高中數(shù)學(xué)概念生成過程“問題鏈”式教學(xué)設(shè)計研究

任建文

[摘 要] 概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，概念生成的過程需要悉心研究. 從學(xué)生思維發(fā)展的角度出發(fā)，利用“問題鏈”來促進(jìn)學(xué)生的概念生成是有實際效果的.好的問題鏈可以促進(jìn)學(xué)生從生活經(jīng)驗向數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化，可以促進(jìn)學(xué)生更好地用數(shù)學(xué)語言描述數(shù)學(xué)概念. 問題鏈的設(shè)計關(guān)鍵，在于教師把握學(xué)生的思維梯度.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；概念生成；問題鏈；教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識構(gòu)建的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念的形成有兩種途徑：一是教師講授；二是學(xué)生自主發(fā)現(xiàn). 需要說明的是，筆者對這兩種方式都是肯定的，因為概念的形成過程并非總要經(jīng)過所謂的探究，有意義的接受同樣是重要的概念建構(gòu)方式. 其實無論是講授式還是自主式，其中最為關(guān)鍵的是學(xué)生內(nèi)驅(qū)力的存在，只要有內(nèi)驅(qū)力，那學(xué)生的概念生成過程都是有價值的，因此教學(xué)的重心應(yīng)當(dāng)落在如何激發(fā)學(xué)生的概念構(gòu)建內(nèi)驅(qū)力上. 筆者的實踐表明，良好的問題尤其是由系列問題組成的“問題鏈”可以驅(qū)動學(xué)生有效地進(jìn)行學(xué)習(xí)，也因此“問題鏈”式的教學(xué)設(shè)計，就成為筆者研究并系統(tǒng)梳理的對象.本文試對此進(jìn)行闡述.

[?] “問題鏈”式教學(xué)設(shè)計在概念生成中的作用概述

問題鏈，顧名思義，就是通過一系列問題形成的一個類似于鏈條的問題組合，以對學(xué)生的學(xué)習(xí)（本文僅指概念學(xué)習(xí)）實施有效驅(qū)動的教學(xué)方式. 問題鏈的設(shè)計通常是基于某個具體概念的形成過程，結(jié)合學(xué)生的思維發(fā)展而進(jìn)行的. 因此，問題鏈的最大作用，就是可以引導(dǎo)學(xué)生的思維步步深入，以促使學(xué)生能夠完成從生活經(jīng)驗向數(shù)學(xué)概念的有效轉(zhuǎn)變. 具體來說，問題鏈及問題鏈?zhǔn)浇虒W(xué)設(shè)計在概念生成的過程中有這樣的幾個作用：第一，問題催化情境.數(shù)學(xué)概念的形成總在某個情境中，而情境作用的發(fā)揮往往是靠問題鏈中的首個問題來實現(xiàn)的. 第二，問題將學(xué)生的思維導(dǎo)向數(shù)學(xué). 概念生成的過程，就是學(xué)生前概念向數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)變的過程，這個過程需要問題的驅(qū)動. 第三，問題驅(qū)動學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言. 數(shù)學(xué)概念最終是用數(shù)學(xué)語言來描述的，而學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用往往又是存在思維的障礙的，要克服這個障礙，離不開問題的驅(qū)動.

現(xiàn)以“數(shù)列”概念的生成過程為例來說明上述觀點：數(shù)列是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5第二章的內(nèi)容，作為一個基本概念，其與學(xué)生的生活經(jīng)驗既近又遠(yuǎn).說近是因為在生活中其實有很多數(shù)列的存在，說遠(yuǎn)是因為在日常生活中很少從數(shù)列的角度去認(rèn)識它們. 因此在結(jié)合生活素材創(chuàng)設(shè)了概念生成情境之時，就是問題鏈的開始之時. 如在呈現(xiàn)了若干個（教材設(shè)計的是劇場座位、彗星出現(xiàn)的年份、細(xì)胞分裂、日取半棰、樹干分枝、奧運(yùn)獎牌等）數(shù)列事例之后，筆者提出第一個問題：這些事例如果用數(shù)據(jù)描述，可以得到哪些數(shù)據(jù)？（沒有像課本一樣直接提出“這些問題有什么共同特點”的問題，因為筆者感覺這樣太快）. 這個問題可以驅(qū)動學(xué)生用數(shù)據(jù)來表述這些問題，可以將形象的數(shù)學(xué)情境變成抽象的數(shù)學(xué)對象，學(xué)生的思維也就導(dǎo)向了數(shù)學(xué)，于是得到20，22，24，26，…；1740， 1823，1906，1989，…；1，2，4，8，16，…等.

有了這些結(jié)果之后，問題鏈中設(shè)計的第二個問題是：現(xiàn)在我們已經(jīng)在用一系列數(shù)字來表示剛才的實例，那大家再來看看這些數(shù)字有什么共同的特征？這個問題直接瞄準(zhǔn)數(shù)列的定義，學(xué)生在思考這些問題的時候，一方面會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)其實都是在具體的情境中按一定規(guī)律得到的，因此這就呼應(yīng)著數(shù)列定義中的“按照一定次序”，另一方面學(xué)生自然會知道這些都是多個數(shù)的形式，于是定義中的“一列數(shù)”也就有了基礎(chǔ).

在此基礎(chǔ)上教師再提出第三個問題：如果用數(shù)學(xué)語言來描述我們的認(rèn)識，那這段語言應(yīng)當(dāng)如何組織？這個問題的作用就是引導(dǎo)學(xué)生的思維走向數(shù)學(xué)語言，而學(xué)生在語言組織的過程中必然會出現(xiàn)差異，因此這個問題其實是可以進(jìn)一步細(xì)化的，比如針對有學(xué)生說的“按照一定規(guī)律排列的數(shù)”就可以反問“一定是存在規(guī)律的嗎？”并用奧運(yùn)獎牌數(shù)的例子證其偽，于是學(xué)生的思維就會寬一些，總之，這個問題細(xì)化的過程也是問題鏈的一部分，在實際教學(xué)中也需要注意運(yùn)用.

通過上述三個問題組成的問題鏈，學(xué)生就可以完成從生活情境向數(shù)列定義的轉(zhuǎn)變，在這個概念生成的過程中，問題鏈發(fā)揮了很強(qiáng)的驅(qū)動作用.

[?] 用“問題鏈”驅(qū)動學(xué)生概念生成的設(shè)計策略分析

問題鏈不是簡單的問題的組合，問題要想成“鏈”，關(guān)鍵在于教學(xué)設(shè)計的時候要注意問題之間的聯(lián)系性，尤其是后面問題要承接前面的問題，中間的問題要能夠既承上又啟下，問題鏈從語言的角度看，體現(xiàn)的是邏輯性，從學(xué)生的思維角度看，體現(xiàn)的是學(xué)生思維的連續(xù)性.基于這樣的認(rèn)知，筆者梳理了問題鏈設(shè)計的幾個基本策略：

其一，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念感知的策略. 概念感知是概念形成的基礎(chǔ)，問題鏈在促進(jìn)概念感知方面有獨特的作用.

例如“等差數(shù)列”概念的構(gòu)建中可以設(shè)計這樣的問題鏈：（1）還記得上一課時所列舉的數(shù)列事例嗎？（2）對這些數(shù)列進(jìn)行比較，你覺得它們的排列次序有規(guī)律性嗎？（3）劇場座位中的20，22，24，26，…；彗星出現(xiàn)年份的1740，1823，1906，1989， …有沒有共同的規(guī)律？（4）你能舉出與此規(guī)律類似的其他數(shù)列嗎？（5）如何描述這種特征的數(shù)列？這五個問題驅(qū)動之下，幾乎不需要別的事例的講解，學(xué)生就可以順利構(gòu)建出“等差數(shù)列”的概念.

其二，促進(jìn)學(xué)生比較思維的策略. 概念是比較的結(jié)果，高中數(shù)學(xué)概念生成過程中，比較思維是最常用的思維之一. 比較思維既可以是學(xué)生的直覺，也可以是問題驅(qū)動之下的結(jié)果.

例如，在深化“等比數(shù)列”概念的時候，教師可以通過問題鏈引導(dǎo)學(xué)生去比較等比數(shù)列與等差數(shù)列：（1）等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義有何異同？（2）這種異同表現(xiàn)在通項公式上有什么不同？（3）這種異同體現(xiàn)在求和公式上有什么不同？這三個問題組成的問題鏈實際上是指向?qū)W生的學(xué)習(xí)品質(zhì)的，是指向驅(qū)動學(xué)生的比較思維去完成對兩個基本的數(shù)列進(jìn)行比較并描述的過程的，概念生成過程中這種思維往往能夠發(fā)揮重要作用，其需要問題鏈的驅(qū)動.

其三，促進(jìn)學(xué)生概念構(gòu)建反思的策略. 概念形成之后讓學(xué)生反思概念的生成過程，是可以讓學(xué)生更清晰地把握概念的來龍去脈的.

例如，在數(shù)列這一章結(jié)束之后，筆者設(shè)計了這樣的問題鏈：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念是怎樣得到的？（2）等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前n項和是怎樣得到的？（3）如果重新給你一點時間，你能讓這兩個過程更簡潔嗎？（4）能嘗試用表格來比較等差數(shù)列與等比數(shù)列的異同嗎？事實證明，經(jīng)由這個問題鏈的驅(qū)動，學(xué)生對數(shù)列這一章的三個重要概念會有整體性的把握，從而可以為本章知識結(jié)構(gòu)的形成奠定重要基礎(chǔ).

在具體的教學(xué)過程中，問題鏈的呈現(xiàn)方式也是需要注意的，在教師心中邏輯性很強(qiáng)的問題鏈顯然不需要一下子呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，而根據(jù)學(xué)生對前一個問題的回答情況的判斷，去尋找第二個問題提出的時機(jī)，是問題鏈發(fā)揮作用的重要影響因素. 如在上面第三點所舉的例子中，只有當(dāng)學(xué)生清晰地回憶出所舉過的數(shù)列的例子并回答出數(shù)列的特征各有不同之后，再提第二個問題才有意義；而第三個問題實際上是第一、二兩個問題的綜合，是要等到學(xué)生對前兩個問題有清晰的答案之后，通過第三個問題對兩個基本數(shù)列進(jìn)行綜合，并下啟對第四個問題的回答.

[?] “問題鏈”的設(shè)計關(guān)鍵在于驅(qū)動學(xué)生思維的發(fā)展

問題的最大作用是驅(qū)動學(xué)生思維，問題鏈的最大作用是驅(qū)動學(xué)生思維的層層遞進(jìn)，因此學(xué)生的思維發(fā)展是問題鏈的設(shè)計關(guān)鍵.

在概念生成過程中，學(xué)生的思維肯定具有遞進(jìn)性，而由于知識基礎(chǔ)的差異，不同學(xué)生的思維又是有著不同的表現(xiàn)的，這個時候問題鏈所起的作用就是能夠針對不同層次的學(xué)生發(fā)揮不同的作用.

例如在上面所舉的“等差數(shù)列”的教學(xué)中，當(dāng)?shù)谝粋€問題提出之后，學(xué)生開始回憶上一節(jié)課所接觸的六個數(shù)列，這個時候不同思維水平的學(xué)生思維的結(jié)果是不同的，有學(xué)生能夠迅速意識到教師的問題必有所指，因此迅速開始對六個數(shù)列進(jìn)行比較；而有的學(xué)生則會盯住其中一個數(shù)列進(jìn)行研究，當(dāng)這個數(shù)列恰好是一個等差數(shù)列的時候，也能讓他們有所發(fā)現(xiàn)；當(dāng)然也有部分學(xué)困生的思路是模糊的，這個時候需要在原有問題鏈的基礎(chǔ)上進(jìn)行補(bǔ)充，進(jìn)行個別指導(dǎo)，比如教師可以幫他們將數(shù)列分成等差數(shù)列、等比數(shù)列以及無明顯規(guī)律的數(shù)列，問他們：這下能否發(fā)現(xiàn)它們的異同呢？這樣的問題鏈的延伸，是針對不同層次學(xué)生思維發(fā)展的有效促進(jìn)手段.

總之，只有瞄準(zhǔn)學(xué)生的思維發(fā)展，問題鏈的設(shè)計才有堅實的基礎(chǔ)，只有對學(xué)生的思維梯度有清晰的把握，問題之間的銜接才會牢靠，才會真正形成“問題”的“鏈”. 事實表明，在概念生成的教學(xué)中，用問題鏈的設(shè)計思路來實施教學(xué)，是可以更好地促進(jìn)學(xué)生的概念構(gòu)建的.