善用特殊值，靈活解決問題

摘要：在數(shù)學解題中，常常會遇到一些特殊的題目，常規(guī)解題思路難以解決.針對這一類型題目，可以巧妙運用特殊值法，另辟蹊徑，靈活解題.與傳統(tǒng)解題思路不同，特殊值法是在符合條件的范圍之內(nèi)，運用特殊的數(shù)值（特殊點）代入求解，通過“從特殊到一般”判斷與推理，最終得出一般性的結(jié)果.本文結(jié)合典型的練習題目，針對特殊值法在解題中的具體應用展開詳細的探究，旨在培養(yǎng)學生數(shù)學解題能力，發(fā)展數(shù)學解題思維.

關鍵詞：特殊值法；初中數(shù)學；解題能力；數(shù)學思維

一般性的數(shù)學問題可按照常規(guī)的思路進行求解，即從已知條件出發(fā)，結(jié)合基本事實和定理進行求解，但是對于部分數(shù)學問題來說，直接求解比較煩瑣，或者題目類型比較抽象，難以作出判斷時，即可采用特殊值法進行解題.與傳統(tǒng)的解題思維模式不同，特殊值法是在特定的條件下，將題目中的某個未知量進行特殊化，借助特殊的數(shù)值（特殊點）代入其中，進而將原本復雜的問題簡單化，以便于學生迅速、準確地完成題目的解答.在日常學習中，特殊值法與常規(guī)解題法相互補充，尤其是在選擇、填空等題型中，由于題量大、時間有限，常規(guī)解題思路受限，即可選擇特殊值法，先對其作出特殊情況下的判斷，最終經(jīng)過“從特殊到一般”的類推，得出一般性的結(jié)果.鑒于此，加強特殊值法解題教學，培養(yǎng)學生特殊值法解題能力已成為教學的重點.

1初中數(shù)學特殊值法的內(nèi)涵

特殊值法就是在特定的條件下，將題目中某個未知量進行特殊化，促使復雜問題簡單化，最終完成題目的解答.簡言之，特殊值法就是將滿足已知條件的特殊數(shù)值、特殊點、特殊圖形等代入題目中進行驗證、計算，最終得到正確的結(jié)論.與傳統(tǒng)的解題思路不同，特殊值法是將特殊情況作為解題的起點，先根據(jù)特殊點求出特殊結(jié)論，之后再進行驗證，最終推廣到一般情況.特殊值法體現(xiàn)了“從特殊到一般”的數(shù)學思想，也是不完全歸納法的有效補充.

在解題實踐中發(fā)現(xiàn)，特殊值法是常規(guī)解題法的有效補充，尤其適用于選擇、填空等不需要提供解題過程的題型.結(jié)果不是十分明確的探究類題目也可以巧妙運用特殊值法尋求解題思路.在實際解題中，當一般性的結(jié)論成立時，特殊值必然會成立；當特殊值成立時，一般性的結(jié)論未必會成立.鑒于此，在應用特殊值法進行解題時，還應注意以下四個條件：①所選擇的特殊值（點）必須要在已知條件所給定的范圍之內(nèi)，能夠使得問題變得更加簡單；②無論所選擇的特殊值（點）如何變化，結(jié)果都不會受到影響，始終保持不變；③所選擇的特殊值（點）與所求的量之間緊密相連；④所選擇的特殊值（點）在整個題干中給出的等量關系是一個不可或缺的量.只有如此，才能實現(xiàn)特殊值法的正確運用，進而高效完成題目的解答.［1］

2特殊值法在初中數(shù)學解題中的靈活應用

2.1任意數(shù)值中取特殊值

在無需呈現(xiàn)解題過程的填空題、選擇題中，當遇到可以取任意實數(shù)，或者明確給出字母取值范圍的題目時，可以在條件允許的范圍之內(nèi)，選擇一個合適的特殊值，將其直接代入題目進行求解.

例1正實數(shù)a、b、c、d滿足a+b+c+d=1，設p=3a+1+3b+1+3c+1+3d+1，則（）.

A.p＞5B.p=5

C.p＜5D.p和5的大小關系無法確定

分析：本題如果按照常規(guī)的解題思路，需要從已知條件出發(fā)，結(jié)合a+b+c+d=1，分別確定a、b、c、d的取值范圍均在（0，1）；之后再分別證明3a+1＞a+1，3b+1＞b+1，3c+1＞c+1，3d+1＞d+1，最終將各式相加，即可得出p＞5.在這種解題思路下，需要從條件出發(fā)，經(jīng)過大量的推理、論證，其中涉及煩瑣的運算，具有一定的難度.鑒于此，在優(yōu)化解題時，可以根據(jù)題目中的已知條件，選擇特殊值進行解答.

因為a、b、c、d均為正實數(shù)，且a+b+c+d=1，所以

令a=b=c=d=14，則有p=3a+1+3b+1+3c+1+3d+1=28＞25=5.

綜上，p＞5，正確答案為A.

例2將多項式2a（a+1）2+a4-a2+1進行因式分解，正確的為（）.

A.（a2+a-1）2

B.（a2-a+1）2

C.（a2+a+1）2

D.（a2-a-1）2

分析：按照常規(guī)的解題思路，需要對原多項式進行分組變形.在這一過程中，將面臨十分煩瑣的計算，稍有不慎就功虧一簣.鑒于此，為了節(jié)省解題時間，提升解題正確率，即可采用特殊值法，令a=1，并將其代入原多項式，得出2a（a+1）2+a4-a2+1=9.之后，再將其分別代入四個選項，發(fā)現(xiàn)只有C符合題意，即為正確答案.需要說明的是，如果進行特殊值代入時，有多個選項符合題意，則需要另取特殊值再次進行代入.

例3如圖1所示，數(shù)軸上A、B兩點分別表示實數(shù)a、b，則下列結(jié)論正確的是（）.

A.a+b＞0

B.ab＞0

C.a-b＞0

D.｜a｜-｜b｜＞0

分析：在本題目中，根據(jù)圖形信息得出0＜a＜1，b＜-1，此時如果按照常規(guī)的思路進行解題，將面臨較大的困難，甚至部分學生無從下手.鑒于此，即可采用特殊值法，令a=0.5，b=-1.5，則a+b=-1＜0，ab=-0.75＜0，a-b=2＞0，｜a｜-｜b｜=-1＜0，即正確答案為C.

例4若0＜x＜1，則x、x2、x3的大小關系是（）.

A.x＜x2＜x3

B.x＜x3＜x2

C.x3＜x2＜x

D.x2＜x3＜x

分析：根據(jù)已知條件，按照常規(guī)解題思路，需要在兩邊同時乘x，得出0＜x2＜x，同理得出0＜x3＜x2，即可得出正確答案.但是在實際解題中，多數(shù)學生很難想到這一方法.鑒于此，即可采用特殊值法，在所給范圍內(nèi)取特殊值，令x=12，則有x2=14，x3=18.如此，即可直觀得出x3＜x2＜x，則正確答案為C.

例5已知一次函數(shù)y=-3x+1上兩點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），當x1＜x2時，比較y1、y2的大小關系.

分析：按常規(guī)解題思路需要根據(jù)一次函數(shù)的相關知識進行判斷.因為一次函數(shù)y=-3x+1中k=-3＜0，所以函數(shù)值y隨著x的增加而減少.因此，當x1＜x2時，y1＞y2.這一問題難度系數(shù)不大，學生只要熟練掌握一次函數(shù)的相關性質(zhì)即可解答.同時，這一類型題目可以借助特殊值法，令x1=0，x2=1，將其分別代入函數(shù)，即可得出y1＞y2.可見，特殊值法使得抽象的數(shù)學問題更加具體化、直觀化，有助于增強學生的理解.［2］

2.2動點中取特殊位置

在初中幾何題目中，常常會遇到一些動點問題.針對這一類型的問題，學生常常難以下手，無法構(gòu)建出明確數(shù)量關系的問題.鑒于此，即可采用特殊值法，設定特殊的位置獲得定值，以此打開解題思路.

例1如圖2所示，在正三角形ABC中，MN為中位線，P為線段MN上任意一點.連接并延長BP、CP，分別與AC、AB相交于點F、E.如果1BE+1CF=2，則△ABC邊長為多少？

分析：這一幾何題目難度系數(shù)比較高，對一般學生來說，很難構(gòu)建數(shù)量關系.鑒于此，即可采用特殊值法進行求解.根據(jù)“P為線段MN上任意一點”這一條件，取P為MN的中點.此時，即可根據(jù)“中位線定理”“中位線定義”，得出MP∶BC=1∶4，EM∶EB=1∶4，BE=CF.

因為1BE+1CF=2，則BE=CF=1，則ME=14，BM=34，即AB=32.可見，在這一題目中，基于已知條件選擇最佳的特殊點是構(gòu)建數(shù)量關系，更是簡化題目的關鍵.

例2如圖3所示，扇形OAB半徑為6，∠AOB=90°，等邊三角形CDE頂點C、D、E分別在OA、OB、AB上，點P是△CDE的外心，則OP的長度為多少？

分析：如果按照常規(guī)的解題思路，需要借助多條輔助線，對學生的基礎知識和運算能力要求比較高，極大地增加了解題的難度.鑒于此，在優(yōu)化解題時，即可根據(jù)“等邊三角形CDE頂點C、D、E分別在OA、OB、AB上”這一條件，推斷出等邊三角形CDE的邊長并未固定，即結(jié)論與三角形的邊長以及各個頂點之間的位置并無關系.鑒于此，即可采用特殊值法進行解答.

使C、D兩點分別與點O、B重合，點E在AB上，此時則有OP=OB2cos30°.因此OP=23.

2.3一般圖形取特殊形

在初中數(shù)學解題中，當題目中給出的幾何圖形為一般圖形時，可在前提不變的情況下，對一些特殊的圖形進行研究.在實際解題中，這種特殊值法很是常見，常常達到意想不到的效果.

例1如圖4所示，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，求∠DCE的度數(shù).

分析：在本題目中，如果按照常規(guī)的思路進行解題，需要結(jié)合題目中已知條件，先假設∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y，之后利用x、y將∠A、∠B的度數(shù)表示出來，最終借助三角形內(nèi)角和等于180°，將x+y的度數(shù)表示出來，最終求出∠DCE=40°.這種常規(guī)的解題思路對學生的基礎知識、思維和能力都提出了較高的要求.鑒于此，結(jié)合題目已知條件分析，由于所求角度數(shù)與∠A、∠B無關，即可采用特殊值法進行求解.

令∠A=∠B=40°，則∠CDB=∠CED=70°，則∠DCE=40°.

例2如圖5所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，點I是△ABC的內(nèi)心，CI的延長線交△ABC外接圓O于點D，則DI的長為（）.

A.3

B.2

C.2

D.1

分析：按照常規(guī)的解題思路，根據(jù)題目中已知條件，連接AI、AD、BD，之后即可根據(jù)圓的性質(zhì)，逐步推出AB是圓O的直徑，得出△ABD是等腰直角三角形，則DI=2.這一過程相對比較復雜，學生在解題時面臨著較大的困難.鑒于此，即可考慮特殊值法.因為在本題目中點C的位置比較靈活，只需要滿足∠ACB=90°即可，由于題目中只有AB的長度為定值，且所求問題與C點位置、Rt△ABC形狀沒有關系.因此，即可采用特殊值法，運用特殊圖形代替一般圖形.

設△ABC為等腰直角三角形，則CI必定經(jīng)過圓心O，即CD為圓O的直徑，

則有CD=AB=2，過點I作IE⊥AC.

因為點I是△ABC的內(nèi)心，則IO=IE，△CIE為等腰直角三角形，

CI=2IE=2IO.

令IO=x，則CI=2x，因為CI+IO=1，則（2+1）x=1，x=2-1.

因此，DI=DO+OI=2.

3特殊值法應用注意事項

教學實踐表明，將特殊值法應用到課堂教學中可以極大地提升學生的解題效率.但是在具體應用時，也出現(xiàn)了不少問題.其中，最為典型的就是取值不當、盲目擴大應用范圍等，致使解題中出現(xiàn)了一定的偏差.鑒于此，學生在應用特殊值法解題時，應注意以下幾個方面.

（1）特殊取值應有利于計算或者說理.所取的特殊值應是特殊值法解題的關鍵，取什么樣的數(shù)值代入尤為重要.通常，所取的特殊值應與題目本身之間存在較大的聯(lián)系，應基于題目的特點，不僅要符合具體的情境需求，還應確保所取得的數(shù)值便于計算、說理等，唯有做到這一點，才能真正凸顯特殊值法的方便、快捷.例如，已知函數(shù)y=-k2+1x（k為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（2，y1），（5，y2），則y1、y2之間的關系如何？在這一類型題目中，因為條件中已經(jīng)明確“k為常數(shù)”，無論k值為多少都可以.此時，即可結(jié)合“有利于計算”的原則，選擇k=0這一特殊值.否則，一旦忽視了這一點，隨意選擇過大的數(shù)值，或者分數(shù)，都會帶來一定的計算困難，甚至導致學生出現(xiàn)計算錯誤.

（2）對于幾何問題來說，可根據(jù)圖形的特殊位置進行確定.在實際解題中，特殊值法不僅應用于代數(shù)問題中，在幾何問題中也極為常見，并且發(fā)揮著十分重要的作用.在解答這一類型問題時，需要選擇圖形的特殊位置展開研究，并將特殊位置進行轉(zhuǎn)化，使其成為線段或者角的特殊值，進而找到問題解決的方法.

（3）關注特殊值的適用范圍.在初中數(shù)學解題中，特殊值法是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的重要途徑，應用的題型比較多，不僅僅適用于填空題、選擇題，在主觀題目中也非常適用.但是在使用這一解題方法時，還必須關注其適用范圍，尤其是運用特殊值法分析問題，取得結(jié)論的過程不能在解答步驟中呈現(xiàn)出來.例如，已知ba+ab=2，求a2-3ab+b2a2+4ab+b2的值.本題目如果是一道選擇題，或者填空題，可基于題目中的已知條件，取特殊值，令a=1，b=1，直接代入即可，但如果是一道解答題目，則應從題目中的已知條件出發(fā)，尋找相關的解題方法，在變形、代入中，逐漸完成題目的解答.可見在實際解題中，必須結(jié)合實際情況靈活應用，才能真正達到既定的目標.

4結(jié)語

特殊值法充分體現(xiàn)了“從特殊到一般”的數(shù)學思想，屬于一種極具創(chuàng)造性的解題方法，將其靈活應用到填空、選擇等題型中，可以達到“出其不意”的效果，真正提升了學生的數(shù)學解題效率.同時，特殊值法在解題中也受到一定條件的限制，學生唯有厘清特殊值法解題的內(nèi)涵，具備敏銳的觀察力、嚴謹且深刻的邏輯判斷能力，才能將其靈活應用到解題實踐中，全面提升解題效率.

參考文獻

［1］潘賽玉.探析初中數(shù)學填空題解題策略［J］.現(xiàn)代中學生（初中版），2021（20）：41-42.

［2］張良江，虞蘇艷.“特殊值法”妙解初中數(shù)學題舉隅［J］.中國數(shù)學教育，2021（Z3）：82-87.