高中數(shù)學恒成立問題的解題方法和思路

汪榮

摘 要：在高中數(shù)學學習的過程中，恒成立問題是非常有難度的，而且也是數(shù)學學習中不可缺少的一部分。教師若是能夠幫助學生解決恒成立問題的難題，就能夠提高學生的數(shù)學成績。針對高中數(shù)學恒成立問題的解題方法和思路進行研究，希望能夠為眾多高中生提供解題的參考。

關鍵詞：高中數(shù)學；恒成立問題；解題方法

隨著高中數(shù)學知識點的難度不斷增加，很多學生在恒成立問題的解題方法上都了解得不夠透徹，其中恒成立問題所涉及的數(shù)學知識范圍也比較廣，例如：一次函數(shù)、二次函數(shù)。因為高中數(shù)學知識涉及的內容和范圍非常大，所以在恒成立問題解決方面所涉及的思路也非常多，這讓很多學生遇到恒成立問題相關題型非常難解，從而影響了數(shù)學整體成績。

一、掌握高中數(shù)學恒成立問題的解題方法和思路的意義

在數(shù)學學習中恒成立的問題主要出現(xiàn)在函數(shù)知識點中，即在已知的條件下，無論在題型中變量如何變化，其結果和命題都能夠成立，這就是恒成立。恒成立問題在數(shù)學學習中主要考查的就是學生抽象思維能力、對問題的推理能力以及對相應數(shù)形結合思想的應用等，所以恒成立問題能夠最大限度地提高學生的綜合學習能力。

學生在數(shù)學學習的過程中主要是依靠學生的邏輯思維解答相應的題目，這就是數(shù)學與高中其他科目不同的地方，所以學生若是想要提高數(shù)學的成績，就需要尋找有效的解題方式和思路，并在解答的過程中靈活運用相應的公式，這樣就能解決恒成立的相關問題。

二、高中數(shù)學恒成立問題的解題方法和思路

1.一次函數(shù)的恒成立

下面將利用案例來解釋一次函數(shù)的恒成立問題：

問題：一次函數(shù)f（x）=（n-6）x+2n-4，在函數(shù)中對任意值x∈[-1，1]，f（x）>0恒成立，就其實數(shù)n的取值范圍。

解題分析：在f（x）=（n-6）x+2n-4的圖象中可以得知，若對x∈[-1，1]，f（x）>0恒成立，則f（-1）>0且f（1）>0，由此可以得出n> ，由此可以解得實數(shù)n的取值范圍是[ ，+∞]。

本次解題的主要思想就是利用一次函數(shù)f（x）=（n-6）x+2n-4 的圖象，這樣在不等式中，就可以直接化解為一元一次不等式組的問題，從而也為學生提供了更加便捷的思路，讓整個考題更加簡單，思路更加清晰。

2.二次函數(shù)的恒成立

在高中數(shù)學教學過程中，二次函數(shù)的知識點是非常重要的，在數(shù)學考試中也占有非常大的比例，所以教師在進行二次函數(shù)的恒成立解析過程中，需要更加細致地進行講解。

問題：已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a。若是函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍。

解題分析：若在題中a=0，則f（x）=2x-3，這時很明顯函數(shù) 處在[-1，1]的區(qū)間中沒有零點，所以a≠0。令Δ=0，可以解得a= 。①當a= 的時候，函數(shù)y=f（x）正好有一個零點處在[-1，1]上。②當f（-1）≤f（1）≤0時，解得1≤a≤5，代入兩端點，經(jīng)檢驗a=5時，有兩個零點，所以當1≤a≤5時，函數(shù)y=f（x） 在[-1，1]之上正好也有一個零點。

③若是當函數(shù)y=f（x）在[-1，1]區(qū)間之中有兩個零點的時候，則a>0△>0-1<- <1f（1）≥0f（-1）≥0或是a<0△<0-1<- <1f（1）≤0f（-1）≤0 ，

由此可以得出a≥5或者是a< 。

綜上所述，可以得出實數(shù)a的取值范圍是-∞， ∪ [1，+∞）∪ 。

本問題主要是以一元二次方程的根為主要的知識點考查對象，這種題型也是學生在學習數(shù)學中經(jīng)常遇見的題型，在解這種類型題目的時候，首先需要學生能夠確認根的數(shù)量，再對應拋物線對稱軸的位置，最后再根據(jù)相應的數(shù)據(jù)判斷區(qū)間端點所相對的數(shù)值函數(shù)的正負情況。

3.分離參數(shù)法

所謂的分離參數(shù)法就是指在高中數(shù)學函數(shù)教學過程中，若是遇見含有參數(shù)的數(shù)學習題，可以將習題中的參數(shù)不等式進行變形，將題中的參數(shù)進行分離，這樣就能夠將恒成立問題的難度降低，并將整體的問題簡單化，這樣的方式也能夠讓學生在面對問題的時候更加能快速地進行解答。

問題：在x∈R時，不等式-4a-sin2x-4sin x+a2>0恒成立，求a的范圍。

問題分析：在此不等式中擁有兩個變量，一個是a，一個是x，給出的條件就是x∈R的時候，求a的取值范圍。這個題型可以利用分離參數(shù)法將a和x進行分析，變形為sin2x+4sin x0恒成立，就需要a2-4a>5，得出 a<-1或a>5。

在解本題的時候，將參數(shù)進行變形，轉化為函數(shù)最值問題，可將繁瑣的題型簡單化，以此達到輕松解決恒成立的問題。

總之，在高中數(shù)學教學過程中恒成立問題的解決方法除了本文所提到的幾種之外還有很多種，所以學生在進行題型解答的時候，需要按照問題的形式尋找合理的解決方式，再對其勤加練習就能夠掌握，并提升數(shù)學成績。

參考文獻：

趙佩.高中數(shù)學恒成立問題解題思路[J].試題與研究（新課程論壇），2013（6）：61.

編輯 李建軍