洞悉數學中兩類題型的規律

盧麗麗

【內容摘要】生活中的規律無處不在，只要我們能夠發現規律，并且主動去運用規律，生活會變得有條理、簡單愉快。數學也是如此。

【關鍵詞】規律 分析問題 創造性思維 題海

以前我總是為了講題而講題，題目一題一題的做，一題一題的講，講完了，學生也把書中的、練習冊中的題目做完了，但是收效甚微，相信很多老師也是這樣做的。我們總是感覺有做不完的題目，并且學生每天做大量類似的題目，不僅浪費時間、精力，還會讓學生產生倦怠感。長此以往，學生會產生厭學情緒，要是想學好數學，那簡直是空中樓閣。

隨著對這些題目的深入研究，我發現，題目是可以歸類的，有很多規律可循，如果我們找到了這些規律，學生就沒有必要做那么多的重復勞作，并且見到一個題目立刻能知道它屬于哪一類，它的解題方法是什么。這樣我們就可以把題海變成題河了。相信這也是每一位數學教師的追求。學生再也不用在題海里掙扎了。這樣既能節省學生學數學的時間，又能鍛煉學生的數學思維能力，歸納概括能力等等多種能力。這樣就能起到事倍功半的效果。所以我們當老師的要善于總結規律。

【規律一】

蘇教版八年級數學課本第八十頁例題4。已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點E、F。求證：四邊形AFCE是菱形。

這一個題目我們可以歸結為：如果一個四邊形滿足條件——一組對邊平行，一條對角線是另一條對角線的垂直平分線，那么結論是——這個四邊形是菱形。方法——證明對頂點的一對三角形全等。

以上這個規律記住了，一系列的題目都會解決了。

如：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E為AB中點。四邊形BCDE是菱形嗎？為什么？

這一題，由BC=CD，可以得到點C在BD的垂直平分線上，由AD⊥BD，E為AB中點。可以得到DE=EB，所以點E在BD的垂直平分線上，故CE所在的直線是DB的垂直平分線，有由于AB∥CD，所以這一道題可以轉化到上面所說的那種題型，也就容易解決來了。

又如，在△ABC中，AD是角平分線，E是AB上一點，且AE=AC，EG//BC，EG交AD于點G，求證：四邊形EDCG是菱形。

此題由AD是角平分線，AE=AC，可以得到AD所在的直線是EC的垂直平分線，在加上EG//BC，這又符合我們的規律。

【規律二】

案例1：蘇教版七年級數學課本第六章《平面圖形的認識》的第一節課“線段、射線、直線”中，我們數線段的條數（要有規律去數）：線段上只標出2個點時，線段的條數為1；線段上標出3個點時，線段的條數為1+2；線段上標出4個點時，線段的條數為1+2+3；……所以我們可以推出：線段上標出n個點時，線段的條數為1+2+3+4+…+（n-1）；這個式子很長，是高中要學習的等差數列的求和問題，要給學生講清楚它的答案為什么是n（n-1）/2，現在來說很難，所以我們只能要求學生牢記這個答案了。

案例2：在第六章《平面圖形的認識》的第二節“角”中，認識完角之后，我們要數角的個數（有規律去數）：只有有公共端點的2條射線構成角時，角的個數為1；只有有公共端點的3條射線構成角時，角的個數為1+2； ……，只有有公共端點的n條射線構成角時，角的個數為1+2+3+4+…+（n-1 = n（n-1）/2；

案例3：若平面內有3個點，過其中任意兩個點畫直線，最多可以畫（1+ 2）條直線；……；若平面內有n個點，過其中任意兩個點畫直線，最多可以畫n（n-1）/2條直線。

案例4：3個小朋友在一起，每兩人握一次手，他們一共握了多少次手？4個小朋友在一起呢？n個小朋友在一起呢？

這一題思考方法與案例3相同，結果也是n（n-1）/2

案例5：平面內有n條直線，設它們的交點個數為m，請用含n的代數式表示m的最大值。

分析：（如果沒有要求表示m的最大值，這題就麻煩了）這題先從簡單情況考慮：如果是2條直線，這時m的最大值為1；如果是3條直線，為了使m的值最大，就要使第一條直線和第二條直線相交，且第三條直線與前兩條直線都相交，所以此時m的最大值為（1+2）； ……如果是n條直線，為了使m的值最大，就要使第一條直線和第二條直線相交，第三條直線與前兩條直線都相交，第四條直線與前三條直線都相交，……第n條直線與前（n-1）條直線都相交，所以此時m的最大值為：n（n-1）/2

只要學生遇到這類的題目，可以直接把答案填上去。這樣既保證做對，又節省時間。

總之，蘇教版七年級數學書中多次出現這類問題，如果學生沒有掌握規律，不會上面的式子，要想解決這類題目可以說是無從下手。作為一名老師，這就是我們價值的體現之處了。首先我們應該把這類難題理解透徹，總結規律，然后再給學生講解清楚。相信在考試中學生遇到類似的問題就可以迎刃而解了。難題之所以是難題，是因為學生平時很少碰，或是學生沒有吃透題目的內在規律。很多的難題光是靠學生自己去領悟是不行的，畢竟學生的思維能力、創新能力和已有知識水平是達不到的。這就需要我們當老師的來做領路人了。

（作者單位：江蘇省徐州市經濟技術開發區實驗學校）