高中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用探討

尚軍

【摘 要】本文在分析數(shù)形結(jié)合概念和運用意義的基礎(chǔ)上，探究高中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合運用的有效策略，提出了利用數(shù)形結(jié)合促進代數(shù)知識的形象化，更好地幫助學生掌握解析幾何，使函數(shù)中的數(shù)與形相得益彰、有機結(jié)合等三種應(yīng)用途徑。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學 數(shù)形結(jié)合 學生主體

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）11B-0156-02

高中數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合法就是根據(jù)題目所給的已知條件畫出所研究問題的有關(guān)圖形或曲線，然后借助有關(guān)圖形或曲線對所研究的數(shù)學問題作出直觀性的判斷，從而得出結(jié)論。高中數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合思想包含“以數(shù)輔形”和“以形助數(shù)”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為以下兩種情形：一是借助形的直觀性和生動性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，例如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。

一、數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學教學中應(yīng)用的其中兩個意義

數(shù)形結(jié)合已經(jīng)被廣泛地運用于高中數(shù)學課堂教學中，對提高教學質(zhì)量和學生的發(fā)展具有重要的意義。

（一）數(shù)形結(jié)合法能提高高中生邏輯思維能力

根據(jù)皮亞杰的思維發(fā)展理論，高中生的思維處于抽象邏輯思維發(fā)展階段，但是由于高中生的感性經(jīng)驗還不夠，邏輯思維能力還不成熟，還不能夠完全運用數(shù)量的邏輯性來分析和理解數(shù)學問題，有時用邏輯思維形式來分析問題時反而會使其出現(xiàn)思維混亂的現(xiàn)象，影響學生學習的積極性和思維水平的提高。高中生的學習依賴于具體形象化事物的支撐，數(shù)形結(jié)合思想一方面是用圖象來表示文字信息，即利用數(shù)軸、函數(shù)圖象、幾何圖象等來表達函數(shù)關(guān)系，使抽象的函數(shù)模型形象化，是對抽象概念的直觀表達；另一方面是用數(shù)量關(guān)系來分析圖形內(nèi)部的數(shù)量關(guān)系，將圖形轉(zhuǎn)化成函數(shù)，是對圖形進行抽象和概括。數(shù)形結(jié)合方法能更加有效地幫助學生對知識的吸收和內(nèi)化，提高學生的邏輯思維能力。

（二）數(shù)形結(jié)合法能激發(fā)學生的學習興趣

高中數(shù)學的概念、公式、原理等知識是相對枯燥的，一些學生因此而對課堂教學失去興趣。尤其是很多在小學和初中沒有打下好基礎(chǔ)的學生，在高中數(shù)學函數(shù)關(guān)系分析中出現(xiàn)學習困難的現(xiàn)象。數(shù)形結(jié)合為抽象的函數(shù)關(guān)系附上了形象化的圖形，使教學內(nèi)容變得更加豐富和有趣。在數(shù)與形的轉(zhuǎn)換中，學生可以感知到數(shù)學的魅力，懂得數(shù)與形的統(tǒng)一性，掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而更有興趣地去學習數(shù)學。因此能更好地調(diào)動學生學習的積極性，使學生的思維處于主動的狀態(tài)，提高課堂教學效率。

二、數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學教學中應(yīng)用的有效策略

（一）利用數(shù)形結(jié)合促進代數(shù)知識的形象化

由于高中生的抽象思維水平還比較低，因而在代數(shù)知識的學習過程中還需要借助圖形來獲得感性認識，并在此基礎(chǔ)上逐漸進行抽象思維，緊縮代數(shù)知識的思考時間。例如，在《集合》的學習過程中，交集、并集、補集如果只通過概念來進行分析，那么很難形成清晰概念，在練習中會經(jīng)常混淆。在教學中教師通常采用案例加圖示的方法來進行講解，如 A={3，5，6，8}，B={3，5，6}，A∩B={3，5，6}。通過兩個圓表示 A∩B，借助圖示引導學生分析概念，并數(shù)學化地表示 A∩B，即 A∩B∈A，且A∩B∈B。借助圖形，學生在記憶的過程中，其腦海里呈現(xiàn)出兩圓的關(guān)系，增加概念的識別度。在這個過程中，圖形使代數(shù)知識的學習更加形象化。學生在深化理解概念后，就會使其邏輯思維能力得到發(fā)展。

（二）利用數(shù)形結(jié)合更好地幫助學生掌握解析幾何

高中的解析幾何知識是高考必考的內(nèi)容之一，且在所有題型中所占比值相對較高。對于學生來說，這種題目的得分率相比其他題較低，但學生只要掌握了一定的解題技巧，即將題目的“數(shù)”與“形”有機結(jié)合起來，并在此基礎(chǔ)上，將題目所給的已知條件進行合理應(yīng)用，那么就會迎刃而解。因此，準確運用數(shù)形結(jié)合的解題方法解決和處理高中解析幾何問題是有效的方法之一。下面就數(shù)形結(jié)合在解決解析幾何軌跡方程方面的應(yīng)用進行舉例說明。

幾何軌跡屬于幾何類，方程屬于代數(shù)類，解析幾何軌跡方程本身就是一種數(shù)形結(jié)合，因此，解決解析幾何軌跡方程問題最好的方法就是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法。縱觀近幾年各地高考數(shù)學試題，每一年各有一道選擇題和一道解答題來考查有關(guān)解析幾何軌跡方程方面的知識，甚至有些地方的壓軸題要用數(shù)形結(jié)合法才能解決。因此，數(shù)形結(jié)合方法對解決解析幾何軌跡方程問題十分有效。

〖例1〗如下圖所示，點 F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是橢圓 的左、右焦點，過點 F1 作 x 軸的垂線交橢圓 C 的上半部分于點 P，過點 F2 作直線 PF2 的垂線交直線 于點 Q。

（1）如果點 Q 的坐標是（4，4），求此時橢圓 C 的方程；

（2）證明：直線 PQ 與橢圓 C 只有一個交點。

〖解析〗（1）由條件知，，故直線 PF2 的斜率為 ，因為PF2⊥F2Q，所以直線 F2Q 的方程，故 。

由題設(shè)知，，2a=4，解得 a=2，c=1。故橢圓方程為。

（2）因為直線 PQ 的方程為，即，將上式代人橢圓方程得，解得 x=-c，，所以直線 PQ 與橢圓 C 只有一個交點。

（三）利用數(shù)形結(jié)合使函數(shù)中的數(shù)與形相得益彰、有機結(jié)合

著名數(shù)學家華羅庚曾說“形少數(shù)時難入微，數(shù)少形時缺直觀”。很顯然這句話告訴大家只有數(shù)形結(jié)合，才能使得數(shù)形相得益彰、相輔相成、有機結(jié)合。數(shù)學函數(shù)具有抽象性、靈活性、應(yīng)用性等特征，函數(shù)圖象能形象、直觀地反應(yīng)函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性等函數(shù)的基本屬性。因此，在學習高中數(shù)學函數(shù)時，教師應(yīng)盡量讓學生抓住函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征與幾何圖象特征的一一對應(yīng)、緊密結(jié)合這一優(yōu)勢，讓學生利用函數(shù)定性或定量地描繪函數(shù)圖象，然后利用函數(shù)圖象的直觀性、形象性來分析函數(shù)的性質(zhì)，以更有利于學生深刻理解函數(shù)知識，掌握函數(shù)中的數(shù)與形的內(nèi)在關(guān)系。下面列舉一實例來說明數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用。

〖例2〗已知 f（x）=x2+2（1-a）x+2 在（-∞，4]上是減函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍。

〖解析〗函數(shù)解析式中含有字母，因此函數(shù)在坐標系內(nèi)的具體位置不能固定，需要畫圖分析，看何種情況才能滿足題干要求。

通過圖象分析可知：若要滿足函數(shù)在給定區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，只能是后兩種情況，也就是函數(shù)圖象的對稱軸不能出現(xiàn)在所給區(qū)間內(nèi)，從而為解題找到突破口。

所給函數(shù)對稱軸方程：x=a-1，由圖象分析可知，需有，從而 。

該類問題常見于二次函數(shù)中，因其單調(diào)性與對稱軸的位置有關(guān)，故通常畫圖分析更能直觀地找出題目所隱含的意義，從而快速得出結(jié)論。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學中的重要指導思想，對于簡化教學，促進學生的發(fā)展具有重要的作用。在教學中要充分利用數(shù)形轉(zhuǎn)化思想激發(fā)學生思考，發(fā)展學生的數(shù)學分析能力。具體來說，利用數(shù)形結(jié)合促進代數(shù)知識的形象化；利用數(shù)形結(jié)合促進幾何知識的數(shù)學化；數(shù)形結(jié)合，促進數(shù)學的綜合學習，提高課堂教學效率。

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（責編 盧建龍）