培養解題反思習慣，提高數學思維品質

林忠云

摘 要： 在數學學習過程中解題能力的培養是我們共同的目標，而解題反思是提高解題能力的關鍵.通過反思問題條件、解題過程、解題規律和題目特征，可以不斷積累經驗，提高學生思維的整體性、深刻性、敏捷性和創造性，激發學生對數學探索的興趣，培養學生數學思維能力.

關鍵詞： 數學學習 解題反思 思維品質 數學思維能力

“思之自得者真，習之純熟者妙”.學生在數學學習中如果缺乏解題反思，那么他們的數學思維將不可能會有很好的提高，同時也很難再進行更深入的學習，更不可能有創新思維的品質.學生的思維品質和數學能力要想得到優化與提高，數學教師必須引導學生進行解題反思，促使學生能從多角度、多層次的全面考察、分析和思考問題，通過思考、再思考學生才易獲取新知，解題思路、方法可得到拓寬與優化，知識也就得到了同化與遷移，并能提高學習效率和問題解決的創新能力.筆者結合平時的課堂教學實踐，對解題反思的培養談談看法.

一、反思問題條件，提高思維整體性

平時學生在解數學題時，往往不善于抓住問題的各個方面，通常容易忽視其中的重要細節，沒有充分考慮到條件中的深層含義，而造成最終的解題失誤.

如學習了二次函數后，很多學生會出現下例中的錯誤.

例2：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13cm，BC=12cm，設P、Q分別為AB、AC上的動點，并分別從B、A兩點同時出發沿BA方向和AC方向做勻速移動，當Q移動到C點時，P、Q同時停止移動，移動速度均為1cm/s，設P、Q移動的時間為t.求：當t為何值時，使△APQ的面積S最大，S的最大值是多少？

圖1

錯解：如圖1，過P作PD⊥AC于D點.

由題意可知：當P、Q移動的時間為ts時，則AQ=t，AP=13-t，而△APD∽△ABC

∴■=■，即PD=■·BC=■

∴S=■AQ·PD=■t·■=-■（t-■）■+■

∵a=-■<0

∴函數S有最大值

∴當t=■時，△APQ的面積最大，S■=■.

通過反思，學生能記住“當a>0時，函數y有最小值；當a<0時，函數y有最大值”.同時也能發現錯誤的原因：是忽略了題目中的條件“函數自變量t的取值范圍”，因為可求出AC=5cm，所以P、Q移動時間t的取值范圍是：0≤t≤5，故t取不到■的值，根據a<0和對稱軸t=■，可知函數S的圖像在對稱軸的左邊，且S隨t的增大而增大，所以△APQ的最大面積不是■cm■，而是當t=5時，△APQ的最大面積為■cm■.

通過以上反思訓練，學生領悟到讀題一定要仔細，要注重知識的整體結構和對隱含條件的挖掘，注重知識的縱橫聯系，要做到“吃一塹，長一智”，從錯誤中得到教訓.由于在解題中學生通常會出現審題上的漏洞，因此必須養成對題目條件的反思習慣，做到對問題條件的有效捕捉、提取和組合，才能更好地索取新知，提高思維的整體性.

二、反思解題過程，提高思維敏捷性

“欲窮千里目，更上一層樓”，解題過程的關鍵就是要能從已知和未知中找到解題最佳途徑.完成一道題后，我們不能只做簡單的檢驗和回顧，而是要引導學生進行多層面的觀察、聯想和反思，對解題過程進行分析比較，找出最佳解法，開拓學生思路，培養學生具有“從優”、“從快”的解題思維，使學生的思維敏捷性能在變換與化歸過程中得到培養和提高.

例3（2015年福建南平市質檢卷第10題）：如圖2，線段AB=10，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上滑動（滑動過程中線段AB的長保持不變），⊙O與線段AB相切于C點.求當點A橫坐標為多少時，⊙O的面積最大，最大面積是多少？

圖2

在解答此題時，我發現大多學生都會想到當⊙O的半徑OC最長時，⊙O的面積最大.這時就會設A點的橫坐標為x（x>0），根據Rt△ABO可求得OB=■，

再由ΔAOC∽ΔABO就可得：■=■，即：OC=■■

∴OC■=-■（x■-50）■+25，∴當x■=50時，OC■的最大值為25，

∵x>0，∴當x=5■時，⊙O的面積最大，S■=25π.

此解法雖比較直接，卻也靈活運用了相似三角形的性質和二次函數最值求法.

但在試卷講評時，我就引導學生對本題題目特征及解題過程進行反思，并提出：“圓周上的點到定直徑的距離的取值范圍是多少？”引導學生能否換個思路求解.通過教師引導，師生共同反思、討論，本題看似線段AB在動，而在解題中實際可看成線段AB不動，而是點O在動，點O的運動軌跡就是以AB為直徑的半圓（如圖3），所以OC最大值就是半圓的半徑5，

此時△AOC為等腰直角三角形，所以OA=5■，又因為x>0，

所以當點A橫坐標為5■時，⊙O的面積最大，最大面積是25π.

圖3

通過此題的解題過程反思，引導學生再次認真審題、思考后，對題目的條件、結論能更深入地理解，特別是本題中由“線”動到“點”動的思維變化，讓學生的思維得以激活，促使學生解題思路得到巧妙變化，使各種解題技能、技巧與方法得到相互滲透，解題過程得到優化，學生思維的敏捷性得到培養，解題能力得到發展與提高.

三、反思解題規律，提高思維深刻性

在數學課堂教學中，教師舉的例題或練習一般都會是一種類型題的代表，解題方法往往都會有其規律性，因此，在課堂教學中教師所選的例題或練習都要精挑細選，并在例題或練習得到解決后都要有意識地引導學生進行解題規律的反思，找出解決問題的普遍適用性規律，并對今后的問題解決有所幫助，從而提高解決問題思維的深刻性，形成良好的思維品質.

如在學習二次根式化簡時，我就讓學生做了如下判斷題.

例4：判斷下列各式是否成立？

（1）■=2■ （2）■=3■

（3）■=3■ （4）■=4■.

學生通過運算，很快就得到第（1）、（3）、（4）題成立，第（2）題不成立.

這時我就趁熱打鐵，引導學生認真觀察各式的構造，反思、探索各小題的解題規律，并向學生提出：請用一個式子表示出第（1）（3）（4）小題的運算規律？

學生通過觀察探索，能得出一般式：■=n■（n為大于1的整數）.

讓學生透過問題表象，洞察其本質，對解題規律反思，能由特殊到一般的規律歸納，得出一類問題的解決方法，同時提高了學生思維的深刻性.

四、反思題目特征，提高思維創造性

阿西莫夫說“創新是科學房屋的生命力”.而對題目特征的反思，將能夠對題目進行逐步引申、變式和推廣，能夠更深入地思考、認識問題并解決問題，并挖掘、拓展出所學知識的深度和廣度，讓學生在思考問題時另辟蹊徑，會有求變、奇異的想法，從而培養學生具有創造性的思維品質，提高學生的思維發散與應變能力.

如在中考復習時，我給學生顯示如下例題.

例5（2013年福建南平市中考卷第25題）：如圖4，在矩形ABCD中，點E在BC邊上，過E作EF⊥AC于F，G為線段AE的中點，連接BF、FG、GB.設■=k.

圖4

（1）證明：△BGF是等腰三角形；

（2）當k為何值時，△BGF是等邊三角形？

（3）我們知道：在一個三角形中，等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊也相等.事實上，在一個三角形中，較大的邊所對的角也較大；反之也成立.利用上述結論，探究：當△BGF分別為銳角、直角、鈍角三角形時，k的取值范圍.

在學生求解原題后，我引導學生進行對題目的條件與結論互換，或使圖形發生變化，讓學生在條件或圖形的變化中觀察、發現其中隱含的不變量，從中找出規律，達到培養學生創造性思維的目的.

變式一：如圖4，原題中的條件只是把“EF⊥AC”改為“△BGF是等腰三角形”，而其他條件均不變.結論改為如下：

（1）求證：EF⊥AC（或EF與AC有何位置關系？并說明理由）；

（2）當k=1時，判斷△BGF是什么三角形？當k=時，△BGF又是什么三角形？并說明理由.

變式二：如圖5，已知AB⊥BE于B，EF⊥AF于F，G為AE中點.

（1）求證：A、E、B、F四點在同一個圓上.

（2）若EB、AF的延長交于C點，且AB=BC，則判斷BG與FG的位置關系，并說明理由.

圖5 圖6

圖7 圖8

（2）如圖8：若B、F在直徑AE兩側，其他條件均不變，則（1）中的結論是否均成立？并選擇其一說明理由.

這組變式題，證明思路均來源于課本的例題、習題，但通過對原題的條件和圖形進行適當的變形和引申，可將知識、能力和素質融為一體，并能體現數學知識與數學能力并重的解題思路.本題以合情推理開始，滲透探究意識自始至終，引導我們從教與學這兩個方面對學生的探究能力和創新精神進行培養，讓學生能積極探求、大膽猜想、深入挖掘，同時引導教學由結果教育向過程教育的轉變.

五、結語

居安思危，思則有備，有備無患，故解題必須反思，而本文只是對問題理解、解題過程、解題規律、問題特征進行反思探索.教師通過在課堂教學中的示范、引導，讓學生逐步養成具有反思的意識和習慣，從而提高學生分析問題、解決問題的能力，使學生的數學思維得到優化，學習效率得到提高，創造興趣和創新意識得到激發，成為創新型人才.

參考文獻：

[1]譚遠森.《在反思中“破繭”在學習中高飛》.《中學教學參考》，2009.6.

[2]林婷.《數學探究性教學中應樹立幾種意識》.《數學教學通訊》，2005.1.

[3]夏克旺.《數學學習中常見錯誤的分析與防止對策》.《中學數學教育》，2005.6.