數學化思想與高中數學建模教學相融合的策略研究

摘"要：數學建模作為數學應用的基本途徑之一，成為我國高中數學課程改革的重點內容，最新的課程改革也對學生數學建模能力的培養提出了更高的要求，因此研究數學建模教學是很有必要的.雖然目前學者們對數學建模概念、數學建模能力、數學建模過程和數學建模教學等多個維度的理論層面研究已經比較完善，但很少有結合數學建模和數學化思想，利用數學化思想指導數學建模教學的研究，因此本文將基于弗賴登塔爾的數學化思想，對中學數學建模教學設計進行研究.

關鍵詞：數學化思想；數學建模；教學設計

運用數學化思想指導數學模型構建的課程，能夠促進數學模型教學的順利進行.學生居于教學活動的主體地位，在數學模型構建的教學中，他們以真實情境為起點，透過數學的視角和方法，深究并梳理現實問題，從而對知識產生更深層的理解.這一過程有利于幫助學生把日常生活同數學實踐聯系在一起，進而推動學生綜合素養的提升和數學能力的提高.本文提出了對學生在數學建模構建時提高學習效率的策略建議.

1"基于數學化思想的數學建模教學策略

1.1"情境層次的教學策略

1.1.1"問題情境的設置要符合學生的最近發展區

問題情境的構建，既要適應學生當前的能力水平，也要貼近其潛在的“最近發展區”.在教學實踐中，教師要掌握學生目前的學習進度，并妥善協調現有能力與潛力提升之間的平衡，恰當設定挑戰性任務.教師應利用學生現階段的能力作為支撐點，構建學習支架，幫助他們達成其潛能所允許的較高水平.換言之，教師引導學生從現有知識層面向更深層面發展，促進他們的全面進步.構建的問題情境需滿足基本性、分級性和連貫性，且需符合貼近生活、系統性和激發興趣的原則.

大部分數學模型設計的題目都依托于特定的理論基礎.例如，人教B版《普通高中教科書數學必修第一冊》中的課題“數學建模活動：確定蘋果的最佳出售時間點”關聯著函數的概念；北師大版《普通高中教科書數學必修第二冊》中對于測算建筑高度融入了用三角函數去解決三角形問題的知識點.教師提供的問題情境應蘊含需要學生抽象理解的數學概念，如角度和三角形等，而且這些數學概念還要與學生需要學習掌握的知識點相關聯，以便能將學生需要學習的數學知識與當前課堂教學緊密相連，更有效地指導學生提煉出必需的數學概念，并完成情境到數學概念層面的轉換.

1.1.2"問題情境要有一定的趣味性，貼近學生現實生活

問題情境需設計得具有吸引力，能激發學生的好奇心和知識追求.教師在趣味性的基礎上構建有效的學習情境，能推動課堂教學的順利進行.［1］教學情境應緊扣學生生活實際，以學生日常生活中的體驗為起點，促使學生在學習中能融入個人的生活經驗與已掌握的知識，以便揭示問題，并在處理問題時深化對新知識的探索，進而歸納出科學的方法論，使學生深刻認識到數學與生活的密切聯系.

在數學模型構建的過程中，教師除了啟發性地提問促進學生尋找答案之外，也需要培養學生自行探索并識別問題的主動性，這種識別問題的技巧比解題技巧更為關鍵.學生需要以個人所遇到的難題為出發點，自發地挑選模型構建議題，如探討城市公共資源如何布局，或者在疫情持續時期，策劃防疫物資的配送與分派方案，并應學習如何利用網絡平臺搜集信息，由此獲得靈感以確定研究項目.

1.2"指涉層次的教學策略

1.2.1"問題簡潔，沒有歧義

在描述問題的情境之后，教師需要根據該情境提出切題的問題，并妥善安排課堂對話，以激發學生深思.提出的問題應清晰且扼要，用最直接且簡潔的語言表述要探討的問題.在提出問題時，教師應確保其有明確的針對性，防止學生對問題產生模糊的理解.例如，在描述了某個情境之后，若問學生“這里面你能看出什么”或“你能提出哪些問題”等較為籠統的問題，容易使學生不知如何回答，并可能需要繞很大的彎路才能回歸到課堂討論的核心議題上，這樣既浪費時間和精力，也可能削弱學生的積極性.

1.2.2"合理設置問題難度，對于復雜的問題設置問題鏈，引導學生思考

教師需要依據教學的具體內容適度調節提問的難易程度.過分簡單的問題不足以激發學生的思維鍛煉，使學生能夠輕松應對并迅速作出回答，難以獲得實質性的學習效果.然而，問題若是過分深奧，可能會讓學生在思考過程中遭遇障礙，從而對接觸新的知識產生厭倦與信心缺失，久而久之可能導致他們的學習熱情消退.教師需要確保每一位學生都積極投身于對問題的深入思考與探索之中，從而增強問題討論的實效性.［2］不能局限于被提問學生與教師之間簡單的互動，即只有被提問的學生在教師的引導下被動思考，而其他學生則因未被問及而持旁觀者態度，成為邊緣的存在.教師需對學生可能提出的各種答案做充分準備，哪怕是不正確的回答亦是珍貴的教學素材，應深入探究學生的思考過程并剖析答案背后的原因.

針對錯綜復雜的議題，運用問題鏈的模式，把這些難題拆分為易于學生領悟及回答的若干基礎問題.數學問題串是指一系列相互聯系，并按一定順序排列的核心問題的連續.問題串式教學法是指在教學過程中，利用這些內在邏輯性質的基本問題序列，激勵學生對數學的學習和研究，并通過此過程讓學生親歷數學知識構建與成長的整個歷程.適當構建問題序列有利于簡化錯綜復雜的問題，使學生更易于理解和吸收.

1.2.3"注重學生數學思維的訓練和數學能力的培養

教師應把握恰當時機，巧妙地提出問題以促進學生思考，善用或創造最合適的時機進行提問，力求使學生感受從無到有的過程，并鼓勵他們通過獨立思索掌握數學知識.通過明確闡釋知識形成的途徑、思維構建的路徑、研究嘗試的步驟以及偏誤修正的方法，來確保學生有著鮮明的認知影響.教學過程中引入開放式、程序性的提問，旨在培養學生的邏輯思考能力.數學教學之精髓在于通過管理數學解題流程來促進學生思考能力的成長.在處理問題時，有計劃地訓練學生的數學計算、邏輯分析等相關數學技能.

1.3"普遍層次的教學策略

1.3.1"注重學生的主體地位，引導學生自主使用數字符號語言進行表達

在教學過程中，學生是求知的核心主體，教學成效的度量極大程度上依賴于學生對知識的吸收與運用.盡管如此，在具體的教學實踐中，教師往往主導著教學，而忽視了學生的主體作用.在教學活動中應確保學生積極投入的同時，教師要在課堂上促進學生共同創造知識，指導他們歸納出核心觀點、攻克問題的關鍵途徑及概括數學觀念等.［3］一些教師認為自己賦予了學生主體角色，將大量的提問與互動討論融入課程中，然而環節間的連接不夠妥當，效能不彰顯，雖表面上課堂以學生為主體，實則依舊是刻板的填塞式授課.

求解數學問題的基本層面是構建并解析數學模型，隨后利用數學符號語言進行闡述.數學符號構成了一套描述數值和空間構造特征相互作用的體系，它們以簡潔與雅致著稱，能夠進行精練的總結，并且擁有鮮明的邏輯條理和獨有的表述風貌.雖然學生對于問題擁有個人見解和領悟，卻未能恰當地表述出來.數學語言作為獨有的表達形式，并不是學生能夠順其自然掌握的，因此需要教師在教學過程中持續地引導.學生不只需要具備合理應對難題的能力，還應該適當地闡述觀點，適當的闡述同樣是構成他們數學思維能力的關鍵要素.

1.3.2"改變評價方式，注重過程性評價

評價涵蓋了形成性評價與總結性評價.總結性評價在一項教學行為結束之時進行，旨在對該教學活動的最終輸出進行價值評價，其焦點在于教學的最后效果.相對而言，形成性評價關注的是教學進程，重視學生在教學過程中的參與表現以及對本節課知識的吸收水平.常規的教學方式通過成績來衡量學生的學識深淺，單純偏重于結果的取得，而對學生在求知路上各環節的展現視而不見，屬于一種典型的結果導向評價方式.

在評價時，教師應融合形成性評價與總結性評價.教師不僅需要關心學生的最終學業表現，還應重視學生在學習過程中的各項展現；不應依據單一的得失來判定學生的總評成績，更應密切關注學生在學習探求中的歷程.特別在數學建模的教學中，學生投入建模實踐的積極性、對實際問題洞察的深淺、所構建模型的適宜性以及是否準確解決了最終的模型問題等，均是教師評價學生時需關注的關鍵要素.

2"基于數學化思想的數學建模教學設計案例

本研究構建了一項以“粉筆中的數學”為主題的建模挑戰，以考量學生數學建模的能力，并且提供了對應課堂教學的指導方針.此問題以學生日常使用的粉筆為研究對象，旨在通過對粉筆設計適宜性的分析，將其歸納為一個幾何學的模型問題.

2.1"數學化思想下的情境層次——分析問題情境

提問：在學校情境中，粉筆作為教師和學生廣泛熟知的日常用品，堪稱隨處可見的教學必需品.起初，教學現場使用的粉筆全部呈圓柱形，然而，至今在我們的教學環境中，觀察到的均是六邊形粉筆（如圖1），這種六邊形粉筆設計的出現是出于何種考慮呢？請闡述你的看法，并以數學的方式（盡量應用公式、符號及圖象）來證明你的立場.

問題1"你認為六邊形粉筆的設計初衷是基于什么考量？在眾多因素中，哪一項最為關鍵，或者說能夠更便捷地通過數學途徑得以證實？

鼓勵學生表達個人看法.這樣設計的原因可能包括避免粉筆滑落、節省粉筆使用空間、提升書寫時的手部舒適度等.觀察圖1，顯而易見六邊形粉筆所占用的空間最節省，并且這一論點亦可通過數學手段得以最便捷的證實.

問題2"如何從數學的角度說明更省空間？

“節省空間”的概念旨在引導學生認識到，在容積相等的盒子中，哪種形態的粉筆能夠裝載得更多，或者對于數量一致但形狀不同的粉筆而言，需要什么尺寸的盒子來存放.在固定尺寸的盒子內進行擺放時，排列的模式與額外留白將會成為考量因素，因而第2種與第1種相比較顯得更加便捷.

【設計意圖】本環節呈現了思維的數學化過程，其策略是首先以日常知識為基礎尋找問題開端，繼而把問題數學化處理.這一問題緊密關聯學生的實際生活經驗，使學生能較為輕松地掌握問題的情境.教學的核心在于搭建生活中的現實問題與數學概念之間的溝通紐帶.

2.2"數學化思想下的指涉層次——建立數學模型

問題3"計算出兩根粉筆的直徑，并且對它們各自所覆蓋的區域進行面積對比.

通過推算，粉筆的直徑大約是1厘米，學生有可能會去測算一根粉筆的橫截面積，然后得出圓柱形粉筆的橫截面積比六邊形粉筆的橫截面積要大.

【設計意圖】在此階段，引導學生逐漸步入數理邏輯的闡釋層面，在先前的情境中所爭論并得出的方法基礎上，鼓勵學生獨立嘗試構建數理模型.在此過程中，學生的邏輯思維可能較為初級，例如，通過比較具備相等直徑的六邊形與圓形的面積，來探究哪一種形狀的粉筆更節省空間.然而，這樣的比較雖立足對圖形的感性認識，卻不夠精確嚴密.這一步驟旨在為接下來基于翔實數據進行的精確分析和論證打下基礎.

問題4"是否可以對模型進行升級？兩種形態的粉筆直徑是否一致？

經過查閱制造粉筆的企業所提供的尺寸數據可知，六邊形粉筆的橫截直徑微大于圓形粉筆的橫截直徑，從而造成兩種粉筆單根的橫截面積相當.

問題5"若圓柱形粉筆的橫截面直徑是1厘米，那么六邊形粉筆的橫截面直徑應為何值？

指引學生獨立進行計算活動，在計算過程中遇到的差錯給予糾正.

若將六邊形粉筆的直徑規定為2a的話，則其棱長為a.于是可推算得到圓柱形粉筆的橫截面積S=π 122=π 4，而六邊形粉筆的橫截面積則是6·12·12a·3a=π 4，可得a2=3π 18，a≈0.55，六邊形粉筆的橫截面直徑約為1.1厘米.

【設計意圖】本部分旨在指導學生對模型進行完善，講授必要的粉筆制作原理，并通過比較兩種粉筆橫截面積所對應的直徑數值，使模型更接近現實情況，旨在模型合理化的層面上為現實問題解決提供支持.

2.3"數學化思想下的普遍層次——數學模型求解

問題6"如圖1所示，該容器內含有51支粉筆，需估算、比較兩種粉筆所需的盒子體積，并闡述得出的結論.

指導學生測算兩種粉筆各自所占的體積，在此過程中可能涌現出多樣的計算策略，只要推理合乎邏輯即可接受.

在圖2中，EF測量結果為1.1厘米，通過數學運算得知PQ的長度為11203厘米，因此六邊形粉筆盒子的尺寸為長8.57厘米、寬5.2厘米.圓柱形粉筆盒寬為32×5+1≈5.33（厘米），長為9厘米.經過對比分析知道相等數量的六邊形粉筆比圓柱形粉筆占用的空間更小.

【設計意圖】本階段主旨是強化抽象數理邏輯的普適性.先前階段已完成針對數學模型在參照層面的構建與改進.本階段注重運用數學符號進行模型的闡述并實施求解步驟，要求教師激發學生的自主探究意識.在處理計算問題時，學生可能遇到問題，需要教師提供積極的指導，最終要簡述黑板上的題目，以明晰數學問題與實際生活問題的緊密聯結.

2.4"在數學化思維的框架中進行形式分級——實施與思考

問題7"能否通過其他視角，運用數學理論進行證實，或者思考粉筆粗細端的不同排列情況，以及如何構建相應模型？

【設計意圖】本部分旨在培養以數學方式進行思考的結構水平，解題模型構建完畢后，需深入考量額外要素，為學生預留適量的思辨及擴展空間.

3"結語

本文提出了一種融合數學化思想的數學模型教學法.在講解數學化思想與情境層次融合時，教師需巧妙構建問題情境，利用教學輔助設備提升學生對這些情境的感知與領悟；在針對數學化思想指向層次時，教師應合理出題，主動激發學生的思考，重視對其數學技能的塑造；在涉及數學化思想普適層次時，應強化學生的自我學習能力，重視對學習過程的評價；在涉及數學化思想形態層次時，應為學生提供反思與擴展的空間，協助他們建立完整的知識架構.

參考文獻

［1］張國銀.探索數學建模教學策略 提升數學建模核心素養［J］.求知導刊，2024（18）：17-19.

［2］李安.基于新課程標準的高中數學建模教學認知與策略［J］.成才，2022（24）：49-51.

［3］黃麗純，楊坦.高中數學建模教學中的模型反思策略——以“停車距離問題”為例［J］.數學通報，2023（2）：47-52+56.