探究有關“隙積術”的高中數學文化題

【摘要】北宋的數學家沈括博學多才、善于觀察.他想堆積的酒壇、棋子等雖然看起來像實體，但中間是有空隙的，應該把它們看成離散的量.經過反復嘗試，沈括提出對于上底有ab個，下底有cd個，共n層的堆積物，可以用公式S=n［（2b+d）a+（2d+b）c］6+n6（c－a）求出物體的總數，這就是所謂的“隙積術”.以“隙積術”為情境的數學文化題，大多考查數列的通項和前n項和，涉及數列模型，解題時應認真審題，從問題背景中提取相關信息并分析歸納，然后構造恰當的數列模型，再利用數列的知識解答，最后對實際問題作出解釋，必要時進行檢驗.

【關鍵詞】數學文化；長方棱臺形堆垛；高中數學

1引言

“隙積術”是中華傳統文化中很好的素材，將數學文化與高中數學知識有機結合，有效考查學生的閱讀理解能力、抽象概括能力、轉化與化歸能力，既體現了對數學應用性的考查，也體現了我國數學文化的源遠流長.

2“隙積術”與高中數學文化的結合

“隙積術”作為中國古代數學的重要成就之一，其背后蘊含的數學原理與高中數學中的數列、組合數等概念緊密相連.通過引入“隙積術”的學習，學生可以更深入地理解數列的通項公式、前n項和公式，以及等差數列、高階等差數列的求和方法.這種結合不僅有助于鞏固學生的數學基礎知識，還能激發他們對數學的興趣和探索欲.“隙積術”實際上是一種數學建模的過程.沈括通過對實際問題的觀察和思考，提煉出數學模型（即“隙積術”公式），用以解決堆垛物體的計數問題.這種從實際問題出發，抽象出數學模型并求解的過程，正是高中數學教學中強調的數學建模能力.通過“隙積術”的學習，學生可以學會如何將實際問題轉化為數學問題，并運用數學知識和方法進行求解.該公式的提出和應用，展現了沈括卓越的數學思維方式和創新精神.他能夠從看似簡單的堆垛問題中，發現并提出新的數學方法和公式，這種思維方式對于培養學生的數學素養和創新能力具有重要意義.通過“隙積術”的學習，學生可學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考問題，從而拓展他們的數學視野和思維方式.

3解題策略與技巧

3.1審題與信息提取

在解題過程中，審題與信息提取是至關重要的一步，尤其是對于涉及“隙積術”這類具有實際背景的數學問題.首先，要仔細閱讀題目，理解題目的背景和情境.對于“隙積術”問題，需要明確堆積物的形狀、層數、上下底的尺寸等信息.這些信息是構建數學模型和進行后續計算的基礎.其次，準確提取題目中關鍵數據.這些數據可能包括堆積物的具體尺寸（如長、寬、高）、層數、物體的數量等.在提取數據時，要注意數據的單位和精度，確保計算的準確性.在提取信息的過程中，可以借助圖表、示意圖等輔助工具理解題目.這些工具可以直觀地展示堆積物的形狀和層數，有助于更準確地提取信息.最后，對所提取的信息進行整理和歸納.將相關的信息按照一定的順序和邏輯進行排列，形成清晰的思路.這樣有助于在后續的計算和推理過程中快速準確地找到所需的信息.

3.2數列知識的運用

在運用“隙積術”解題時，數列知識的運用是關鍵.首先，需要識別題目中的數列類型.在“隙積術”問題中，通常會涉及等差數列或高階等差數列.等差數列是指每一項與它的前一項的差等于同一個常數的一種數列，而高階等差數列則是指數列的相鄰兩項之差構成等差數列.識別出數列類型后，就可以選擇相應的數列公式進行計算.其次，熟練掌握數列通項公式和前n項和公式.通項公式用于求出數列中任意一項的值，而前n項和公式則用于求出數列中前n項的和.在“隙積術”問題中，通常需要利用這些公式來計算堆積物中每一層的物體數量或總體數量.再次，對于復雜“隙積術”問題，可能需要運用數列的求和技巧或進行數列的變換.例如，可以利用分組求和法、裂項相消法、錯位相減法等技巧來簡化計算過程.同時，也可以通過數列的變換，如求差數列、求和數列等，找到更簡潔的解題方法.最后，進行結果驗證和檢查.在計算出結果后，要檢查計算過程是否符合題目要求，結果是否合理.如果發現問題，要及時進行修正和調整.

3.3模型構建與檢驗

在運用“隙積術”解題的過程中，模型構建與檢驗是確保解題正確性的重要環節.模型構建是解題的首要步驟.在“隙積術”問題中，模型通常指的是根據題目描述和數列知識所建立的數學表達式或等式.構建模型時，需要準確理解題目中的情境，明確堆積物的形狀、層數、尺寸等關鍵信息，并運用數列知識將這些信息轉化為數學語言.模型應該能夠準確地反映題目中的實際情況，為后續的計算和分析提供基礎.在構建模型后，需要進行模型的檢驗.檢驗的目的是確保模型的正確性和適用性.這包括檢查模型是否符合題目要求，是否能夠準確地計算出堆積物的數量或體積，以及模型在實際應用中是否可行.檢驗的方法可以是通過代入具體數值進行計算，或者與實際情況進行對比和分析.在進行模型檢驗時，需要注意以下幾點：首先，要確保代入的數值是準確的，避免由于數值錯誤導致的計算偏差；其次，要仔細檢查計算過程，確保每一步都符合數學運算規則；最后，要對計算結果進行合理的解釋和分析，確保結果符合實際情況和題目要求.如果在檢驗過程中發現模型存在問題，需要及時進行修正和調整.這可能包括修改模型中的數學表達式、調整參數值，或者重新選擇適當的數列公式等.修正后的模型需要重新進行檢驗，確保問題得到解決.

4常用“隙積術”公式：長方棱臺體積公式

5有關“隙積術”的數學文化題

6結語

通過對“隙積術”的研究，很好地讓數學文化進入高中數學課堂，有助于將數學教育中的人文和科學性相融合，讓數學課堂變得豐富多彩，有效激發學生數學學習興趣，培養數學邏輯思維能力，同時又增強文化自信.

參考文獻：

[1]張偉.沈括“隙積術”的數學思想創新[J].廣東化工，2015，42（13）：297+303.

[2]羅見今.沈括《夢溪筆談》中計數成就探析[J].咸陽師范學院學報，2017，32（04）：1-6.