常微分方程核心課程教學改革

摘" 要：常微分方程課程是數學類專業基礎課中的一門核心課程，也是數學分析、高等代數和解析幾何的后繼課程。在學生構建專業的數學理論體系過程中具有非常重要的作用。該文基于河南大學數學與統計學院分設的四個專業各自的不同特點，從課程教學目標、教學方法與學生學習能力提升等方面提出關于常微分方程課程分類、分層等教學模式改革，充分發揮教學團隊的優勢，借助在線教學平臺，最大可能實現以學生為主體的教學模式，構建新的評價體系，在合適的節點融入思政元素，加強課程思政引領。力爭通過改革實現更加適應當今教育理念和更加符合學生時代特征的教學模式。

關鍵詞：常微分方程;核心課程;分類教學;分層教學;團隊教學

中圖分類號：G642" " " 文獻標志碼：A" " " " " 文章編號：2096-000X（2025）05-0128-04

Abstract： The course Ordinary Differential Equations is a core course in the basic courses of mathematics majors， and it is also a successor course to Mathematical Analysis， Advanced Algebra， and Analytical Geometry. It plays a very important role in the process of students building a professional mathematical theoretical system. This paper based on the different characteristics of the four majors set up by the School of Mathematics and Statistics of Henan University. From the aspects of course teaching objectives， teaching methods， and students' learning ability improvement， this paper proposes reforms in teaching models such as classification and stratification of ordinary differential equations courses， fully leveraging the advantages of teaching teams， and utilizing online teaching platforms to achieve a student-centered teaching model as much as possible， and constructing a new evaluation system， integrating ideological and political elements at appropriate nodes to strengthen the guidance of ideological and political education in the curriculum. The study strives to achieve a teaching model that is more suitable for today's educational concepts and more in line with the characteristics of the student era through reform.

Keywords： Ordinary Differential Equations; core curriculum; classification teaching; layered teaching; team teaching

常微分方程是數學分析、高等代數等基礎課程的后繼專業基礎必修課，同時又是偏微分方程、隨機微分方程等課程的基礎，在整個數學理論體系中起著非常重要的承上啟下作用。隨著科學的發展，數學應用的思想越來越受到重視。利用數學理論模型指導實驗學科的實踐也越來越被廣泛推廣。在每年的全國大學生數學建模競賽題目中，總有使用常微分方程模型分析問題的題目。而這些題目很多就是科學研究問題中的一部分。比如，2020年遼寧省大學生數學建模競賽的B題即為傳染病傳播問題，就是封閉系統傳染病傳播問題的研究，主要應用微分方程模型分析，而且傳染病傳播目前仍是科學研究的一個重要研究課題。鑒于常微分方程在科學研究方面的重要作用，數學相關專業的研究生復試中，常微分方程基本上都是其中的一個復試科目。

塞蒙斯曾這樣評價微分方程在數學中的地位：300年來分析是數學里首要的分支，而微分方程又是分析的天然后繼課程，又是為了解物理科學的一門最重要的數學，而且在它所產生的較深的問題中，它又是高等分析里大部分思想和理論的根源[1-2]。

常微分方程課程非常重要，其課程授課的時間也基本上安排在學生修了必要的數學分析、高等代數以及解析幾何等基礎課部分或者全部內容之后。雖然教學模式也在不斷嘗試改革，但是，隨著網絡時代的發展，以及學生接觸到爆炸性資源的環境下，如果利用好先進的網絡教學平臺，發揮學生的課堂主題能動性，體現教師的主導性，提高學生的數學素養等，還需要任課教師和任課教師團隊認真思考，查閱資料，認真準備，設計好每一堂課的教學內容。

一" 常微分方程核心課程建設要求

河南大學數學與統計學院共設置有數學與應用數學、信息與計算科學、金融數學和統計學四個專業，其中數學與應用數學專業是河南大學傳統優勢專業，2005年獲批河南大學首批名牌專業，2007年批為河南大學特色專業。另外該專業2014年單設的“明德計劃”實驗班則是為了實施大眾化背景下的精英教育，力爭將學生培養成“厚基礎、寬口徑、重素質、強能力、有特色，在數學及其交叉學科具有巨大發展潛力”的高素質復合型卓越人才。開設于2000年的信息與計算科學專業是河南省設立最早的信息與計算科學專業，2011年獲批為河南省特色專業，2019年獲批河南省一流專業建設點。信息與計算科學專業圍繞新工科建設發展戰略，以數學和信息科學為基礎進行交叉融合培養，在培養過程中的高年級階段實施分模塊教學，力爭培養掌握良好信息技術或科學計算能力的高級人才。2021年獲批國家級一流專業建設點的統計學專業也在高年級階段實施分模塊教學，分成數理統計模塊與應用統計模塊，有意識地根據學生的升學或就業意愿分別突出培養學生統計理論方法和統計軟件操作能力。金融數學專業主要培養學生利用數學建模、數值計算等定量分析研究金融市場內在規律，熟練掌握金融工程、計量經濟和保險精算等方面專業知識。

雖然每個專業都各有培養學生的要求和特點，但是都有共同的目標：主要培養學生具有良好的數學素養。作為數學大類專業，在各專業的培養方案中，分別設置以專業特點為背景而有所偏倚的核心課程（不完全列舉如圖1所示），其核心課程包括數學分析、高等代數、解析幾何、常微分方程、概率論和數理統計。前三門作為數學基礎課程的地位無可撼動，常微分方程也越來越受到重視，這與常微分方程身兼基礎理論和應用研究的雙重地位分不開。

打破以往照本宣科、只講授課本內容的傳統授課方式，加入當前學科研究最新進展中用到的常微分方程模型，通過背景介紹、方法介紹、模型建立、模型分析和問題應用，讓學生感受到理論與實際科學研究的緊密結合，提升課程內容的新穎性，提高學習內容的挑戰度，開拓學生的創新探索思維，嘗試基于一些當前應用領域的研究背景建立微分方程模型，將學科研究新進展、實踐發展新經驗、社會需求新變化納入課程，增強課程內容的“高階性”“創新性”。以學習產出為導向，明確課程對培養目標達成度的貢獻，細化課程對學生知識、能力、素質培養的教學目標與任務，開展課程教學達成度評價，并依此對課程進行持續改進。

二" 改革的重要方面

（一）" 利用線上平臺，開展線上線下混合式教學

改變傳統的單純教室上課模式，利用線上教學平臺，采用混合式新型教學模式;深化教學模式融合創新。主動適應高等教育的新形勢，在學校課程數字化建設與管理平臺建設完整課程，積極探索新形態課程建設。加強研究性、項目化、探究式和參與式教學，推廣翻轉課堂，充分運用現代化的信息技術手段，強化教學形式的先進性和互動性[3]。

在新冠病毒感染疫情的網課階段，各種在線平臺蜂擁出現。在之前的教學過程中，已經嘗試使用雨課堂、智慧教室、釘釘課堂及騰訊會議等在線平臺為學生開展過教學工作（如圖2所示），任課教師逐漸感受到線下教學與線上教學的不同以及各自的優劣。隨著在線教學平臺的逐漸完善、任課教師對線上教學平臺的使用方法熟練掌握以及學生電子產品的更新，使得發揮線上線下各自特長的融合教學更加受師生歡迎。

盡量豐富教學資源。建設和積累可以不斷更新的電子教材、授課錄像、網絡課件、案例庫、試題庫和參考資料等在線課程資源，為學生提供豐富的自主學習資源。

（二）" 團隊教學和分類教學

常微分方程課程團隊主要有6名教師，其中1名教授，5名副教授。團隊教師的研究領域包括偏微分方程、交叉學科以及生物統計等。每位教師不僅有豐富的教學經驗，而且對常微分方程的理論掌握得非常扎實，對常微分方程在各自研究領域的應用都了然于心。課程團隊結構合理，在對話訪學交流或國內外學術會議中，善于與國內外著名高校的師資開展教學交流，充分發揮團隊教師的特長，根據學生的專業特點和培養要求，分配合適的任課教師，構建分層次、分專業特長的課程團隊。

打破以往課程團隊機械分段、隨意分工的授課模式，從科學前沿、基礎理論、實踐訓練和學業拓展等環節進行合理分工，充分利用不同教師的優勢，全面提升課程質量。比如做偏微分方程方向的教師，對常微分方程在偏微分方程等更深層次的數學理論體系中的基礎和相互關聯會體會更深，更加適合對數學與應用數學專業的學生開展教學，可以從理論基礎到理論深度、理論難度方面拓展。再比如做數學交叉方向的教師，則適合對信息與計算科學、金融數學專業開展教學，以自己研究領域的最新常微分方程應用為例，開展啟發式教學，更能加深學生對應用領域和科學研究的興趣。另外，做統計相關研究方向的教師則更加適合對金融數學、統計學等專業的學生開展教學，將分析確定性問題的常微分方程理論拓展到隨機微分方程理論，以及用微分方程理論開展數據分析等方面可以更加熟練的引申[4-6]。

總之，根據教師團隊每位教師的研究特點和特長，結合四個專業的不同培養要求和特點，開展分類教學，不僅適合學生的培養要求，更能讓學生在潛移默化中感知常微分方程課程在不同領域中的推廣與應用，培養學生成為創新型、應用型人才。

（三）" 分類、分層教學

本科生在校學習的態度會隨著時間變化，其學習目標也會影響學習動力。怎樣提高學生的學習動力也是教學過程中需要注意的重要方面。而學習目標主要因就業前景而發生變化。數學與統計學院的學生目標主要由三類組成：考研究生，考公務員或考教師等事業單位編制以及就業。一年級學生中大部分可能只是關注考試修學分，二年級開始會有較多的學生開始考慮今后的發展目標。教學過程中引導學生明確目標，根據學生的需求和對不同學科的不同培養目標，制定分層教學計劃。盡量改變傳統的統一考核模式，采用分類考核，豐富考核形式，建立以激發學習動力和專業志趣為著力點的評價制度，進而逐步完善課程的考核形式。通過線上、線下平臺提供開放性問題，啟發學生開創性回答，加強對學生課堂內外、線上線下學習的評價，鼓勵開展非標準答案考試，提高過程性評價在學業考核成績中的比重，激發學生學習的積極性和思維的創造性，展示學生自主學習能力。對不同目標的學生實施不同的考核方式，對不同學習能力的學生采用合理的分層考核方式[7-9]，讓學生的能力充分得到發揮，進而能夠在今后的學習和工作中實現各盡其能。

（四）" 適當的課程節點融入課程思政元素

習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上強調，“提升思想政治教育親和力和針對性，滿足學生成長發展需求和期待，其他各門課都要守好一段渠、種好責任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應”。常微分方程作為整個數學類課程體系中最重要的一塊兒“責任田”，一段承上啟下的“渠”，轉任教師不僅要用“學高為師”的深理論灌輸給學生，還要用“德高為范”的思想品德和價值觀引領學生的世界觀、價值觀和人生觀。在授課的合適節點上融入思政元素，加強課程思政引領，將思想價值引領貫穿于教學全過程，這個教學全過程不局限于常微分方程這一門課程，可以延伸拓展到前期或后繼課程[9-10]。比如常微分方程第二章中將介紹伯努利方程，自然很多同學或聽眾聽到此處都會認為“伯努利”是一個人名。確實，“伯努利”是人名，但是主要是人名中的姓氏。伯努利這個科學史上的偉大家族，是17—18世紀瑞士的一個出過多位數理科學家的家族。伯努利微分方程和概率論中的伯努利試驗、伯努利大數定律主要是由雅各布·伯努利提出，而且雅各布也被公認為是概率論的先驅之一，是世界上最早使用“積分”這個術語的人。利用伯努利家族[11]（如圖3所示）的數學故事引起學生對科學研究的興趣，進而將學科知識進行一次大串聯，并且引導學生樹立遠大理想，做敢擔當、能吃苦、肯奮斗的新時代青年。

根據課程所屬學科性質特點，結合教學內容實際，修訂教學大綱，明確思想政治教育的拓展重點，在合適的教學節點融入載體，不斷改善教學方法，不斷制作更新課件，讓內容更符合時代氣息。將價值導向與課程知識傳授相融合，在知識傳授和能力培養中，引導學生自覺弘揚和踐行社會主義核心價值觀，不斷增強“四個自信”，讓學生樹立正確的價值觀和人生觀。

三" 結束語

常微分方程在數學類專業課核心課程中起著承上啟下的重要作用，本文旨在從理論上梳理教學改革的主要方面，進而在教學過程中開展實踐工作。通過分類教學、分層教學，搭建實時更新的線上教學平臺，豐富題庫建設，充分發揮團隊的優勢，做好課程思政，對學生因材施教，真正實現“寬口徑、重素質”的學生培養模式。

參考文獻：

[1] 塞蒙斯G.F.微分方程[M].張理京，譯.北京：人民教育出版社，1981.

[2] 王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].4版.北京：高等教育出版社，2020.

[3] 袁銳.“常微分方程”課程線上線下混合式教學模式探析[J].教育教學論壇，2020（38）：248-249.

[4] 崔仁浩，劉萍.“常微分方程”課程啟發式教學初探[J].繼續教育研究，2016（3）：119-121.

[5] 李晨松.基于師范專業認證的常微分方程教學模式改革探究[J].內蒙古民族大學學報（自然科學版），2021，36（2）：171-174.

[6] 王振國.本科院校《常微分方程》課程的教學改革與實踐[J].教育理論與實踐，2015，35（21）：56-57.

[7] 吳楚升.《常微分方程》課程分層教學的實踐分析與探究[J].開封教育學院學報，2019，39（3）：112-113.

[8] 李姝敏，郭鵬云，徐國明.常微分方程課堂教學改革的探索與實踐[J].赤峰學院學報（自然科學版），2023，39（3）：88-92.

[9] 陳光霞，李鳳萍.課程思政理念在《常微分方程》教學改革中的應用[J].高等數學研究，2022，25（1）：102-104.

[10] 徐云濱.常微分方程課程中融入思政元素的探索[J].榆林學院學報，2022，32（6）：84-86，98.

[11] 卡爾·B.博耶.數學史（上）[M].北京：中央編譯出版社，2012.

基金項目：河南省高等學校重點科研項目“植物生物鐘分子調控機理的建模分析及應用”（23A110016）;河南大學本科專業核心課程提質建設項目“常微分方程”（無編號）;河南大學數學與統計學院教學質量工程提升項目“《常微分方程》國家一流課程建設”（無編號）

作者簡介：陳愛敏（1981-），女，漢族，河南南陽人，博士，副教授，碩士研究生導師。研究方向為計算系統生物學。