高效數學課堂下正弦定理的教學案例解析

卞紅菊

摘 要：“正弦定理”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本）數學第一冊（下）的教學內容之一，是解可轉化為三角形計算問題的其分數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本次課的主要任務是引入并證明正弦定理，我們希望通過本課題探索高效課堂教學在高中數學教學中的應用方法和效果。

關鍵詞：高中數學;案例描述;教學反思

中圖分類號：G633.6 ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1992-7711（2015）24-107-1

一、案例描述

1.設置情境。利用投影展示：如圖，一條河的兩岸平行，河寬d=1km，因上游突發洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及人員用船轉運到正對岸的碼頭B處或其下游1km的碼頭C處。已知船在靜水中的速度|vl|=5km/h，水流速度|v2|=3km/h。

2.提出問題。師：為了確定轉運方案，請同學們設身處地地考慮一下有關的問題，將各自的問題經小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。

待各小組將題紙交給老師后，老師篩選幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經大家歸納整理后得到如下的5個問題：

（1）船應開往B處還是C處？（2）船從A開到B、C分別需要多少時間？（3）船從A到B、C的距離分別是多少？（4）船從A到B、C時的速度大小分別是多少？（5）船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？

師：大家討論一下，應該怎樣解決上述問題？

大家經過討論達成如下共識：要回答問題（1），需要解決問題（2），要解決問題（2），需要先解決問題（3）和（4），問題（3）用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題（4），問題（4）與問題（5）是兩個相關問題，因此，解決上述問題的關鍵是解決問題（4）和（5）。

師：請同學們根據平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生：船從A開往B的情況，根據平行四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1與v2的夾角θ。

生：船從A開往C的情況，|AD|=|v1|=5，|DE|=|AF|=|v2|=3，易求得∠AED=∠EAF=45°，還需求θ及v。我不知道怎樣解這兩個問題，因為以前從未解過類似的問題。

師：請大家想一下，這兩個問題的數學實質是什么？

部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。

師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？

……

3.解決問題。師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？

眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發現解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。

師：請各小組研究在Rt△ABC中，任意兩邊及其對角這4個元素間有什么關系？

多數小組很快得出結論：a/sinA=b/sinB=c/sinC。

師：a/sinA=b/sinB=c/sinC在非Rt△ABC中是否成立？

眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗。若有一個不成立，則否定結論;若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。

師：這是個好主意。請每個小組任意做出一個非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各邊的長和各角的大小，用計算器作為計算工具，具體檢驗一下，然后報告檢驗結果。

幾分鐘后，多數小組報告結論成立，只有一個小組因測量和計算誤差，得出否定的結論。教師在引導學生找出失誤的原因后指出：此關系式在任意△ABC中都能成立，請大家先考慮一下證明思路。

生：想法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。

生：因為要證明的是一個等式，所以應先找到一個可以作為證明基礎的等量關系。

師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？

學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經討論后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可能有利用價值：1.三角形的面積不變;2.三角形同一邊上的高不變;3.三角形外接圓直徑不變。

師：據我所知，從AC+CB=AB出發，也能證得結論，請大家討論一下。

……

師：同學們通過自己的努力，發現并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關系，請大家留意身邊的事例，正弦定理能夠解決哪些問題。

二、教學反思

在本課的教學中，教師立足于高效課堂模式，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實。

高效課堂教學模式的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。這種教學模式主張以問題為連線組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，因此，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵。教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數學基礎、生活經歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環境、教師對提問的態度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創設適宜的數學情境，而且要真正轉變對學生提問的態度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。教師還要積極引導學生對所提的問題進行分析、整理，篩選出有價值的問題，注意啟發學生揭示問題的數學實質，將提問引向深入。