高中數學解題教學中變式訓練的重要性思索

摘 要：隨著高中數學教育的深入發展，如何提高學生的解題能力、培養學生的數學素養成為教師關注的焦點.變式訓練通過改變題目的條件、結論或形式，使學生在解決不同問題的過程中，深入理解數學概念、掌握解題技巧，進而提升學生的數學素養和解題能力.

關鍵詞：高中數學；解題教學；變式訓練

中圖分類號：G632

文獻標識碼：A

文章編號：1008-0333（2024）30-0026-03

收稿日期：2024-07-25

作者簡介：穆振菊（1986.11—），女，山東省莒縣人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

高中數學解題教學中，變式訓練作為一種有效的教學策略，其重要性不容忽視.通過實施變式訓練，學生能夠在多樣化的題目中掌握數學規律，提升數學學習的深度和廣度.同時，變式訓練也促進了教師教學理念和方法的創新，推動了高中數學教學的改革發展.

1 高中數學解題教學中變式訓練的重要意義

首先，變式訓練有助于減少不必要的習題練習.在傳統的解題教學中，學生往往需要進行大量的重復性練習，這不僅浪費時間和精力，還可能使學生產生厭倦情緒.而變式訓練通過變換題目的形式、條件和結論，使學生在有限的練習中接觸到更多的題型和解題思路，從而達到事半功倍的效果.通過變式訓練，學生可以在更少的練習中掌握更多知識和技巧，提高學習效率.

其次，變式訓練能有效提高課堂學習效率.通過變式訓練，教師可以針對學生的實際情況和教學目標，設計具有針對性的題目，使課堂教學更加高效.同時，學生在解題過程中需要積極思考和探索，這也有助于提高學生的課堂參與度，使課堂氛圍更加活躍.通過有效的變式訓練，教師可以更好地掌控課堂節奏，確保學生在有限的時間內獲得最大的學習收益.

最后，變式訓練有利于培養學生舉一反三意識.通過變式訓練，學生可以學會從多個角度審視問題，尋找問題的本質和規律，從而培養靈活的思維方式和解決問題的能力.這種意識不僅有助于學生在數學學習中取得更好的成績，還能為學生未來的學習和生活打下堅實的基礎.

2 高中數學解題教學中變式訓練的應用

2.1 一題多問

一題多問能夠幫助學生全面理解題目背后的數學概念和原理.通過不斷變換問題的形式和角度，教師可以引導學生逐步深入到問題本質，發現其中的規律和聯系.學生不僅能夠掌握解題方法，還能夠理解數學概念的內涵和外延，形成系統的數學知識體系^［1］.

例1 已知函數f（x）=sinx+cosx，求f（x）的最大值.

首先，直接求解原題，將函數轉化為2sin（x+π4）的形式，利用正弦函數的性質得出最大值為2.

接著，對原題進行變形，提出新的問題.可以問：“若函數g（x）=sinx-cosx，求g（x）的最大值”.這個問題與原題類似，但是函數形式稍有變化，學生需要運用相同的三角函數變換技巧，將g（x）轉化為2sin（x-π4），然后求解最大值.

進一步，可以提出更具挑戰性的問題“若函數h（x）=asinx+bcosx（其中a，b是常數），求h（x）的最大值”.這個問題需要學生將之前的知識推廣到一般情況，利用輔助角公式將h（x）轉化為a²+b²sin（x+θ）的形式，其中θ為輔助角，然后求解最大值.

2.2 一題多解

通過一題多解的變式訓練，學生可以體驗到數學問題的多樣性和復雜性，學會從多個角度審視問題，尋找問題的本質和規律.這種訓練不僅有助于提高學生的解題能力，還能培養學生的邏輯思維、創新思維和批判性思維.

例2 已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（1，0）和（0，-3），且對稱軸為直線x=-1，求該二次函數的解析式.

解法1 利用已知點代入法.

因為函數圖象經過點（1，0）和（0，-3），所以將這兩個點的坐標代入函數表達式，得a+b+c=0，

c=-3.

又因為對稱軸為直線x=-1，所以-b2a=-1，聯立以上三個方程可得：a=1，b=2，c=-3.

所以二次函數解析式為f（x）=x²+2x-3.

解法2 利用頂點式.

由于對稱軸為直線x=-1，可以設二次函數的頂點式為f（x）=a（x+1）²+k，又因為函數經過點（1，0）和（0，-3），分別代入可得4a+k=0，

a+k=-3.

解得a=1，k=-4.

所以二次函數的解析式為f（x）=（x+1）²-4.

展開后得到f（x）=x²+2x-3.

2.3 一題多變

一題多變要求教師對題目進行精心挑選和設計，確保題目具有足夠的深度和廣度.通過改變題目的條件、結論或形式，引導學生從不同角度和層面去分析和解決問題，從而深化對數學概念的理解，提高解題的靈活性和創新思維^［2］.

例3 求函數f（x）=x²-4x+3的最小值.

變式1 求函數f（x）=ax²-4x+3（a＞0）的最小值.

變式1引入了參數a，學生需要考慮a對函數最小值的影響，并分類討論a的不同取值情況.

變式2 求函數f（x）=x²-4x+3在區間［0，5］上的最小值.

變式2引入了區間限制，學生需要考慮函數在特定區間上的性質，并找出區間內的最小值點.

變式3 已知函數f（x）=x²-4x+3，若存在實數t，使得對于所有x∈［1，m］都有f（x+t）≤f（x）成立，求實數m的取值范圍.

變式3將問題提升到了一個新的層次，學生需要理解函數平移的性質，并找出滿足條件的m的取值范圍.

2.4 多題歸一

這種教學方法旨在引導學生對多個題目進行歸納和總結，找出這些題目之間的共同點和規律，從而深化其對數學概念的理解，提高解題的效率和準確性.可以選取以下幾個題目進行多題歸一的訓練.

例4 已知等差數列a_n的前n項和為S_n，若a₁=1，a₄=7，求S₇.

例5 已知等比數列b_n的前n項積為T_n，若b₁=2，b₄=8，求T₅.

例6 已知等差數列c_n和等比數列d_n的首項均為1，且公差和公比均為2，求{c_n+d_n}的前n項和.

在解答這些題目的過程中，教師可以引導學生關注以下幾點：首先，對于等差數列和等比數列的前n項和或積，需要掌握其基本的計算公式和性質，這些公式和性質是解決這類問題的關鍵.其次，需要善于利用題目中給出的條件求解未知數.例如，在例4和例5中，可以利用給出的項求出公差或公比，進而求出前n項和或積.最后，對于例6這種涉及兩種數列的問題，則需將兩種數列的性質和計算方法結合起來，靈活運用所學知識來求解.

3 解題教學中應用變式訓練的保障措施

3.1 教師培訓與材料準備

首先，教師培訓至關重要.教師應深入理解變式訓練的理論與實踐，掌握引導學生進行深入數學思考的方法.學校可組織培訓講座、研討會或工作坊，邀請數學教育專家進行講授和指導，分享成功的教學案例.同時，教師需提高自身的數學素養和解題能力，以應對可能遇到的問題.其次，材料準備同樣關鍵.教學材料應涵蓋多種題型和解法，注重層次性和梯度性，引導學生逐步深入探索數學問題.教師需準備教學課件、習題集、答案解析等輔助材料，為學生提供必要幫助.學校可建立教學資源庫，收集和整理優質教學材料，鼓勵教師自制材料并分享交流，提高材料質量.

3.2 教學環境與資源建設

優質的教學環境能夠為學生提供良好的學習氛圍和條件，有助于學生更好地投入到數學解題中.因此，學校應加大對教學環境的投入，改善教室設施，提供寬敞明亮、設備齊全的學習空間.同時，還應注重校園文化建設，營造積極向上、富有創新精神的學術氛圍，激發學生的學習熱情和創造力.教學資源建設是保障變式訓練有效實施的重要基礎.豐富的教學資源能夠為教師提供更多的教學選擇和手段，有助于教師更好地設計和實施變式訓練.學校應積極建設數學教學資源庫，收集和整理各類數學題目、解題方法和教學案例，為教師提供便捷的資源獲取途徑.此外，還應加強與相關機構和企業的合作，引進先進的數學教學技術和工具，提升教學水平和效果.

3.3 教學策略與方法創新

傳統的教學策略已經無法滿足現代教育的需求，因此，教師應轉變教學思維，以引導學生主動學習為核心，采用合作學習、問題導向學習等教學策略.這些策略能夠激發學生的學習興趣，培養學生獨立思考和解決問題的能力，使其在變式訓練中更加積極主動.教學方法的創新也是必要的，在變式訓練中，教師可以引入多元化教學方法，如利用信息技術手段進行輔助教學，通過數學軟件、在線平臺等工具，讓學生在實踐中學習和探索數學問題.同時，教師還可以采用案例分析、討論式教學等方式，引導學生從實際問題出發，進行數學建模和求解，提高學生的數學應用能力和問題解決能力.

此外，教學策略與方法的創新還需要與變式訓練的具體內容相結合.教師應根據題目的特點和學生的實際情況，靈活選擇和應用不同的教學策略和方法.例如，對于一些具有挑戰性的問題，可以采用合作學習的方式，讓學生共同討論和探究；對于一些需要深入理解的概念和原理，可以采用問題導向學習的方式，引導學生通過解決問題來掌握知識.

3.4 建立評價與反饋機制

建立科學的評價體系應涵蓋學生在變式訓練中的表現，包括解題速度、正確率、思路創新等方面.通過定期測試、課堂觀察、作業分析等方式，全面收集學生的解題數據，為評價提供客觀依據.同時，評價標準應明確、具體，以便學生能夠清楚地了解自己的學習狀況，從而有針對性地改進.

及時有效的反饋機制可以令教師對學生的解題過程進行細致分析，發現其中的優點和不足，并給出具體的反饋意見.對于表現優秀的學生，應予以肯定和鼓勵，激發其進一步探索數學的興趣和動力；對于存在問題的學生，應指出其問題所在，并提供相應的改進建議.此外，教師還可以組織學生進行自我評價和互評，促進學生之間的交流和合作，共同提高解題能力.

4 結束語

通過對高中數學解題教學中變式訓練重要性的探討不難發現，變式訓練不僅能夠幫助學生掌握數學基本概念和原理，還能夠培養學生的邏輯思維能力和創新能力.同時，變式訓練也促進了教師教學理念和方法的創新，推動了高中數學教學改革發展.因此，應當充分重視變式訓練在高中數學解題教學中的應用，積極探索其實踐策略和方法，為培養具有高素質的數學人才貢獻力量.

參考文獻：

［1］ 羅亮.高中數學解題教學中學生反思能力的培養策略探究［J］.數理化解題研究，2023（15）：50-52.

［2］ 冉正強.高中數學解題教學變式訓練的應用策略探析［J］.數學學習與研究，2022（26）：113-115.

［責任編輯：李 璟］