高中數學練習中的三類典型問題

文/李健康

摘 要：習題練習是課堂教學中促成知識遷移，生成能力的關鍵環節。所以，教師一定要根據學生認知規律整合教學內容，優選對新學知識具有高度概括性的例題讓學生展開練習。從教學體驗中優選并分析了三種常設問題類型。

關鍵詞：高中數學；問題分層；分類討論；實際運用

理論學習加習題訓練是數學課堂的兩個重要組成部分，我們拒絕題海戰術，但是教學實踐中必要的典型試題練習不能否定。實踐練習是我們體驗知識生成，完成知識遷移的不二法門。教學中，我們一般先引導學生掌握基本的數學原理和概念，然后通過教師解題演示讓學生初步了解和掌握運用理論解決實際問題，然后我們再設置典型例題讓同學們循著教師的方法來嘗試對理論知識的運用。整個過程中，其實典型習題練習才是知識生成的促成環節。鑒于此，筆者立足一線高中數學教學，對課堂練習中常設的三類問題進行分析與討論。

一、分層設計問題，細化知識生成

學生在客觀上存在知識結構和認知能力上的差異，這就要求我們在習題練習中要有針對性地設置分層問題來分別滿足他們的認知需求，讓每位同學都有進步和提升。

如，對于中學階段應用廣泛的二次函數問題，為了讓大家都能掌握以映射的思維來闡述函數的基本解題方法，筆者就針對學生實情設置了不同層次的問題。

（1）概念題：假若定義域x滿足f（x）=4x2+5x+6，求f（x+1）

從映射的角度，我們應該明白f（x+1）就是定義域集合中的元素（x+1）在f原則下的對應值，因此：f（x+1）=4（x+1）2+5（x+1）+6=4x2+13x+15。這樣的概念題讓基礎比較差的同學來完成，讓他們體驗數學概念和實際運用，讓他們從映射的角度形象地理解函數的概念及運用，有效地完成知識遷移。

（2）拔高題：假若有f（x+1）=x2－4x+7，求f（x）

該題乃上例的拔高版，是讓學生鞏固基本概念，掌握基本方法后的能力拔高練習。在筆者的啟發下，循著上例的方法，同學們找到了解題思路：先設x+1=a，得出x=a-1由此可得：f（a-1）=（a-1）2－4（a-1）+7=a2－6a+12得出，f（x）=x2－6x+12。這是逆向思維的運用，經此練習同學們最終掌握了對映射概念在函數中的意義，生成了數學技能。

二、設置開放問題，啟發分類討論

高中數學更注重能力的培養，許多開放性的實際問題需要經過具體討論才能得到真正的答案。這就要求一線教學中一定要注意設置開放性問題啟發學生掌握分類討論的數學思想。

這里還以常用的函數問題為例：函數解決實際問題時，我們就常常要通過對值域或定義域的分類討論來優選正確答案：例題.假若函救f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a為實數）的圖像只與x軸有一個交點，求實數a的值。

這個問題猛一看不難，但是許多同學會因為思維局限在二次函數上而導致解題陷入僵局：當二次函數f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a為實數）滿足x軸僅有一個交點時，存在Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0，結果Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0中得出a無解，這個思路沒有錯，錯在我們還沒有討論當a=2時，也就是一次函數的情況。當a=2時函數表達式為f（x）=-3x-1，與x軸當然存在一個交點（-■，0）。所以a=2就是正確答案。可見分類討論是數學解題中的重要思想方法，需要我們解題過程中常常運用，這樣才能全局把握，找到解決實際問題的辦法。

三、聯系現實生活，體驗知識運用

常言道：學以致用。運用就是學習的終極目標，所以，課堂教學不能只注重理論研究，還要能引導和驅動同學們運用所學知識去解決實際問題。常見的課堂引導方式是設置生活中的實際情境，讓同學們運用所學知識根據數據之間的關系進行分析和計算，最終選出最優方案。比如，學習三角函數知識后，為何讓大家上升到運用技能，筆者就將王老板遇到的一個現實問題讓同學們幫助分析和解決：

北京（40°N）某小區樓高33層，每層3米高，樓間距60米，已知冬至日影子最長，王老師想全天采光的話，最低可以買第幾層？即便同學們基礎知識不錯，但是面對實際問題時還是有點懵，我們可以進行關鍵性提示：樓間距60米是前樓多少米高投射的陰影呢？同學們根據地理知識算出冬至日該小區太陽高度角是A°，就能算出60米是前樓tanA°×60米，最低需要買99-tanA°×60米以上的高度。這樣一來大家對三角函數只是紙上談兵的認識就得到有效改觀，知識得到運用和升華。

本文是筆者聯系教學實踐對常用的三種習題教學方式的分析與討論。概括地講，習題練習是學生遷移知識生成技能的促成環節，我們在教學實踐中一定要根據學生認知，對教學內容進行整合，設置典型的、適當的優質習題，引導和啟發學生掌握知識的精髓，這才是理性課堂，才是高效課堂必由之路。

參考文獻：

潘相治.新課標下高中數學習題教學研究［J］.數學學習與研究，2012（05）.

編輯 謝尾合

endprint

摘 要：習題練習是課堂教學中促成知識遷移，生成能力的關鍵環節。所以，教師一定要根據學生認知規律整合教學內容，優選對新學知識具有高度概括性的例題讓學生展開練習。從教學體驗中優選并分析了三種常設問題類型。

關鍵詞：高中數學；問題分層；分類討論；實際運用

理論學習加習題訓練是數學課堂的兩個重要組成部分，我們拒絕題海戰術，但是教學實踐中必要的典型試題練習不能否定。實踐練習是我們體驗知識生成，完成知識遷移的不二法門。教學中，我們一般先引導學生掌握基本的數學原理和概念，然后通過教師解題演示讓學生初步了解和掌握運用理論解決實際問題，然后我們再設置典型例題讓同學們循著教師的方法來嘗試對理論知識的運用。整個過程中，其實典型習題練習才是知識生成的促成環節。鑒于此，筆者立足一線高中數學教學，對課堂練習中常設的三類問題進行分析與討論。

一、分層設計問題，細化知識生成

學生在客觀上存在知識結構和認知能力上的差異，這就要求我們在習題練習中要有針對性地設置分層問題來分別滿足他們的認知需求，讓每位同學都有進步和提升。

如，對于中學階段應用廣泛的二次函數問題，為了讓大家都能掌握以映射的思維來闡述函數的基本解題方法，筆者就針對學生實情設置了不同層次的問題。

（1）概念題：假若定義域x滿足f（x）=4x2+5x+6，求f（x+1）

從映射的角度，我們應該明白f（x+1）就是定義域集合中的元素（x+1）在f原則下的對應值，因此：f（x+1）=4（x+1）2+5（x+1）+6=4x2+13x+15。這樣的概念題讓基礎比較差的同學來完成，讓他們體驗數學概念和實際運用，讓他們從映射的角度形象地理解函數的概念及運用，有效地完成知識遷移。

（2）拔高題：假若有f（x+1）=x2－4x+7，求f（x）

該題乃上例的拔高版，是讓學生鞏固基本概念，掌握基本方法后的能力拔高練習。在筆者的啟發下，循著上例的方法，同學們找到了解題思路：先設x+1=a，得出x=a-1由此可得：f（a-1）=（a-1）2－4（a-1）+7=a2－6a+12得出，f（x）=x2－6x+12。這是逆向思維的運用，經此練習同學們最終掌握了對映射概念在函數中的意義，生成了數學技能。

二、設置開放問題，啟發分類討論

高中數學更注重能力的培養，許多開放性的實際問題需要經過具體討論才能得到真正的答案。這就要求一線教學中一定要注意設置開放性問題啟發學生掌握分類討論的數學思想。

這里還以常用的函數問題為例：函數解決實際問題時，我們就常常要通過對值域或定義域的分類討論來優選正確答案：例題.假若函救f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a為實數）的圖像只與x軸有一個交點，求實數a的值。

這個問題猛一看不難，但是許多同學會因為思維局限在二次函數上而導致解題陷入僵局：當二次函數f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a為實數）滿足x軸僅有一個交點時，存在Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0，結果Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0中得出a無解，這個思路沒有錯，錯在我們還沒有討論當a=2時，也就是一次函數的情況。當a=2時函數表達式為f（x）=-3x-1，與x軸當然存在一個交點（-■，0）。所以a=2就是正確答案。可見分類討論是數學解題中的重要思想方法，需要我們解題過程中常常運用，這樣才能全局把握，找到解決實際問題的辦法。

三、聯系現實生活，體驗知識運用

常言道：學以致用。運用就是學習的終極目標，所以，課堂教學不能只注重理論研究，還要能引導和驅動同學們運用所學知識去解決實際問題。常見的課堂引導方式是設置生活中的實際情境，讓同學們運用所學知識根據數據之間的關系進行分析和計算，最終選出最優方案。比如，學習三角函數知識后，為何讓大家上升到運用技能，筆者就將王老板遇到的一個現實問題讓同學們幫助分析和解決：

北京（40°N）某小區樓高33層，每層3米高，樓間距60米，已知冬至日影子最長，王老師想全天采光的話，最低可以買第幾層？即便同學們基礎知識不錯，但是面對實際問題時還是有點懵，我們可以進行關鍵性提示：樓間距60米是前樓多少米高投射的陰影呢？同學們根據地理知識算出冬至日該小區太陽高度角是A°，就能算出60米是前樓tanA°×60米，最低需要買99-tanA°×60米以上的高度。這樣一來大家對三角函數只是紙上談兵的認識就得到有效改觀，知識得到運用和升華。

本文是筆者聯系教學實踐對常用的三種習題教學方式的分析與討論。概括地講，習題練習是學生遷移知識生成技能的促成環節，我們在教學實踐中一定要根據學生認知，對教學內容進行整合，設置典型的、適當的優質習題，引導和啟發學生掌握知識的精髓，這才是理性課堂，才是高效課堂必由之路。

參考文獻：

潘相治.新課標下高中數學習題教學研究［J］.數學學習與研究，2012（05）.

編輯 謝尾合

endprint

摘 要：習題練習是課堂教學中促成知識遷移，生成能力的關鍵環節。所以，教師一定要根據學生認知規律整合教學內容，優選對新學知識具有高度概括性的例題讓學生展開練習。從教學體驗中優選并分析了三種常設問題類型。

關鍵詞：高中數學；問題分層；分類討論；實際運用

理論學習加習題訓練是數學課堂的兩個重要組成部分，我們拒絕題海戰術，但是教學實踐中必要的典型試題練習不能否定。實踐練習是我們體驗知識生成，完成知識遷移的不二法門。教學中，我們一般先引導學生掌握基本的數學原理和概念，然后通過教師解題演示讓學生初步了解和掌握運用理論解決實際問題，然后我們再設置典型例題讓同學們循著教師的方法來嘗試對理論知識的運用。整個過程中，其實典型習題練習才是知識生成的促成環節。鑒于此，筆者立足一線高中數學教學，對課堂練習中常設的三類問題進行分析與討論。

一、分層設計問題，細化知識生成

學生在客觀上存在知識結構和認知能力上的差異，這就要求我們在習題練習中要有針對性地設置分層問題來分別滿足他們的認知需求，讓每位同學都有進步和提升。

如，對于中學階段應用廣泛的二次函數問題，為了讓大家都能掌握以映射的思維來闡述函數的基本解題方法，筆者就針對學生實情設置了不同層次的問題。

（1）概念題：假若定義域x滿足f（x）=4x2+5x+6，求f（x+1）

從映射的角度，我們應該明白f（x+1）就是定義域集合中的元素（x+1）在f原則下的對應值，因此：f（x+1）=4（x+1）2+5（x+1）+6=4x2+13x+15。這樣的概念題讓基礎比較差的同學來完成，讓他們體驗數學概念和實際運用，讓他們從映射的角度形象地理解函數的概念及運用，有效地完成知識遷移。

（2）拔高題：假若有f（x+1）=x2－4x+7，求f（x）

該題乃上例的拔高版，是讓學生鞏固基本概念，掌握基本方法后的能力拔高練習。在筆者的啟發下，循著上例的方法，同學們找到了解題思路：先設x+1=a，得出x=a-1由此可得：f（a-1）=（a-1）2－4（a-1）+7=a2－6a+12得出，f（x）=x2－6x+12。這是逆向思維的運用，經此練習同學們最終掌握了對映射概念在函數中的意義，生成了數學技能。

二、設置開放問題，啟發分類討論

高中數學更注重能力的培養，許多開放性的實際問題需要經過具體討論才能得到真正的答案。這就要求一線教學中一定要注意設置開放性問題啟發學生掌握分類討論的數學思想。

這里還以常用的函數問題為例：函數解決實際問題時，我們就常常要通過對值域或定義域的分類討論來優選正確答案：例題.假若函救f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a為實數）的圖像只與x軸有一個交點，求實數a的值。

這個問題猛一看不難，但是許多同學會因為思維局限在二次函數上而導致解題陷入僵局：當二次函數f（x）＝（a-2）x2＋（a-5）x－1（a為實數）滿足x軸僅有一個交點時，存在Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0，結果Δ＝（a-5）2+4（a-2）=0中得出a無解，這個思路沒有錯，錯在我們還沒有討論當a=2時，也就是一次函數的情況。當a=2時函數表達式為f（x）=-3x-1，與x軸當然存在一個交點（-■，0）。所以a=2就是正確答案。可見分類討論是數學解題中的重要思想方法，需要我們解題過程中常常運用，這樣才能全局把握，找到解決實際問題的辦法。

三、聯系現實生活，體驗知識運用

常言道：學以致用。運用就是學習的終極目標，所以，課堂教學不能只注重理論研究，還要能引導和驅動同學們運用所學知識去解決實際問題。常見的課堂引導方式是設置生活中的實際情境，讓同學們運用所學知識根據數據之間的關系進行分析和計算，最終選出最優方案。比如，學習三角函數知識后，為何讓大家上升到運用技能，筆者就將王老板遇到的一個現實問題讓同學們幫助分析和解決：

北京（40°N）某小區樓高33層，每層3米高，樓間距60米，已知冬至日影子最長，王老師想全天采光的話，最低可以買第幾層？即便同學們基礎知識不錯，但是面對實際問題時還是有點懵，我們可以進行關鍵性提示：樓間距60米是前樓多少米高投射的陰影呢？同學們根據地理知識算出冬至日該小區太陽高度角是A°，就能算出60米是前樓tanA°×60米，最低需要買99-tanA°×60米以上的高度。這樣一來大家對三角函數只是紙上談兵的認識就得到有效改觀，知識得到運用和升華。

本文是筆者聯系教學實踐對常用的三種習題教學方式的分析與討論。概括地講，習題練習是學生遷移知識生成技能的促成環節，我們在教學實踐中一定要根據學生認知，對教學內容進行整合，設置典型的、適當的優質習題，引導和啟發學生掌握知識的精髓，這才是理性課堂，才是高效課堂必由之路。

參考文獻：

潘相治.新課標下高中數學習題教學研究［J］.數學學習與研究，2012（05）.

編輯 謝尾合

endprint