高中數學例題設置的原則分析

楊杰

[摘 要] 高中數學教學不可缺失例題，借助于例題可以幫助學生內化知識、理順思維，既然例題在教學過程中起到這么大的作用，例題的設置也應當遵循一定的教學規律，在科學合理的規劃中才能實現例題教學的最優教學效果.

[關鍵詞] 高中數學；例題；例題設置；原則

在高中數學的教學內容中，例題教學扮演著重要的角色，是奠定學生知識基礎的重要組成部分. 在例題教學中，教師可以通過例題把抽象的理論知識與具象的客觀實際相連接起來. 學生在例題教學中，不僅僅可以掌握到解題的技巧和方法，而且能夠在例題教學中得到思維的拓展和延伸，實現綜合素質的全面提升. 當然，高中數學是一門立足于生活而總結出來的具有抽象邏輯規律的學科，具有嚴密的邏輯性. 高中數學教學過程中例題的處理對學生的思維的培養和教育有極其重要的作用，是學生邏輯思維能力和抽象思維能力發展的重要途徑，能夠為學生的長久健康發展打下堅實的思維基礎. 因此，高中數學教學中例題的重要性不言而喻.那么，我們如何有效設置例題呢？本文要探討的就是如何才能合理地運用“例題”最大限度地推進高中數學教學的發展和進步，筆者認為可以從以下幾個策略角度來進行探討.

[?] 例題設置要具有目的性

教學目標是教學之始，亦是歸宿！例題的設置應該是促進教學目標的達成，因此我們的例題設置應該具有明確的目的性！所謂目的性是指教師在進行例題教學時，要有明確的教學目標作為教學行為的指導，保證教學活動的目的性. 對于例題設置的目的性，筆者認為應該注意如下幾個方面：

1. 例題的目標指向教學內容

教材內容中有許多的例題，每一個例題都是針對某一教學內容而進行設計，或者例題所牽涉的教學內容一致.

2. 例題的目標指向學生的個性化需求

學生存在個體差異，而我們的教學應該面向全體學生，所以我們的例題選擇難易程度、解題角度應該有層次，確保不同的例題對學生的解題素養的提升都有幫助.

3. 例題的目標指向課堂的不同環節

在教學的不同環節，教學的內容也要求存在層次遞進的邏輯關系. 比如說，在教學活動的開端，例題的作用可能只是為了激發學生的學習興趣，引入教學內容的概念；隨著教學內容的正式開展，例題的作用應該是引入客觀規律和定理，幫助學生掌握基礎的數學知識；再接著運用例題來幫助學生在腦海里建構起理論與實際的溝通橋梁，在實際操作中訓練學生的解題思路和解題技巧，使得學生能夠將知識完全內化吸收并進行靈活運用；最后，教師可以利用例題來進行拓展和延伸訓練，在基礎知識的基礎上對教學內容進行進一步的拓展和提升，不斷提高學生的綜合素養.在不同的教學環節，意味著不同的教學內容和不同的教學目標，需要運用不同的例題來進行教學.

如何讓例題設置目的性鮮明呢？筆者認為需要教師深入分析教材和學生學情，在選擇例題時，針對例題的特征和作用進行合理的分配和調動，將例題的價值發揮到最大.

[案例1] 比如學生學習了“函數奇偶性”后，筆者對教材和學情進行了分析，在此分析的基礎上有目的地設置了幾道例題.

教材及學情分析：奇偶性是函數的重要性質，對高一新生而言，其對于奇偶性的認知往往僅限于兩個層面，即重要的代數表達式及圖像對稱性，但是由于函數模型出現了如分段函數、抽象函數等，學生對于“奇偶性”這一概念的理解并不到位.

例1 判斷下列函數的奇偶性.

（1）f（x）=2x3+x，x∈R；

（2）f（x）=2x2+1，x∈[-2，2]；

（3）f（x）=x2-1，x∈[-2，2）；

（4）f（x）=x3-x，x∈（0，+∞）.

設計意圖：這個例題設置的目的在于首先回顧奇偶性最本質、最初的概念屬性，如何判斷基本初等函數的奇偶性？定義域是首先要考慮的原則，其次是概念的代數屬性運用，以及幾何屬性入手判斷.

總之，在數量繁多的教學例題中，根據教學目標的不同，例題與例題之間存在著不同程度上的差異. 為了保證教師教學的高效性，在選用例題時要遵循目的性的原則，以切合教學目標為唯一標準，多方面來考量，比如說例題背后的教學內容、難易程度、出題角度，掌握要求等，力求每一次的例題選擇都是最切合教學需求的例題.

[?] 例題設置要落于學生的最近發展區內

學生是教學的主體，我們的例題設置必須能夠讓學生所接受，怎樣的例題是學生所能接受的呢？筆者認為不是憑借教師的經驗來設置例題的，必須從學生的認知水平和接受能力來考量，即例題的設置要落于學生的最近發展區內，這是例題良好教學效果的必要保證. 例題教學其教學目的就是為了促進學生的數學素養得到提升，幫助學生更好地掌握和運用數學基礎原理. 因此，例題教學必須要遵循接受性這一教學規律，以學生的良好接受程度來保證例題教學的效果. 如何實現呢？這就要求教師一方面要對學生進行全面的了解和掌握，基本掌握好學生的數學基礎狀況、認知能力水平的高低、性格特征和價值取向、學習興趣和狀態等；另一方面，教師也要對例題進行透徹的分析和把握，對例題的內容、知識范圍、與前后知識的聯系、技能水平、難易程度等要一清二楚.只有在這樣的全局掌控中，教師才能進行例題的最優分配，達到最優的教學效果. 保證每一次的例題都能滿足學生的學習需求，使得學生能夠實現一個層次的進步和發展.

[案例2] 筆者在講解三角函數的變換時就給學生展示了一組例題.

例2 化下列各式為一個角的三角函數形式.

（1）sinα+cosα；

（2）sinα-cosα；

（3）asinα+bcosα.

從例題的設置來看，例2的幾個子問題是有層次性的，可以引出最終的數學公式：asinα+bcosα=sin（α+φ）. 筆者考慮到學生的認知基礎并沒有直接讓學生化解子問題（3），為了讓學生能夠有梯度地更好地了解和掌握這一個應用十分普遍的公式，筆者以前兩道例題為鋪墊，逐漸提升難度，分散難點，由表及里、由淺入深逐步地揭示公式的本質.這樣，既可以實現教學內容的目標完成，又能夠保證學生都聽得懂.

[?] 例題設置要滲透數學思想方法

數學思想方法是較高層次的數學知識，例題設置要滲透數學思想方法，這切合當前新課程改革提出來的發展核心素養的教學要求，隨著“應試教育”到“素質教育”的轉變的逐步完成，教學過程中，學生知識的積累不再是唯一的教學目標，學生思維能力的拓展和綜合素質的提高也被納入教學目標之中，在高中數學教學中也是一樣，教師要利用好例題教學來實現學生思維的培養，以啟發性的例題來引導學生進行思維的探索，在探索中謀求解決問題的方法，在解決問題的過程中得到思維的拓展，解決完例題后，還要引導學生進一步反思有沒有其他解法，繼而實現解決問題的途徑的多元化，而每一種解法往往又涉及不同的數學思想方法，能夠促進學生多角度思考同一個問題的能力及數學核心素養的提升.

[案例3] 如筆者在高三復習課上，選擇一道高考題作為例題.

例3 如圖1所示，設F1，F2分別為橢圓+y2=1的兩個焦點，點A，B在橢圓上，若=5，求點A的坐標.

設計意圖：我們發現本題條件簡單，題意也言簡意賅，但是從圖中一分析，學生發現一個最為困難的地方是題干中出現的四點不共線，雖在頭腦中有常常說的求解直線和圓錐曲線位置關系的“設而不求”思想，但在這里依然不知從何入手！利用最直接的思維也可以解決問題，不過這往往會帶來大量的運算，怎么辦？四點不共線能否與“設而不求”的思想方法相結合呢？學生通過反思和進一步的圖形研究，發現這里涉及很重要的橢圓性質——對稱性！只需要利用橢圓對稱性，設而不求的思想可以躍然紙上，再由韋達定理解決問題.

總之，例題教學在數學教學中占據著基礎性的地位，是學生掌握數學原理的必要途徑. 因此，對例題教學的高度重視可以對數學教學的整體效果產生重要影響. 任何抽象的邏輯規律都是從無數的實踐中總結歸納而來的，自然，客觀而抽象的規律適用于任何的實踐活動. 在教學中，教師運用例題將難以理解的抽象理論與生動具體的實際問題相結合，讓學生能夠在教學過程中獲得知識、技能、思維、情感等多方面的發展和進步.