高中數(shù)學(xué)例題設(shè)置的原則分析

楊杰

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)不可缺失例題，借助于例題可以幫助學(xué)生內(nèi)化知識、理順?biāo)季S，既然例題在教學(xué)過程中起到這么大的作用，例題的設(shè)置也應(yīng)當(dāng)遵循一定的教學(xué)規(guī)律，在科學(xué)合理的規(guī)劃中才能實(shí)現(xiàn)例題教學(xué)的最優(yōu)教學(xué)效果.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；例題；例題設(shè)置；原則

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中，例題教學(xué)扮演著重要的角色，是奠定學(xué)生知識基礎(chǔ)的重要組成部分. 在例題教學(xué)中，教師可以通過例題把抽象的理論知識與具象的客觀實(shí)際相連接起來. 學(xué)生在例題教學(xué)中，不僅僅可以掌握到解題的技巧和方法，而且能夠在例題教學(xué)中得到思維的拓展和延伸，實(shí)現(xiàn)綜合素質(zhì)的全面提升. 當(dāng)然，高中數(shù)學(xué)是一門立足于生活而總結(jié)出來的具有抽象邏輯規(guī)律的學(xué)科，具有嚴(yán)密的邏輯性. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中例題的處理對學(xué)生的思維的培養(yǎng)和教育有極其重要的作用，是學(xué)生邏輯思維能力和抽象思維能力發(fā)展的重要途徑，能夠?yàn)閷W(xué)生的長久健康發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的思維基礎(chǔ). 因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中例題的重要性不言而喻.那么，我們?nèi)绾斡行гO(shè)置例題呢？本文要探討的就是如何才能合理地運(yùn)用“例題”最大限度地推進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展和進(jìn)步，筆者認(rèn)為可以從以下幾個(gè)策略角度來進(jìn)行探討.

[?] 例題設(shè)置要具有目的性

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)之始，亦是歸宿！例題的設(shè)置應(yīng)該是促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，因此我們的例題設(shè)置應(yīng)該具有明確的目的性！所謂目的性是指教師在進(jìn)行例題教學(xué)時(shí)，要有明確的教學(xué)目標(biāo)作為教學(xué)行為的指導(dǎo)，保證教學(xué)活動的目的性. 對于例題設(shè)置的目的性，筆者認(rèn)為應(yīng)該注意如下幾個(gè)方面：

1. 例題的目標(biāo)指向教學(xué)內(nèi)容

教材內(nèi)容中有許多的例題，每一個(gè)例題都是針對某一教學(xué)內(nèi)容而進(jìn)行設(shè)計(jì)，或者例題所牽涉的教學(xué)內(nèi)容一致.

2. 例題的目標(biāo)指向?qū)W生的個(gè)性化需求

學(xué)生存在個(gè)體差異，而我們的教學(xué)應(yīng)該面向全體學(xué)生，所以我們的例題選擇難易程度、解題角度應(yīng)該有層次，確保不同的例題對學(xué)生的解題素養(yǎng)的提升都有幫助.

3. 例題的目標(biāo)指向課堂的不同環(huán)節(jié)

在教學(xué)的不同環(huán)節(jié)，教學(xué)的內(nèi)容也要求存在層次遞進(jìn)的邏輯關(guān)系. 比如說，在教學(xué)活動的開端，例題的作用可能只是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引入教學(xué)內(nèi)容的概念；隨著教學(xué)內(nèi)容的正式開展，例題的作用應(yīng)該是引入客觀規(guī)律和定理，幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識；再接著運(yùn)用例題來幫助學(xué)生在腦海里建構(gòu)起理論與實(shí)際的溝通橋梁，在實(shí)際操作中訓(xùn)練學(xué)生的解題思路和解題技巧，使得學(xué)生能夠?qū)⒅R完全內(nèi)化吸收并進(jìn)行靈活運(yùn)用；最后，教師可以利用例題來進(jìn)行拓展和延伸訓(xùn)練，在基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行進(jìn)一步的拓展和提升，不斷提高學(xué)生的綜合素養(yǎng).在不同的教學(xué)環(huán)節(jié)，意味著不同的教學(xué)內(nèi)容和不同的教學(xué)目標(biāo)，需要運(yùn)用不同的例題來進(jìn)行教學(xué).

如何讓例題設(shè)置目的性鮮明呢？筆者認(rèn)為需要教師深入分析教材和學(xué)生學(xué)情，在選擇例題時(shí)，針對例題的特征和作用進(jìn)行合理的分配和調(diào)動，將例題的價(jià)值發(fā)揮到最大.

[案例1] 比如學(xué)生學(xué)習(xí)了“函數(shù)奇偶性”后，筆者對教材和學(xué)情進(jìn)行了分析，在此分析的基礎(chǔ)上有目的地設(shè)置了幾道例題.

教材及學(xué)情分析：奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，對高一新生而言，其對于奇偶性的認(rèn)知往往僅限于兩個(gè)層面，即重要的代數(shù)表達(dá)式及圖像對稱性，但是由于函數(shù)模型出現(xiàn)了如分段函數(shù)、抽象函數(shù)等，學(xué)生對于“奇偶性”這一概念的理解并不到位.

例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性.

（1）f（x）=2x3+x，x∈R；

（2）f（x）=2x2+1，x∈[-2，2]；

（3）f（x）=x2-1，x∈[-2，2）；

（4）f（x）=x3-x，x∈（0，+∞）.

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)例題設(shè)置的目的在于首先回顧奇偶性最本質(zhì)、最初的概念屬性，如何判斷基本初等函數(shù)的奇偶性？定義域是首先要考慮的原則，其次是概念的代數(shù)屬性運(yùn)用，以及幾何屬性入手判斷.

總之，在數(shù)量繁多的教學(xué)例題中，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的不同，例題與例題之間存在著不同程度上的差異. 為了保證教師教學(xué)的高效性，在選用例題時(shí)要遵循目的性的原則，以切合教學(xué)目標(biāo)為唯一標(biāo)準(zhǔn)，多方面來考量，比如說例題背后的教學(xué)內(nèi)容、難易程度、出題角度，掌握要求等，力求每一次的例題選擇都是最切合教學(xué)需求的例題.

[?] 例題設(shè)置要落于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)

學(xué)生是教學(xué)的主體，我們的例題設(shè)置必須能夠讓學(xué)生所接受，怎樣的例題是學(xué)生所能接受的呢？筆者認(rèn)為不是憑借教師的經(jīng)驗(yàn)來設(shè)置例題的，必須從學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力來考量，即例題的設(shè)置要落于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，這是例題良好教學(xué)效果的必要保證. 例題教學(xué)其教學(xué)目的就是為了促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升，幫助學(xué)生更好地掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)原理. 因此，例題教學(xué)必須要遵循接受性這一教學(xué)規(guī)律，以學(xué)生的良好接受程度來保證例題教學(xué)的效果. 如何實(shí)現(xiàn)呢？這就要求教師一方面要對學(xué)生進(jìn)行全面的了解和掌握，基本掌握好學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)狀況、認(rèn)知能力水平的高低、性格特征和價(jià)值取向、學(xué)習(xí)興趣和狀態(tài)等；另一方面，教師也要對例題進(jìn)行透徹的分析和把握，對例題的內(nèi)容、知識范圍、與前后知識的聯(lián)系、技能水平、難易程度等要一清二楚.只有在這樣的全局掌控中，教師才能進(jìn)行例題的最優(yōu)分配，達(dá)到最優(yōu)的教學(xué)效果. 保證每一次的例題都能滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，使得學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)一個(gè)層次的進(jìn)步和發(fā)展.

[案例2] 筆者在講解三角函數(shù)的變換時(shí)就給學(xué)生展示了一組例題.

例2 化下列各式為一個(gè)角的三角函數(shù)形式.

（1）sinα+cosα；

（2）sinα-cosα；

（3）asinα+bcosα.

從例題的設(shè)置來看，例2的幾個(gè)子問題是有層次性的，可以引出最終的數(shù)學(xué)公式：asinα+bcosα=sin（α+φ）. 筆者考慮到學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)并沒有直接讓學(xué)生化解子問題（3），為了讓學(xué)生能夠有梯度地更好地了解和掌握這一個(gè)應(yīng)用十分普遍的公式，筆者以前兩道例題為鋪墊，逐漸提升難度，分散難點(diǎn)，由表及里、由淺入深逐步地揭示公式的本質(zhì).這樣，既可以實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的目標(biāo)完成，又能夠保證學(xué)生都聽得懂.

[?] 例題設(shè)置要滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是較高層次的數(shù)學(xué)知識，例題設(shè)置要滲透數(shù)學(xué)思想方法，這切合當(dāng)前新課程改革提出來的發(fā)展核心素養(yǎng)的教學(xué)要求，隨著“應(yīng)試教育”到“素質(zhì)教育”的轉(zhuǎn)變的逐步完成，教學(xué)過程中，學(xué)生知識的積累不再是唯一的教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生思維能力的拓展和綜合素質(zhì)的提高也被納入教學(xué)目標(biāo)之中，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也是一樣，教師要利用好例題教學(xué)來實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的培養(yǎng)，以啟發(fā)性的例題來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維的探索，在探索中謀求解決問題的方法，在解決問題的過程中得到思維的拓展，解決完例題后，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步反思有沒有其他解法，繼而實(shí)現(xiàn)解決問題的途徑的多元化，而每一種解法往往又涉及不同的數(shù)學(xué)思想方法，能夠促進(jìn)學(xué)生多角度思考同一個(gè)問題的能力及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

[案例3] 如筆者在高三復(fù)習(xí)課上，選擇一道高考題作為例題.

例3 如圖1所示，設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若=5，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖：我們發(fā)現(xiàn)本題條件簡單，題意也言簡意賅，但是從圖中一分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)最為困難的地方是題干中出現(xiàn)的四點(diǎn)不共線，雖在頭腦中有常常說的求解直線和圓錐曲線位置關(guān)系的“設(shè)而不求”思想，但在這里依然不知從何入手！利用最直接的思維也可以解決問題，不過這往往會帶來大量的運(yùn)算，怎么辦？四點(diǎn)不共線能否與“設(shè)而不求”的思想方法相結(jié)合呢？學(xué)生通過反思和進(jìn)一步的圖形研究，發(fā)現(xiàn)這里涉及很重要的橢圓性質(zhì)——對稱性！只需要利用橢圓對稱性，設(shè)而不求的思想可以躍然紙上，再由韋達(dá)定理解決問題.

總之，例題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著基礎(chǔ)性的地位，是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)原理的必要途徑. 因此，對例題教學(xué)的高度重視可以對數(shù)學(xué)教學(xué)的整體效果產(chǎn)生重要影響. 任何抽象的邏輯規(guī)律都是從無數(shù)的實(shí)踐中總結(jié)歸納而來的，自然，客觀而抽象的規(guī)律適用于任何的實(shí)踐活動. 在教學(xué)中，教師運(yùn)用例題將難以理解的抽象理論與生動具體的實(shí)際問題相結(jié)合，讓學(xué)生能夠在教學(xué)過程中獲得知識、技能、思維、情感等多方面的發(fā)展和進(jìn)步.