高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中學(xué)生高階思維能力的培養(yǎng)

摘 要：本文以恒成立求參數(shù)問題作為切入點(diǎn)，針對(duì)學(xué)生在解題過程中的高階思維能力培養(yǎng)路徑進(jìn)行了詳細(xì)探究，旨在為相關(guān)學(xué)者提供借鑒與參考，不斷提升高中生的高階思維能力.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；高階思維；恒成立求參數(shù)

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）21-0033-03

高階思維是人類思維的高級(jí)形式，也是一種高水平的認(rèn)知基礎(chǔ).而在傳統(tǒng)的“教師講、學(xué)生聽”模式下，學(xué)生的思維活動(dòng)始終停留在淺層階段，難以激活其高階思維，無法滿足新課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求.鑒于此，高中數(shù)學(xué)教師必須聚焦新課程標(biāo)準(zhǔn)下的要求，以解題教學(xué)作為主要載體，使學(xué)生在針對(duì)性訓(xùn)練中，激活高階思維、促進(jìn)高階思維的形成與發(fā)展.

1 解題教學(xué)促進(jìn)高階思維發(fā)展

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成，解題過程也是思維發(fā)展過程.鑒于此，為了徹底激活學(xué)生的高階思維，教師不僅要重視解題教學(xué)，還應(yīng)精心選擇針對(duì)性的題目，使學(xué)生在典型的例題和針對(duì)性的解題訓(xùn)練中，得到高階思維的發(fā)展.

1.1 開放式解題，激活高階思維

在培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力時(shí)，必須打破“教師講，學(xué)生聽”的解題模式，要給學(xué)生營(yíng)造一個(gè)開放性的解題課堂，使得學(xué)生在主動(dòng)思考、交流與探究中，發(fā)展高階思維.

例如，已知x≥1時(shí)，xlnxx+1≤m（x-1）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析 學(xué)生圍繞問題進(jìn)行思考，各抒己見，最終形成自己的解題思路.在這種教學(xué)思路下，教師的引導(dǎo)和補(bǔ)充，形成了最為常規(guī)的解題策略：

方法一：

設(shè)f（x）=xlnxx+1-m（x-1），則f（x）≤0對(duì)x≥1恒成立，且f ′（x）=x+lnx+1（x+1）2-m.令g（x）=x+lnx+1（x+1）2，則有g(shù)（1）=12，又因?yàn)間′（x）=-x2-2xlnx+1x（x+1）3lt;0，因此g（x）為遞減函數(shù)，所以g（x）∈（0，12］.

當(dāng)m≥12時(shí)，f ′（x）≤0，則f（x）遞減，又f（1）=0，所以f（x）≤0，因此m≥12；

當(dāng)0＜m＜12時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，存在唯一x0∈（1，+∞），使得f ′（x0）=0；根據(jù)g（x）為遞減函數(shù)及f ′（x）=x+lnx+1（x+1）2-m=g（x）-m知，f ′（x）為減函數(shù)，故當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，f ′（x）gt;0，所以f（x）在（1，x0）上遞增，從而f（x）gt;f（1）=0，與f（x）≤0不符，因此0＜m＜12不合題意，舍去.綜上得知m≥12.

教師持續(xù)引導(dǎo)學(xué)生從構(gòu)造函數(shù)的角度出發(fā)，尋求新的解題思路.隨即，學(xué)生從構(gòu)造函數(shù)的角度出發(fā)，又提出了兩種不同的解題思路：

方法二：xlnxx+1≤m（x-1）xlnx≤m（x2-1），令h（x）=xlnx-m（x2-1），

則h（x）≤0對(duì)x≥1恒成立且h′（x）=lnx+1-2mx=x（lnx+1x-2m）.

設(shè)g（x）=lnx+1x，g′（x）=-lnxx2≤0，因此，g（x）在1，+∞上遞減，所以g（x）∈0，1.

當(dāng)2m≥1時(shí)，h′（x）≤0，因此，h（x）在1，+∞單調(diào)遞減，又h（1）=0，所以h（x）≤0；當(dāng)2m≤0時(shí)，h′（x）≥0，因此，h（x）在1，+∞單調(diào)遞增，h（1）=0，所以h（x）≥0.

當(dāng)0＜2m＜1時(shí)，h′（x）在1，+∞存在唯一零點(diǎn)，設(shè)h′（x0）=0.當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，h′（x）gt;0，因此h（x）在［1，x0）上單調(diào)遞減.所以x∈（1，x0）時(shí)，h（x）＞0.綜上得出m≥12.

方法三：xlnxx+1≤m（x-1）xlnx≤m（x2-1），令h（x）=xlnx-m（x2-1），h′（x）=lnx+1-2mx.因?yàn)閔（1）=0，h′（1）=1-2m，h″（x）=1x-2m，令h′（x）=0，x=12m.

當(dāng)12m≤1時(shí)，即m≥12，則有h″（x）≤0，則h′（x）在1，+∞上單調(diào)遞減，h′（x）≤h′（1），h′（1）≤0.因此h（x）遞減，即h（x）≤0，即m≥12.

當(dāng)12m＞1時(shí)，即0＜m＜12，h′（x）在（1，12m）上遞增，所以h′（x）＞h′（1），h′（1）＞0，即h（x）＞0，所以0＜m＜12不合題意，應(yīng)舍去.綜上所述，m≥12.

針對(duì)上述構(gòu)造法在解題中需要對(duì)函數(shù)參數(shù)進(jìn)行討論的現(xiàn)象，教師要引領(lǐng)學(xué)生思考：如何將這一步驟省去？在這一問題的引領(lǐng)下，學(xué)生再次思考，從新的角度展開了探究：

當(dāng)x=1時(shí)，m∈R；

當(dāng)x＞1時(shí)，m≥xlnxx2-1.令g（x）=xlnxx2-1，則g′（x）=x2（1-lnx）-lnx-1（x2-1）2≤0，即g（x）在1，+∞上遞減，所以m≥limx→1xlnxx2-1，而limx→1xlnxx2-1=limx→1lnx+12x，因此m≥12.

如此一來，學(xué)生在開放性的解題課堂中，通過教師的引導(dǎo)、自主思考與探究，在不同角度的解題探究中，得到了高階思維的發(fā)展[1].

1.2 融入數(shù)學(xué)思想，發(fā)展高階思維

數(shù)學(xué)思想是基于數(shù)學(xué)公理、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式的概括與抽象，不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)，也是數(shù)學(xué)思維的集中體現(xiàn).鑒于此，教師在開展“恒成立求參數(shù)”解題教學(xué)時(shí)，還應(yīng)以數(shù)學(xué)思想作為切入點(diǎn)，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)下，得到高階思維的發(fā)展.

例 若不等式（x+1）ln（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍？

分析 在這一典型的“恒成立求參數(shù)”的數(shù)學(xué)問題中，教師培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力時(shí)，深挖本題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，使得學(xué)生在解題中感悟數(shù)學(xué)思想，并在數(shù)學(xué)思想的輔助下，促進(jìn)高階思維能力的發(fā)展.在具體的解題教學(xué)中，首先融入轉(zhuǎn)化思想，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目中的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax2-2ax，將原本的不等式轉(zhuǎn)化成為含參數(shù)的函數(shù)最值問題.接著，引領(lǐng)學(xué)生結(jié)合函數(shù)知識(shí)，融入分類討論的思想進(jìn)行解答.

1.3 變式訓(xùn)練，促進(jìn)高階思維發(fā)展

鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，促進(jìn)高階思維的學(xué)習(xí)并非“題海戰(zhàn)術(shù)”，而是圍繞數(shù)學(xué)概念、公式與定理、基礎(chǔ)知識(shí)等開展變式訓(xùn)練，以便于學(xué)生在變式訓(xùn)練中，強(qiáng)化核心知識(shí)點(diǎn)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵和外延，最終在分析問題、解決問題中，促進(jìn)高階思維的發(fā)展.

例如，已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+1，對(duì)于任意x，都

有f（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

在針對(duì)這一“恒成立其參數(shù)”的數(shù)學(xué)問題中，教師在培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力時(shí)，基于變式訓(xùn)練的內(nèi)涵，為學(xué)生設(shè)計(jì)了一系列的變式訓(xùn)練.

變式1 已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+1，對(duì)于任意x∈1，2，都有f（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

變式2 已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+1，對(duì)于任意x∈1，2，都有f（x）≤0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

變式3 已知函數(shù)f（x）=x2-2ax-a2，對(duì)于任意x∈1，2，都有f（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

變式4 已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+1，對(duì)于任意x∈1，2，都存在f（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

變式5 已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+1，g（x）=2ax，其中a＞0，x≠0.若對(duì)于任意x1∈1，2，x2∈2，4，都存在f（x1）＞g（x2）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

2 基于解題教學(xué)促進(jìn)高階思維發(fā)展的教學(xué)啟示

新課程標(biāo)準(zhǔn)視域下，解題教學(xué)不再局限于將問題解答出來，而是以問題作為切入點(diǎn)，使學(xué)生在問題分析、問題解決的過程中，促進(jìn)高階思維的發(fā)展，并獲得綜合能力的提升.因此，高中數(shù)學(xué)教師必須及時(shí)更新教學(xué)觀念，并從以下幾個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)和完善.

首先，抓住課堂主陣地，優(yōu)化解題教學(xué)過程.教師在優(yōu)化解題教學(xué)時(shí)，要及時(shí)轉(zhuǎn)變直接灌輸?shù)慕忸}教學(xué)模式，

精心篩選針對(duì)性的題目，為學(xué)生打造一個(gè)開放式的課堂，使學(xué)生結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過思考、交流與探究，最終從不同的維度完成知識(shí)的探索.

其次，融入數(shù)學(xué)思想.高中數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)學(xué)生高階思維時(shí)，要轉(zhuǎn)變“只見知識(shí)不見思想”的教學(xué)模式，充分利用解題這一環(huán)節(jié)，將數(shù)學(xué)思想科學(xué)、合理地滲透其中，使學(xué)生在解題中內(nèi)化數(shù)學(xué)思想，并在數(shù)學(xué)思想的輔助下，更好地分析問題、探究問題，最終獲得高階思維品質(zhì)的發(fā)展.

最后，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.教師要改變傳統(tǒng)的就題論題現(xiàn)象，帶領(lǐng)學(xué)生開展一題多解訓(xùn)練或者變式訓(xùn)練，使學(xué)生在訓(xùn)練中，逐漸克服傳統(tǒng)思維的狹隘性.另外，在強(qiáng)化學(xué)生發(fā)散性思維時(shí)，還應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生的聯(lián)想思維，引領(lǐng)學(xué)生從類比的角度進(jìn)行思考[2].

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，教師應(yīng)充分發(fā)揮解題教學(xué)這一載體，對(duì)傳統(tǒng)解題教學(xué)模式進(jìn)行完善和修改，使學(xué)生在開放性的解題環(huán)境、數(shù)學(xué)思想的輔助下、一題多變的訓(xùn)練中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化和高階思維的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：［1］" 舒華瑛.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中學(xué)生高階思維能力的培養(yǎng)：以恒成立求參數(shù)問題為例[J].延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，35（05）：205-209，214.

[2] 王躍梅.高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題方法探究[J].新智慧，2018（34）：16.

［責(zé)任編輯：李 璟］