高中數學教學中數形結合法的應用探討

尚軍

【摘 要】本文在分析數形結合概念和運用意義的基礎上，探究高中數學教學中數形結合運用的有效策略，提出了利用數形結合促進代數知識的形象化，更好地幫助學生掌握解析幾何，使函數中的數與形相得益彰、有機結合等三種應用途徑。

【關鍵詞】高中數學 數形結合 學生主體

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）11B-0156-02

高中數學中的數形結合法就是根據題目所給的已知條件畫出所研究問題的有關圖形或曲線，然后借助有關圖形或曲線對所研究的數學問題作出直觀性的判斷，從而得出結論。高中數學中的數形結合思想包含“以數輔形”和“以形助數”兩個方面，其應用大致可以分為以下兩種情形：一是借助形的直觀性和生動性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，例如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質；二是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

一、數形結合在高中數學教學中應用的其中兩個意義

數形結合已經被廣泛地運用于高中數學課堂教學中，對提高教學質量和學生的發展具有重要的意義。

（一）數形結合法能提高高中生邏輯思維能力

根據皮亞杰的思維發展理論，高中生的思維處于抽象邏輯思維發展階段，但是由于高中生的感性經驗還不夠，邏輯思維能力還不成熟，還不能夠完全運用數量的邏輯性來分析和理解數學問題，有時用邏輯思維形式來分析問題時反而會使其出現思維混亂的現象，影響學生學習的積極性和思維水平的提高。高中生的學習依賴于具體形象化事物的支撐，數形結合思想一方面是用圖象來表示文字信息，即利用數軸、函數圖象、幾何圖象等來表達函數關系，使抽象的函數模型形象化，是對抽象概念的直觀表達；另一方面是用數量關系來分析圖形內部的數量關系，將圖形轉化成函數，是對圖形進行抽象和概括。數形結合方法能更加有效地幫助學生對知識的吸收和內化，提高學生的邏輯思維能力。

（二）數形結合法能激發學生的學習興趣

高中數學的概念、公式、原理等知識是相對枯燥的，一些學生因此而對課堂教學失去興趣。尤其是很多在小學和初中沒有打下好基礎的學生，在高中數學函數關系分析中出現學習困難的現象。數形結合為抽象的函數關系附上了形象化的圖形，使教學內容變得更加豐富和有趣。在數與形的轉換中，學生可以感知到數學的魅力，懂得數與形的統一性，掌握數與形的轉換關系，從而更有興趣地去學習數學。因此能更好地調動學生學習的積極性，使學生的思維處于主動的狀態，提高課堂教學效率。

二、數形結合在高中數學教學中應用的有效策略

（一）利用數形結合促進代數知識的形象化

由于高中生的抽象思維水平還比較低，因而在代數知識的學習過程中還需要借助圖形來獲得感性認識，并在此基礎上逐漸進行抽象思維，緊縮代數知識的思考時間。例如，在《集合》的學習過程中，交集、并集、補集如果只通過概念來進行分析，那么很難形成清晰概念，在練習中會經常混淆。在教學中教師通常采用案例加圖示的方法來進行講解，如 A={3，5，6，8}，B={3，5，6}，A∩B={3，5，6}。通過兩個圓表示 A∩B，借助圖示引導學生分析概念，并數學化地表示 A∩B，即 A∩B∈A，且A∩B∈B。借助圖形，學生在記憶的過程中，其腦海里呈現出兩圓的關系，增加概念的識別度。在這個過程中，圖形使代數知識的學習更加形象化。學生在深化理解概念后，就會使其邏輯思維能力得到發展。

（二）利用數形結合更好地幫助學生掌握解析幾何

高中的解析幾何知識是高考必考的內容之一，且在所有題型中所占比值相對較高。對于學生來說，這種題目的得分率相比其他題較低，但學生只要掌握了一定的解題技巧，即將題目的“數”與“形”有機結合起來，并在此基礎上，將題目所給的已知條件進行合理應用，那么就會迎刃而解。因此，準確運用數形結合的解題方法解決和處理高中解析幾何問題是有效的方法之一。下面就數形結合在解決解析幾何軌跡方程方面的應用進行舉例說明。

幾何軌跡屬于幾何類，方程屬于代數類，解析幾何軌跡方程本身就是一種數形結合，因此，解決解析幾何軌跡方程問題最好的方法就是應用數形結合法。縱觀近幾年各地高考數學試題，每一年各有一道選擇題和一道解答題來考查有關解析幾何軌跡方程方面的知識，甚至有些地方的壓軸題要用數形結合法才能解決。因此，數形結合方法對解決解析幾何軌跡方程問題十分有效。

〖例1〗如下圖所示，點 F1（-c，0），F2（c，0）分別是橢圓 的左、右焦點，過點 F1 作 x 軸的垂線交橢圓 C 的上半部分于點 P，過點 F2 作直線 PF2 的垂線交直線 于點 Q。

（1）如果點 Q 的坐標是（4，4），求此時橢圓 C 的方程；

（2）證明：直線 PQ 與橢圓 C 只有一個交點。

〖解析〗（1）由條件知，，故直線 PF2 的斜率為 ，因為PF2⊥F2Q，所以直線 F2Q 的方程，故 。

由題設知，，2a=4，解得 a=2，c=1。故橢圓方程為。

（2）因為直線 PQ 的方程為，即，將上式代人橢圓方程得，解得 x=-c，，所以直線 PQ 與橢圓 C 只有一個交點。

（三）利用數形結合使函數中的數與形相得益彰、有機結合

著名數學家華羅庚曾說“形少數時難入微，數少形時缺直觀”。很顯然這句話告訴大家只有數形結合，才能使得數形相得益彰、相輔相成、有機結合。數學函數具有抽象性、靈活性、應用性等特征，函數圖象能形象、直觀地反應函數的定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性等函數的基本屬性。因此，在學習高中數學函數時，教師應盡量讓學生抓住函數性質的數量特征與幾何圖象特征的一一對應、緊密結合這一優勢，讓學生利用函數定性或定量地描繪函數圖象，然后利用函數圖象的直觀性、形象性來分析函數的性質，以更有利于學生深刻理解函數知識，掌握函數中的數與形的內在關系。下面列舉一實例來說明數形結合在函數中的應用。

〖例2〗已知 f（x）=x2+2（1-a）x+2 在（-∞，4]上是減函數，求實數 a 的取值范圍。

〖解析〗函數解析式中含有字母，因此函數在坐標系內的具體位置不能固定，需要畫圖分析，看何種情況才能滿足題干要求。

通過圖象分析可知：若要滿足函數在給定區間上為單調函數，只能是后兩種情況，也就是函數圖象的對稱軸不能出現在所給區間內，從而為解題找到突破口。

所給函數對稱軸方程：x=a-1，由圖象分析可知，需有，從而 。

該類問題常見于二次函數中，因其單調性與對稱軸的位置有關，故通常畫圖分析更能直觀地找出題目所隱含的意義，從而快速得出結論。

綜上所述，數形結合思想是高中數學中的重要指導思想，對于簡化教學，促進學生的發展具有重要的作用。在教學中要充分利用數形轉化思想激發學生思考，發展學生的數學分析能力。具體來說，利用數形結合促進代數知識的形象化；利用數形結合促進幾何知識的數學化；數形結合，促進數學的綜合學習，提高課堂教學效率。

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（責編 盧建龍）