武紹利

[摘 要] 因種種主客觀原因，高中學生的運算能力總不盡如人意.將數學運算能力的培養放到核心素養的視角下，可以建構起對數學運算的理性認識，而這是符合高中學生認知特點的. 通過學習反思激發學生對運算的認識，通過成功的運算來滿足學生自我實現的需要，可以為數學運算能力的形成提供強大的內驅力. 這是數學運算能力培養的根本策略.

[關鍵詞] 高中數學；數學核心素養；運算能力；培養策略

談及運算能力的培養，似乎總難以成為高中數學教學研究的重要對象，因為在很多學生的心目中甚至是在教師認識當中，運算能力總多少帶有一些“小兒科”的意思，難登高中數學教學的大雅之堂. 但從學生的實際學習來看，因為運算出錯又常常是考試失分的重要原因. 而且，即使教師在教學中跟學生強調運算的重要并給予了些指導，其效果總不太理想.筆者以為這里的原因是多方面的，而其中不可忽視的一面，則是沒有將運算能力的培養放到一個科學的高度去認識并研究，因而培養策略也就難以深入學生內心. 反之，如果將運算能力的培養放到學科核心素養的角度去認識，就可以在實際教學中獲得更為深刻的認識.

[?] 數學學科核心素養下運算能力的認識

學科核心素養被稱為繼課程改革之后基礎教育最重要的研究成果，其在綜合了國外已有經驗的基礎上，對國內的總體教學以及學科教學提出了新的理念與認識.就數學學科而言，其既沿襲了傳統數學教學中的精髓，又融入了新的理解. 根據當前最新的研究成果，數學學科的核心素養可以從數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等六個方面加以闡述.其中，數學運算與本文的主題直接相關，而其余五個因素其實也是支撐學生運算的重要素養. 從數學學科核心素養的六個方面來理解數學運算，可以對高中數學教學中學生運算能力形成這樣的三點認識：

第一，數學運算反映了學生的數學素養. 數學運算是利用運算法則解決數學問題的過程，在這個過程中，學生需要經歷分析運算對象，猜想運算方向，選擇運算規則，計算并判斷問題結果等環節，這些環節中，其他的核心素養常常也需要發揮作用，如在分析運算對象的時候，就常常用到數學建模，在選擇運算規則的時候也必然會用到邏輯推理，運算的過程本身就是一個數據分析的過程，在猜測運算方向與判斷運算結果的時候，直觀想象也會發揮重要的作用. 因此，數學運算可以說是其他所有數學核心素養的集中呈現過程，因此從數學學科核心素養的角度來建構對數學運算及其策略培養的認識，是極為必要且妥當的.

第二，數學運算能力的培養策略是一個綜合性的認知能力提升過程. 從學習心理學的角度來看，數學運算能力應當屬于認知能力而非技能，因此數學運算能力的培養策略更多的是一種認知層面的研究，有研究者指出，高中階段的數學運算具有兩個基本特征：一是層次性. 層次性是指數學運算中的知識梯度與難度梯度，從有理數的運算到實數的運算，從等式的解決到不等式的解決，從方程的建立到函數的建立，都顯示出高中數學所獨有的層次性特征；二是綜合性.高中階段的數學運算通常都比較復雜，不僅需要綜合運算數學知識，還需要綜合運用各項能力，從基本的記憶到理解，到推理，到聯想，到表達等，可以不夸張地講，只要其中任何一項能力有所不足，其運算過程都會有所顯現.

第三，數學運算能力的形成與數學核心素養形成的過程具有同步特征. 學科核心素養是基于核心素養的一般意義而提出來的下位概念，高中數學教學視野下的核心素養，更多的要基于高中數學的知識特點，讓學生通過嚴格的邏輯思維去構建新的數學知識，并在此過程中逐步認識數學學習的特點與規律，這種認識的過程實際上也就是數學素養形成的過程. 高中數學強調數學知識與生活的聯系，也強調數學知識來源于生活實踐，因此將數學知識與生活聯系起來的意識與能力，也就成為數學學科素養的重要組成部分. 其實在學生的生活中，數學學科素養是常常存在的，生活中相關問題的解決常常需要建立模型，而這種能力往往就形成于數學建模的過程；而生活中的數據分析能力則是基本的生活能力，直觀想象與邏輯推理等亦是生活中常常需要的一種能力，因此當數學學習中形成的能力遷移到生活中時，就是數學學科表現其素養的一面的時候.

從這兩點可以看出，高中階段的數學運算與數學核心素養密切相關，而數學運算能力的培養策略亦可因核心素養之高屋而建瓴.

[?] 基于數學核心素養激發學生運算需要

在我們的研究中發現，學生運算能力差的首要原因，就在于自身缺乏對數學運算的科學認識.如文章開頭所說，不少學生將數學學習的重心放在知識建構上，而對運算則顯得有些不屑. 于是在實際教學中，筆者考慮到高中學生的理性認知需要，嘗試從激發運算需要的角度形成數學運算能力培養的基本策略.

學生的運算需要如何激發？第一步，在學生的學習成就感中提取運算需要. 筆者在研究中重點實施的一個策略，就是在課堂教學或者是考試評價中，當學生成功地攻克某個難點或者更深一步認識某個規律時，筆者總會引導學生去反思：之所以能夠突破思維的難點，其原因是什么？這樣的學習反思，總能夠讓學生在其中發掘到數學運算的影子. 筆者總結了學生在學習反思中的一些認識，發現有一個基本規律，那就是學生的表達實際上總能夠在數學核心素養的六個方面尋找到痕跡，比如說在函數相關運算中，定義域之于單調性的作用是不言而喻的，而學生在多次出錯之后獲得成功，就能夠通過對自己學習過程的對比，發現定義域的重要性，這其中實際上學生已經用到了對比的邏輯思維，用到了對自己錯誤思維的深入分析. 再加上學生從分析問題到通過運算成功地求得問題之解，總會以數學抽象為基礎，以數學建模為突破，進而打開數學運算的思路. 一旦學生通過反思獲得這樣的認識，他們常常就有一種豁然開朗的感覺，這就是一種成就感，在這種成就感中認識到運算所具有的重要性，是激發運算需要的重要基礎.

第二步，運用專題運算訓練的策略. 專題訓練是鞏固運算積極性的重要舉措，研究表明，高中學生通常都有著很強的自我實現的需要，在學生認識到運算的重要性之后，通過不同題型（筆者通常是根據知識類型和運算類型來遞進進行的）去讓學生進行運算的訓練，而待學生的運算結果達到一定的合格率之后，就給予他們以積極的評價，同時在日常的考試評價中需要有意識地滲透一些類似的題型，以進一步鞏固學生的成就感. 這里所說的專題訓練與常規的習題專題并不完全相同，其訓練的目的不是學生的綜合性的解題能力，因此通常需要淡化分析這個環節，也就是說不需要通過過于復雜的分析以避免占用運算所用的時間，但如果過于簡單又不大可能具有真正的訓練運算的功能.因此筆者所用的專題習題，常常是通過需要數學建模與邏輯推理的方式建立等量關系，同時又具有一定運算量的習題，這樣既能在建模環節培養學生的數學核心素養，同時又能夠培養學生的運算能力，因此可以說是一種能夠在運算能力與學科核心素養方面兼顧的有效策略.

這兩步相對于傳統的策略而言，其目標直接指向學生的一種內在的動力，相比較外驅力而言，這一策略更具效果.

[?] 高效運算策略背后數學核心素養理解

在本問題研究的過程中，筆者有一個重要的發現，那就是教師根據學生的考試情況或學習情況所總結出來的運算能力培養策略，有時候與學生的學習需要差距是很大的，教師的努力總不能獲得學生的認同，因而常常勞而無功. 反之，如果真正理解了數學核心素養，就知道數學核心素養的六個方面其實都是以學生為中心的，只有學生學會了數學抽象與數學建模，只有學生會進行邏輯推理與直觀想象，只有當學生在數學分析的基礎上進行正確的數學運算時，才能說學生真正具有了數學核心素養.

其實，從另一個方面來看，學生的運算能力確實就是數學核心素養的重要體現，因為運算的過程實際上就是數學運算規則運用的過程，尤其是高中階段的數學運算，遠不是加減乘除那樣簡單，其中涉及數據處理的許多技巧，涉及豐富的邏輯思維的運用，特別是對于直覺思維能力的要求非常高，一個等式出現之后如何迅速準確地尋找到解題的思路，往往都是由直覺思維決定的，這種直覺思維本身就是數學核心素養的一個重要組成部分，因此從這個角度理解數學核心素養，其就不是一個生疏的概念，也不是一個與傳統教學思路格格不入的概念，完全可以在已有教學經驗的基礎上去構建新的關于核心素養的理解.

因此，對于數學運算能力的培養策略，最根本的就是激發學生對數學運算的積極態度，并通過學生所生成的成就感以形成內驅力，這是高中學生運算能力形成的最根本的途徑.