高中數學建模思想細分詳解

文范國慶

摘 要：數學建模就是將數學知識歸類概括為數學模型，以便于指導同類問題的解決。結合教學實踐對高中數學建模思想進行了詳細的解說。

關鍵詞：高中數學；建模思想；問題分析；簡化假設

數學建模就是將數學問題進行歸類提煉，概括為數學模型，然后通過該模型指導同類問題的解決。其實高中數學學習的知識點有限，我們只要認真梳理，就可以將他們歸類分別建立模型，諸如，不等式模型、函數模型、幾何模型、數列模型、三角模型等。這樣就能指導學生將抽象知識轉化成解決問題的方法。鑒于此，筆者將高中數學建模思想進行詳細分析與解說。

一、模型準備

數學模型是構建數學理論和實際運用之間的橋梁，所以我們首先要用數學語言表達實際問題。要認真分析實際問題背景，搜集各種必需數據和信息，挖掘隱含的數學概念，并一一捋順其關系。這里舉例進行分析：

某連鎖酒店有150個客房，根據調查顯示：單價定為160元/時，入住率為55%，當單價定為140元/時，入住率為65%，單價定為120元/時，入住率為75%，單價定為100元/時，入住率為85%。若想使酒店家獲得最大收益，客房定價為多少合適？

客房入住利潤問題在現實生活和數學練習中很常見，這就需要我們通過建模來形成解決方法。根據題意我們分析數據關系可以歸納出，總共150間客房，單價每下調20元，入住率提高10%，我們需要求出每下降1元入住率會提高多少，這樣才能算出恰當的價格點。

二、簡化假設

簡化假設是將復雜、抽象的問題進行總結概括的過程，是我們成功篩取有效數據進行分析，得出結論的轉折過程。現實中的數學問題往往是復雜多變的，需要我們對信息和數據進行有效提純、加工和簡化，才能完成建模過程。所以，我們在閱讀應用題時，要發揮充分的觀察和想象能力，抓主要矛盾，一一羅列出關鍵信息。

具體到上面的問題，結合以上背景分析，我們可以羅列有效信息如下：

1.共150間客房，每間定價最高160元；

2.根據給出數據分析，單價下調與住房率呈現反比例；

3.每間客房單價應該相等。

簡化假設是將復雜問題直觀化，否則問題將無法解決。比如，上面的問題如果每間客房價格不一樣那就無法計算，或者單價和入住率不成線性比例那也將變得復雜。

三、建立模型

參照以上分析和假設，我們尋找到相關數學變量間的關系，并根據數量關系建立模型。這中間應充分利用已知領域的已知模型或結果，通過類比聯想等方法構造模型。此外，我們還要注意，建立數學模型時還要注意一個原則：能用初級方法絕不用復雜方法，否則將會畫蛇添足。

1.分析

設該酒店一天總收益為y，設攫取最大利益時是在160元的基礎上每間客房單價下調x元。所以每降價1元，入住率就增加10%÷20=0.005。因此y=150×（160-x）×（0.55×0.005x）。由0.55+0.005x≤1可知0≤x≤90于是問題轉化為：當0≤x≤90時，y的最大值是多少？

2.求解

根據二次函數求最值可得到當x=25，即住房定價為135元時，y取最大值13668.75（元）。

3.討論與驗證

（1）容易驗證此收入在各種已知定價對應的收入中是最大的。如果為了便于管理，定價為140元也是可以的，因為此時它與最高收入只差18.75元。

（2）如果定價為180元，住房率應為45%，相應的收入只有12150元，因此假設（1）是合理的。

討論與驗證是解答現實問題的必備過程，也是數學建模的重要保障。由于現實問題經過簡化，所以，在解題問題過程中我們一定要還原場景進行討論，如此才能得出最契合實際的結論。

參考文獻：

梁樹花.高中數學應用題中的建模思想［J］.高中數學教與學，2013（02）.

編輯 王團蘭