ABC中，AB=AC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，①AD平分∠BAC，②BD=CD，③BE=FC，④DE=DF，請在四個條件中任選一個條件，證明其他三個結論成立.

（2）①在△ABC中，AB=AC，O在BC邊上，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.

②在△ABC中，AB=AC，O是△ABC外一點，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.

（3）已知點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC.

①若點O在BC上，求證：AB=AC；

②如圖20，若點O在△ABC內部，求證：AB=AC；

③如果點O在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？請畫圖說明.

5 進一步思考

5.1 搭建思維的腳手架

在數學學習當中，最為重要的一部分就是培育學生的數學思維，當學生擁有良好的數學思維后，往往能夠更好地運用自己的知識儲備進行有效的遷移，解決練習過程中的問題[1].思維的起點決定了過程的終點，恰當的引導決定了思維的方向，思維的積淀決定了學生的發展潛力.在用尺規作角的角平分線、線段的垂直平分線教學中，教師往往習慣于按照教材講授第一種（圖2、圖5）作法，讓學生掌握即可，卻在學生知道怎么做后很少引領學生思考為什這么做，是怎么想到的，還可以怎么做，缺少對學生思維的恰當引導，導致學生只知其然而不知其所以然，不利于學生創新思維、探究意識的培養.因此，教學時要為學生提供思維發展的平臺和空間，通過適切的啟發引導，讓學生親自體驗，親自嘗試，相互交流，進行思維碰撞，培養獨立思考能力，鍛煉邏輯思維，拓寬思維的深度和廣度.利用一題多解，引導學生從不同角度思考問題，培養最優化思維.利用一題多變，對題目進行升華、延伸、拓展，培養學生的探究意識和質疑精神.借助抽象模型，聯想化歸，培養學生思維的靈活性，讓學生隨機應變，觸類旁通.讓學生面對問題時根據關鍵信息，激發聯想，快速產生“靈感”，提高解題效率，培養學生的直覺思維.

5.2 呈現思維的可視化

恰當使用信息化工具使抽象思維形象化與動態化.通過視覺，感官等多重刺激，培養學生空間觀念、幾何思維，激發學生的探究欲望.如利用幾何畫板、微視頻、思維導圖等清晰立體地呈現知識，讓思維可視化.三角形三邊的垂直平分線及三個內角的平分線，根據三角形形狀的變化逐漸發生變化，借助幾何畫板動態呈現，準確直觀，便于學生觀察特點，總結規律，提高效率.

5.3 建構思維的知識網

數學知識本身具有抽象性和高度的相關性，用嚴密的思維架構起完善的知識體系，教師恰當的啟發引導，為學生提供思維的腳手架，挖掘知識間的關聯，使思維條理化、系統化，有利于學生自己去嘗試、去發現、去探究、去建構、去生成，尋找知識間的內在聯系，形成知識網絡，總結規律，強化思維.抓住解題的關鍵點，遇到問題，能夠快速實現知識間的遷移，提高學生學習能力及創新思維.教師要帶領學生經歷解決問題的全過程，促使學生的思維從表層走向深刻、從零散走向系統，最終學會思考，提高分析問題、解決問題的能力[2].

5.4 助力思維的生活化

數學思維更像是一種思維方式的綜合體，是將所學的數學知識在腦中轉化成數學符號，在遇到實際問題時又能夠根據具體問題，將儲存在腦海中的數學符號轉化成解決問題的方法，并用語言加以描述，從而達到解決問題的目的.這個轉化的過程要經過長期的引導和訓練才能夠順利完成，而這種思維方式一旦形成，對于學生未來發展的意義將是深遠和積極的[3].因此，數學素材要貼近學生的生活實際，堅持啟發性、生活性、趣味性、發展性原則，豐富學生思維實踐體驗，讓學生面對問題時能夠用數學的觀點去思考和解決問題，勤于觀察，善于發現，敢于質疑，勇于探索，養成從數學的角度去分析問題的習慣，形成數學思維慣性，培養學生的“三會”素養，為學生終生發展奠基.

參考文獻：

[1]連元坤.初中數學教學中學生數學思維的培養——以人教版“三角形的穩定性”的教學為例[J].數學教學通訊，2021（26）：47-48.

[2]韓麗英.中學數學課堂教學中數學思維培養的缺失與對策[J].教育理論與實踐，2022（32）：50-52.

[3]張祖森.初中學生數學思維能力的培養策略[J].教育界，2021（31）：58-59.