高中數(shù)學(xué)練習(xí)中的三類典型問題

文/李健康

摘 要：習(xí)題練習(xí)是課堂教學(xué)中促成知識遷移，生成能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。所以，教師一定要根據(jù)學(xué)生認知規(guī)律整合教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)選對新學(xué)知識具有高度概括性的例題讓學(xué)生展開練習(xí)。從教學(xué)體驗中優(yōu)選并分析了三種常設(shè)問題類型。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；問題分層；分類討論；實際運用

理論學(xué)習(xí)加習(xí)題訓(xùn)練是數(shù)學(xué)課堂的兩個重要組成部分，我們拒絕題海戰(zhàn)術(shù)，但是教學(xué)實踐中必要的典型試題練習(xí)不能否定。實踐練習(xí)是我們體驗知識生成，完成知識遷移的不二法門。教學(xué)中，我們一般先引導(dǎo)學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)原理和概念，然后通過教師解題演示讓學(xué)生初步了解和掌握運用理論解決實際問題，然后我們再設(shè)置典型例題讓同學(xué)們循著教師的方法來嘗試對理論知識的運用。整個過程中，其實典型習(xí)題練習(xí)才是知識生成的促成環(huán)節(jié)。鑒于此，筆者立足一線高中數(shù)學(xué)教學(xué)，對課堂練習(xí)中常設(shè)的三類問題進行分析與討論。

一、分層設(shè)計問題，細化知識生成

學(xué)生在客觀上存在知識結(jié)構(gòu)和認知能力上的差異，這就要求我們在習(xí)題練習(xí)中要有針對性地設(shè)置分層問題來分別滿足他們的認知需求，讓每位同學(xué)都有進步和提升。

如，對于中學(xué)階段應(yīng)用廣泛的二次函數(shù)問題，為了讓大家都能掌握以映射的思維來闡述函數(shù)的基本解題方法，筆者就針對學(xué)生實情設(shè)置了不同層次的問題。

（1）概念題：假若定義域x滿足f（x）=4x2+5x+6，求f（x+1）

從映射的角度，我們應(yīng)該明白f（x+1）就是定義域集合中的元素（x+1）在f原則下的對應(yīng)值，因此：f（x+1）=4（x+1）2+5（x+1）+6=4x2+13x+15。這樣的概念題讓基礎(chǔ)比較差的同學(xué)來完成，讓他們體驗數(shù)學(xué)概念和實際運用，讓他們從映射的角度形象地理解函數(shù)的概念及運用，有效地完成知識遷移。

（2）拔高題：假若有f（x+1）=x2－4x+7，求f（x）

該題乃上例的拔高版，是讓學(xué)生鞏固基本概念，掌握基本方法后的能力拔高練習(xí)。在筆者的啟發(fā)下，循著上例的方法，同學(xué)們找到了解題思路：先設(shè)x+1=a，得出x=a-1由此可得：f（a-1）=（a-1）2－4（a-1）+7=a2－6a+12得出，f（x）=x2－6x+12。這是逆向思維的運用，經(jīng)此練習(xí)同學(xué)們最終掌握了對映射概念在函數(shù)中的意義，生成了數(shù)學(xué)技能。

二、設(shè)置開放問題，啟發(fā)分類討論

高中數(shù)學(xué)更注重能力的培養(yǎng)，許多開放性的實際問題需要經(jīng)過具體討論才能得到真正的答案。這就要求一線教學(xué)中一定要注意設(shè)置開放性問題啟發(fā)學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想。

這里還以常用的函數(shù)問題為例：函數(shù)解決實際問題時，我們就常常要通過對值域或定義域的分類討論來優(yōu)選正確答案：例題.假若函救f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a為實數(shù)）的圖像只與x軸有一個交點，求實數(shù)a的值。

這個問題猛一看不難，但是許多同學(xué)會因為思維局限在二次函數(shù)上而導(dǎo)致解題陷入僵局：當二次函數(shù)f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a為實數(shù)）滿足x軸僅有一個交點時，存在Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0，結(jié)果Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0中得出a無解，這個思路沒有錯，錯在我們還沒有討論當a=2時，也就是一次函數(shù)的情況。當a=2時函數(shù)表達式為f（x）=-3x-1，與x軸當然存在一個交點（-■，0）。所以a=2就是正確答案。可見分類討論是數(shù)學(xué)解題中的重要思想方法，需要我們解題過程中常常運用，這樣才能全局把握，找到解決實際問題的辦法。

三、聯(lián)系現(xiàn)實生活，體驗知識運用

常言道：學(xué)以致用。運用就是學(xué)習(xí)的終極目標，所以，課堂教學(xué)不能只注重理論研究，還要能引導(dǎo)和驅(qū)動同學(xué)們運用所學(xué)知識去解決實際問題。常見的課堂引導(dǎo)方式是設(shè)置生活中的實際情境，讓同學(xué)們運用所學(xué)知識根據(jù)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系進行分析和計算，最終選出最優(yōu)方案。比如，學(xué)習(xí)三角函數(shù)知識后，為何讓大家上升到運用技能，筆者就將王老板遇到的一個現(xiàn)實問題讓同學(xué)們幫助分析和解決：

北京（40°N）某小區(qū)樓高33層，每層3米高，樓間距60米，已知冬至日影子最長，王老師想全天采光的話，最低可以買第幾層？即便同學(xué)們基礎(chǔ)知識不錯，但是面對實際問題時還是有點懵，我們可以進行關(guān)鍵性提示：樓間距60米是前樓多少米高投射的陰影呢？同學(xué)們根據(jù)地理知識算出冬至日該小區(qū)太陽高度角是A°，就能算出60米是前樓tanA°×60米，最低需要買99-tanA°×60米以上的高度。這樣一來大家對三角函數(shù)只是紙上談兵的認識就得到有效改觀，知識得到運用和升華。

本文是筆者聯(lián)系教學(xué)實踐對常用的三種習(xí)題教學(xué)方式的分析與討論。概括地講，習(xí)題練習(xí)是學(xué)生遷移知識生成技能的促成環(huán)節(jié)，我們在教學(xué)實踐中一定要根據(jù)學(xué)生認知，對教學(xué)內(nèi)容進行整合，設(shè)置典型的、適當?shù)膬?yōu)質(zhì)習(xí)題，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生掌握知識的精髓，這才是理性課堂，才是高效課堂必由之路。

參考文獻：

潘相治.新課標下高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（05）.

編輯 謝尾合

endprint

摘 要：習(xí)題練習(xí)是課堂教學(xué)中促成知識遷移，生成能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。所以，教師一定要根據(jù)學(xué)生認知規(guī)律整合教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)選對新學(xué)知識具有高度概括性的例題讓學(xué)生展開練習(xí)。從教學(xué)體驗中優(yōu)選并分析了三種常設(shè)問題類型。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；問題分層；分類討論；實際運用

理論學(xué)習(xí)加習(xí)題訓(xùn)練是數(shù)學(xué)課堂的兩個重要組成部分，我們拒絕題海戰(zhàn)術(shù)，但是教學(xué)實踐中必要的典型試題練習(xí)不能否定。實踐練習(xí)是我們體驗知識生成，完成知識遷移的不二法門。教學(xué)中，我們一般先引導(dǎo)學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)原理和概念，然后通過教師解題演示讓學(xué)生初步了解和掌握運用理論解決實際問題，然后我們再設(shè)置典型例題讓同學(xué)們循著教師的方法來嘗試對理論知識的運用。整個過程中，其實典型習(xí)題練習(xí)才是知識生成的促成環(huán)節(jié)。鑒于此，筆者立足一線高中數(shù)學(xué)教學(xué)，對課堂練習(xí)中常設(shè)的三類問題進行分析與討論。

一、分層設(shè)計問題，細化知識生成

學(xué)生在客觀上存在知識結(jié)構(gòu)和認知能力上的差異，這就要求我們在習(xí)題練習(xí)中要有針對性地設(shè)置分層問題來分別滿足他們的認知需求，讓每位同學(xué)都有進步和提升。

如，對于中學(xué)階段應(yīng)用廣泛的二次函數(shù)問題，為了讓大家都能掌握以映射的思維來闡述函數(shù)的基本解題方法，筆者就針對學(xué)生實情設(shè)置了不同層次的問題。

（1）概念題：假若定義域x滿足f（x）=4x2+5x+6，求f（x+1）

從映射的角度，我們應(yīng)該明白f（x+1）就是定義域集合中的元素（x+1）在f原則下的對應(yīng)值，因此：f（x+1）=4（x+1）2+5（x+1）+6=4x2+13x+15。這樣的概念題讓基礎(chǔ)比較差的同學(xué)來完成，讓他們體驗數(shù)學(xué)概念和實際運用，讓他們從映射的角度形象地理解函數(shù)的概念及運用，有效地完成知識遷移。

（2）拔高題：假若有f（x+1）=x2－4x+7，求f（x）

該題乃上例的拔高版，是讓學(xué)生鞏固基本概念，掌握基本方法后的能力拔高練習(xí)。在筆者的啟發(fā)下，循著上例的方法，同學(xué)們找到了解題思路：先設(shè)x+1=a，得出x=a-1由此可得：f（a-1）=（a-1）2－4（a-1）+7=a2－6a+12得出，f（x）=x2－6x+12。這是逆向思維的運用，經(jīng)此練習(xí)同學(xué)們最終掌握了對映射概念在函數(shù)中的意義，生成了數(shù)學(xué)技能。

二、設(shè)置開放問題，啟發(fā)分類討論

高中數(shù)學(xué)更注重能力的培養(yǎng)，許多開放性的實際問題需要經(jīng)過具體討論才能得到真正的答案。這就要求一線教學(xué)中一定要注意設(shè)置開放性問題啟發(fā)學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想。

這里還以常用的函數(shù)問題為例：函數(shù)解決實際問題時，我們就常常要通過對值域或定義域的分類討論來優(yōu)選正確答案：例題.假若函救f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a為實數(shù)）的圖像只與x軸有一個交點，求實數(shù)a的值。

這個問題猛一看不難，但是許多同學(xué)會因為思維局限在二次函數(shù)上而導(dǎo)致解題陷入僵局：當二次函數(shù)f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a為實數(shù)）滿足x軸僅有一個交點時，存在Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0，結(jié)果Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0中得出a無解，這個思路沒有錯，錯在我們還沒有討論當a=2時，也就是一次函數(shù)的情況。當a=2時函數(shù)表達式為f（x）=-3x-1，與x軸當然存在一個交點（-■，0）。所以a=2就是正確答案。可見分類討論是數(shù)學(xué)解題中的重要思想方法，需要我們解題過程中常常運用，這樣才能全局把握，找到解決實際問題的辦法。

三、聯(lián)系現(xiàn)實生活，體驗知識運用

常言道：學(xué)以致用。運用就是學(xué)習(xí)的終極目標，所以，課堂教學(xué)不能只注重理論研究，還要能引導(dǎo)和驅(qū)動同學(xué)們運用所學(xué)知識去解決實際問題。常見的課堂引導(dǎo)方式是設(shè)置生活中的實際情境，讓同學(xué)們運用所學(xué)知識根據(jù)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系進行分析和計算，最終選出最優(yōu)方案。比如，學(xué)習(xí)三角函數(shù)知識后，為何讓大家上升到運用技能，筆者就將王老板遇到的一個現(xiàn)實問題讓同學(xué)們幫助分析和解決：

北京（40°N）某小區(qū)樓高33層，每層3米高，樓間距60米，已知冬至日影子最長，王老師想全天采光的話，最低可以買第幾層？即便同學(xué)們基礎(chǔ)知識不錯，但是面對實際問題時還是有點懵，我們可以進行關(guān)鍵性提示：樓間距60米是前樓多少米高投射的陰影呢？同學(xué)們根據(jù)地理知識算出冬至日該小區(qū)太陽高度角是A°，就能算出60米是前樓tanA°×60米，最低需要買99-tanA°×60米以上的高度。這樣一來大家對三角函數(shù)只是紙上談兵的認識就得到有效改觀，知識得到運用和升華。

本文是筆者聯(lián)系教學(xué)實踐對常用的三種習(xí)題教學(xué)方式的分析與討論。概括地講，習(xí)題練習(xí)是學(xué)生遷移知識生成技能的促成環(huán)節(jié)，我們在教學(xué)實踐中一定要根據(jù)學(xué)生認知，對教學(xué)內(nèi)容進行整合，設(shè)置典型的、適當?shù)膬?yōu)質(zhì)習(xí)題，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生掌握知識的精髓，這才是理性課堂，才是高效課堂必由之路。

參考文獻：

潘相治.新課標下高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（05）.

編輯 謝尾合

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摘 要：習(xí)題練習(xí)是課堂教學(xué)中促成知識遷移，生成能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。所以，教師一定要根據(jù)學(xué)生認知規(guī)律整合教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)選對新學(xué)知識具有高度概括性的例題讓學(xué)生展開練習(xí)。從教學(xué)體驗中優(yōu)選并分析了三種常設(shè)問題類型。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；問題分層；分類討論；實際運用

理論學(xué)習(xí)加習(xí)題訓(xùn)練是數(shù)學(xué)課堂的兩個重要組成部分，我們拒絕題海戰(zhàn)術(shù)，但是教學(xué)實踐中必要的典型試題練習(xí)不能否定。實踐練習(xí)是我們體驗知識生成，完成知識遷移的不二法門。教學(xué)中，我們一般先引導(dǎo)學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)原理和概念，然后通過教師解題演示讓學(xué)生初步了解和掌握運用理論解決實際問題，然后我們再設(shè)置典型例題讓同學(xué)們循著教師的方法來嘗試對理論知識的運用。整個過程中，其實典型習(xí)題練習(xí)才是知識生成的促成環(huán)節(jié)。鑒于此，筆者立足一線高中數(shù)學(xué)教學(xué)，對課堂練習(xí)中常設(shè)的三類問題進行分析與討論。

一、分層設(shè)計問題，細化知識生成

學(xué)生在客觀上存在知識結(jié)構(gòu)和認知能力上的差異，這就要求我們在習(xí)題練習(xí)中要有針對性地設(shè)置分層問題來分別滿足他們的認知需求，讓每位同學(xué)都有進步和提升。

如，對于中學(xué)階段應(yīng)用廣泛的二次函數(shù)問題，為了讓大家都能掌握以映射的思維來闡述函數(shù)的基本解題方法，筆者就針對學(xué)生實情設(shè)置了不同層次的問題。

（1）概念題：假若定義域x滿足f（x）=4x2+5x+6，求f（x+1）

從映射的角度，我們應(yīng)該明白f（x+1）就是定義域集合中的元素（x+1）在f原則下的對應(yīng)值，因此：f（x+1）=4（x+1）2+5（x+1）+6=4x2+13x+15。這樣的概念題讓基礎(chǔ)比較差的同學(xué)來完成，讓他們體驗數(shù)學(xué)概念和實際運用，讓他們從映射的角度形象地理解函數(shù)的概念及運用，有效地完成知識遷移。

（2）拔高題：假若有f（x+1）=x2－4x+7，求f（x）

該題乃上例的拔高版，是讓學(xué)生鞏固基本概念，掌握基本方法后的能力拔高練習(xí)。在筆者的啟發(fā)下，循著上例的方法，同學(xué)們找到了解題思路：先設(shè)x+1=a，得出x=a-1由此可得：f（a-1）=（a-1）2－4（a-1）+7=a2－6a+12得出，f（x）=x2－6x+12。這是逆向思維的運用，經(jīng)此練習(xí)同學(xué)們最終掌握了對映射概念在函數(shù)中的意義，生成了數(shù)學(xué)技能。

二、設(shè)置開放問題，啟發(fā)分類討論

高中數(shù)學(xué)更注重能力的培養(yǎng)，許多開放性的實際問題需要經(jīng)過具體討論才能得到真正的答案。這就要求一線教學(xué)中一定要注意設(shè)置開放性問題啟發(fā)學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想。

這里還以常用的函數(shù)問題為例：函數(shù)解決實際問題時，我們就常常要通過對值域或定義域的分類討論來優(yōu)選正確答案：例題.假若函救f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a為實數(shù)）的圖像只與x軸有一個交點，求實數(shù)a的值。

這個問題猛一看不難，但是許多同學(xué)會因為思維局限在二次函數(shù)上而導(dǎo)致解題陷入僵局：當二次函數(shù)f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a為實數(shù)）滿足x軸僅有一個交點時，存在Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0，結(jié)果Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0中得出a無解，這個思路沒有錯，錯在我們還沒有討論當a=2時，也就是一次函數(shù)的情況。當a=2時函數(shù)表達式為f（x）=-3x-1，與x軸當然存在一個交點（-■，0）。所以a=2就是正確答案。可見分類討論是數(shù)學(xué)解題中的重要思想方法，需要我們解題過程中常常運用，這樣才能全局把握，找到解決實際問題的辦法。

三、聯(lián)系現(xiàn)實生活，體驗知識運用

常言道：學(xué)以致用。運用就是學(xué)習(xí)的終極目標，所以，課堂教學(xué)不能只注重理論研究，還要能引導(dǎo)和驅(qū)動同學(xué)們運用所學(xué)知識去解決實際問題。常見的課堂引導(dǎo)方式是設(shè)置生活中的實際情境，讓同學(xué)們運用所學(xué)知識根據(jù)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系進行分析和計算，最終選出最優(yōu)方案。比如，學(xué)習(xí)三角函數(shù)知識后，為何讓大家上升到運用技能，筆者就將王老板遇到的一個現(xiàn)實問題讓同學(xué)們幫助分析和解決：

北京（40°N）某小區(qū)樓高33層，每層3米高，樓間距60米，已知冬至日影子最長，王老師想全天采光的話，最低可以買第幾層？即便同學(xué)們基礎(chǔ)知識不錯，但是面對實際問題時還是有點懵，我們可以進行關(guān)鍵性提示：樓間距60米是前樓多少米高投射的陰影呢？同學(xué)們根據(jù)地理知識算出冬至日該小區(qū)太陽高度角是A°，就能算出60米是前樓tanA°×60米，最低需要買99-tanA°×60米以上的高度。這樣一來大家對三角函數(shù)只是紙上談兵的認識就得到有效改觀，知識得到運用和升華。

本文是筆者聯(lián)系教學(xué)實踐對常用的三種習(xí)題教學(xué)方式的分析與討論。概括地講，習(xí)題練習(xí)是學(xué)生遷移知識生成技能的促成環(huán)節(jié)，我們在教學(xué)實踐中一定要根據(jù)學(xué)生認知，對教學(xué)內(nèi)容進行整合，設(shè)置典型的、適當?shù)膬?yōu)質(zhì)習(xí)題，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生掌握知識的精髓，這才是理性課堂，才是高效課堂必由之路。

參考文獻：

潘相治.新課標下高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（05）.

編輯 謝尾合

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