高中數(shù)學概念生成過程“問題鏈”式教學設計研究

任建文

[摘 要] 概念是數(shù)學教學的基礎，概念生成的過程需要悉心研究. 從學生思維發(fā)展的角度出發(fā)，利用“問題鏈”來促進學生的概念生成是有實際效果的.好的問題鏈可以促進學生從生活經(jīng)驗向數(shù)學概念轉化，可以促進學生更好地用數(shù)學語言描述數(shù)學概念. 問題鏈的設計關鍵，在于教師把握學生的思維梯度.

[關鍵詞] 高中數(shù)學；概念生成；問題鏈；教學設計

數(shù)學概念是數(shù)學知識構建的基礎，數(shù)學概念的形成有兩種途徑：一是教師講授；二是學生自主發(fā)現(xiàn). 需要說明的是，筆者對這兩種方式都是肯定的，因為概念的形成過程并非總要經(jīng)過所謂的探究，有意義的接受同樣是重要的概念建構方式. 其實無論是講授式還是自主式，其中最為關鍵的是學生內(nèi)驅力的存在，只要有內(nèi)驅力，那學生的概念生成過程都是有價值的，因此教學的重心應當落在如何激發(fā)學生的概念構建內(nèi)驅力上. 筆者的實踐表明，良好的問題尤其是由系列問題組成的“問題鏈”可以驅動學生有效地進行學習，也因此“問題鏈”式的教學設計，就成為筆者研究并系統(tǒng)梳理的對象.本文試對此進行闡述.

[?] “問題鏈”式教學設計在概念生成中的作用概述

問題鏈，顧名思義，就是通過一系列問題形成的一個類似于鏈條的問題組合，以對學生的學習（本文僅指概念學習）實施有效驅動的教學方式. 問題鏈的設計通常是基于某個具體概念的形成過程，結合學生的思維發(fā)展而進行的. 因此，問題鏈的最大作用，就是可以引導學生的思維步步深入，以促使學生能夠完成從生活經(jīng)驗向數(shù)學概念的有效轉變. 具體來說，問題鏈及問題鏈式教學設計在概念生成的過程中有這樣的幾個作用：第一，問題催化情境.數(shù)學概念的形成總在某個情境中，而情境作用的發(fā)揮往往是靠問題鏈中的首個問題來實現(xiàn)的. 第二，問題將學生的思維導向數(shù)學. 概念生成的過程，就是學生前概念向數(shù)學概念轉變的過程，這個過程需要問題的驅動. 第三，問題驅動學生運用數(shù)學語言. 數(shù)學概念最終是用數(shù)學語言來描述的，而學生對數(shù)學語言的運用往往又是存在思維的障礙的，要克服這個障礙，離不開問題的驅動.

現(xiàn)以“數(shù)列”概念的生成過程為例來說明上述觀點：數(shù)列是蘇教版高中數(shù)學必修5第二章的內(nèi)容，作為一個基本概念，其與學生的生活經(jīng)驗既近又遠.說近是因為在生活中其實有很多數(shù)列的存在，說遠是因為在日常生活中很少從數(shù)列的角度去認識它們. 因此在結合生活素材創(chuàng)設了概念生成情境之時，就是問題鏈的開始之時. 如在呈現(xiàn)了若干個（教材設計的是劇場座位、彗星出現(xiàn)的年份、細胞分裂、日取半棰、樹干分枝、奧運獎牌等）數(shù)列事例之后，筆者提出第一個問題：這些事例如果用數(shù)據(jù)描述，可以得到哪些數(shù)據(jù)？（沒有像課本一樣直接提出“這些問題有什么共同特點”的問題，因為筆者感覺這樣太快）. 這個問題可以驅動學生用數(shù)據(jù)來表述這些問題，可以將形象的數(shù)學情境變成抽象的數(shù)學對象，學生的思維也就導向了數(shù)學，于是得到20，22，24，26，…；1740， 1823，1906，1989，…；1，2，4，8，16，…等.

有了這些結果之后，問題鏈中設計的第二個問題是：現(xiàn)在我們已經(jīng)在用一系列數(shù)字來表示剛才的實例，那大家再來看看這些數(shù)字有什么共同的特征？這個問題直接瞄準數(shù)列的定義，學生在思考這些問題的時候，一方面會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)其實都是在具體的情境中按一定規(guī)律得到的，因此這就呼應著數(shù)列定義中的“按照一定次序”，另一方面學生自然會知道這些都是多個數(shù)的形式，于是定義中的“一列數(shù)”也就有了基礎.

在此基礎上教師再提出第三個問題：如果用數(shù)學語言來描述我們的認識，那這段語言應當如何組織？這個問題的作用就是引導學生的思維走向數(shù)學語言，而學生在語言組織的過程中必然會出現(xiàn)差異，因此這個問題其實是可以進一步細化的，比如針對有學生說的“按照一定規(guī)律排列的數(shù)”就可以反問“一定是存在規(guī)律的嗎？”并用奧運獎牌數(shù)的例子證其偽，于是學生的思維就會寬一些，總之，這個問題細化的過程也是問題鏈的一部分，在實際教學中也需要注意運用.

通過上述三個問題組成的問題鏈，學生就可以完成從生活情境向數(shù)列定義的轉變，在這個概念生成的過程中，問題鏈發(fā)揮了很強的驅動作用.

[?] 用“問題鏈”驅動學生概念生成的設計策略分析

問題鏈不是簡單的問題的組合，問題要想成“鏈”，關鍵在于教學設計的時候要注意問題之間的聯(lián)系性，尤其是后面問題要承接前面的問題，中間的問題要能夠既承上又啟下，問題鏈從語言的角度看，體現(xiàn)的是邏輯性，從學生的思維角度看，體現(xiàn)的是學生思維的連續(xù)性.基于這樣的認知，筆者梳理了問題鏈設計的幾個基本策略：

其一，促進數(shù)學概念感知的策略. 概念感知是概念形成的基礎，問題鏈在促進概念感知方面有獨特的作用.

例如“等差數(shù)列”概念的構建中可以設計這樣的問題鏈：（1）還記得上一課時所列舉的數(shù)列事例嗎？（2）對這些數(shù)列進行比較，你覺得它們的排列次序有規(guī)律性嗎？（3）劇場座位中的20，22，24，26，…；彗星出現(xiàn)年份的1740，1823，1906，1989， …有沒有共同的規(guī)律？（4）你能舉出與此規(guī)律類似的其他數(shù)列嗎？（5）如何描述這種特征的數(shù)列？這五個問題驅動之下，幾乎不需要別的事例的講解，學生就可以順利構建出“等差數(shù)列”的概念.

其二，促進學生比較思維的策略. 概念是比較的結果，高中數(shù)學概念生成過程中，比較思維是最常用的思維之一. 比較思維既可以是學生的直覺，也可以是問題驅動之下的結果.

例如，在深化“等比數(shù)列”概念的時候，教師可以通過問題鏈引導學生去比較等比數(shù)列與等差數(shù)列：（1）等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義有何異同？（2）這種異同表現(xiàn)在通項公式上有什么不同？（3）這種異同體現(xiàn)在求和公式上有什么不同？這三個問題組成的問題鏈實際上是指向學生的學習品質的，是指向驅動學生的比較思維去完成對兩個基本的數(shù)列進行比較并描述的過程的，概念生成過程中這種思維往往能夠發(fā)揮重要作用，其需要問題鏈的驅動.

其三，促進學生概念構建反思的策略. 概念形成之后讓學生反思概念的生成過程，是可以讓學生更清晰地把握概念的來龍去脈的.

例如，在數(shù)列這一章結束之后，筆者設計了這樣的問題鏈：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念是怎樣得到的？（2）等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前n項和是怎樣得到的？（3）如果重新給你一點時間，你能讓這兩個過程更簡潔嗎？（4）能嘗試用表格來比較等差數(shù)列與等比數(shù)列的異同嗎？事實證明，經(jīng)由這個問題鏈的驅動，學生對數(shù)列這一章的三個重要概念會有整體性的把握，從而可以為本章知識結構的形成奠定重要基礎.

在具體的教學過程中，問題鏈的呈現(xiàn)方式也是需要注意的，在教師心中邏輯性很強的問題鏈顯然不需要一下子呈現(xiàn)在學生的面前，而根據(jù)學生對前一個問題的回答情況的判斷，去尋找第二個問題提出的時機，是問題鏈發(fā)揮作用的重要影響因素. 如在上面第三點所舉的例子中，只有當學生清晰地回憶出所舉過的數(shù)列的例子并回答出數(shù)列的特征各有不同之后，再提第二個問題才有意義；而第三個問題實際上是第一、二兩個問題的綜合，是要等到學生對前兩個問題有清晰的答案之后，通過第三個問題對兩個基本數(shù)列進行綜合，并下啟對第四個問題的回答.

[?] “問題鏈”的設計關鍵在于驅動學生思維的發(fā)展

問題的最大作用是驅動學生思維，問題鏈的最大作用是驅動學生思維的層層遞進，因此學生的思維發(fā)展是問題鏈的設計關鍵.

在概念生成過程中，學生的思維肯定具有遞進性，而由于知識基礎的差異，不同學生的思維又是有著不同的表現(xiàn)的，這個時候問題鏈所起的作用就是能夠針對不同層次的學生發(fā)揮不同的作用.

例如在上面所舉的“等差數(shù)列”的教學中，當?shù)谝粋€問題提出之后，學生開始回憶上一節(jié)課所接觸的六個數(shù)列，這個時候不同思維水平的學生思維的結果是不同的，有學生能夠迅速意識到教師的問題必有所指，因此迅速開始對六個數(shù)列進行比較；而有的學生則會盯住其中一個數(shù)列進行研究，當這個數(shù)列恰好是一個等差數(shù)列的時候，也能讓他們有所發(fā)現(xiàn)；當然也有部分學困生的思路是模糊的，這個時候需要在原有問題鏈的基礎上進行補充，進行個別指導，比如教師可以幫他們將數(shù)列分成等差數(shù)列、等比數(shù)列以及無明顯規(guī)律的數(shù)列，問他們：這下能否發(fā)現(xiàn)它們的異同呢？這樣的問題鏈的延伸，是針對不同層次學生思維發(fā)展的有效促進手段.

總之，只有瞄準學生的思維發(fā)展，問題鏈的設計才有堅實的基礎，只有對學生的思維梯度有清晰的把握，問題之間的銜接才會牢靠，才會真正形成“問題”的“鏈”. 事實表明，在概念生成的教學中，用問題鏈的設計思路來實施教學，是可以更好地促進學生的概念構建的.