在高中數學教學中培養學生逆向思維的策略

黃麗敏

【摘 要】本文結合高中數學的學科特點，論述在高中數學教學中培養學生逆向思維的三種策略：在概念教學中培養學生的逆向思維、逆用公式提高學生的數學解題能力、加強反證法的運用等，以優化教師高中數學教學工作，切實培養學生的數學素養。

【關鍵詞】高中數學 逆向思維 數學能力

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）06B-0128-02

逆向思維是一種創造性的思維方式，它對數學學習有著非常重要的意義，它也是數學思維中非常關鍵的部分。逆向思維指的是對那些司空見慣的、似乎已成定論的事物或觀點進行反向思考的一種思維方式。如果高中生能夠在學習數學的過程中充分運用逆向思維解決數學問題，數學能力將得到顯著提高。因此，教師十分有必要培養學生的逆向思維能力。

一、培養高中生逆向思維的意義

人的思維過程通常包括兩大方向，其一為正向思維，其二為逆向思維。每一種思維模式都具有一定的邏輯性。其中正向思維通常是按照人們的想法習慣、慣性思路等去分析并解決問題，然而，習慣于運用正向思維去思考問題也容易使人的思維產生局限性，特別是在解決數學問題時，常常會有正向思維解決不了的，又或者是解題過程繁瑣讓人感到力不從心，由此可見，學生僅僅依靠正向思維來學習數學具有一定的局限性，不但降低了解題效率，而且也不利于學生數學能力的培養。逆向思維是將一些看似常規化的理論、結論等用非常規的思路去分析與解決問題，這種思維方式運用在學習數學上，不僅能突破思維慣性，還能拓展學生的思維空間。

在傳統的教學課堂，教師更傾向于采用正向思維教學法，讓學生通過正向思維來深入理解并分析問題，最終得出問題答案，然而，數學作為一項通用性科學，無論是理論學習還是生活實踐，都不能單純依靠正向思維，逆向思維也是必不可少的解題技能之一，學生只有具備了良好的逆向思維能力，并采用逆向思維方式來思考并解決問題，才能從根本上提高數學解題能力，提高自身的數學能力，也才能更好地適應數學學科的學習，體會到數學的樂趣。

以最基本的關于“1”的變形為例，當教師問學生，3-2 等于幾，學生會覺得這太簡單了，小學生都能回答，但是如果教師反過來問學生，1 等于什么，是不是只有 3-2 才能得到 1？讓學生聯系現階段所學過的知識來思考，還有什么可以等于 1，答案會有很多種，如，1=a0（a≠0），1=sin2α+cos2α……學生的思維因此而活躍起來，這就是逆向思維對學生數學能力拓展的最好證明。

二、培養學生逆向思維的策略

（一）在概念教學中培養學生的逆向思維。任何一個數學知識模塊的學習都是從最基本的概念、性質等入手，概念作為一種理論總結，是先人經過長時間的學習、實踐逐漸總結出的，用來映射客觀規律的理論性概述。數學概念揭示了某種數學邏輯、數量關系、邏輯關系，是學生認識客觀事物的基礎，傳統的概念教學過于死板老套，教師直接進行概念陳述，或者將概念直接呈現在黑板上，要求學生機械地記憶，這樣的教學模式與方式不利于學生思維能力的培養，淡化了思維能力教育。對此，教師必須轉變思路，培養學生從逆向角度來思考問題，通過逆向思維來挖掘概念中的潛在規律、隱形性質等，讓學生更加深刻、深入地掌握概念。

如在學習“映射”的概念時，教師可以引導學生做這樣的思考：設 f：A→B 是集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A、B 中的元素對應情況是怎樣的呢？通過教師的引導，學生可以得出結論：集合 A 中的元素在集合 B 中都有唯一的一個象，因此集合 A 中不會有剩余，但是集合 B 中的元素可能有剩余，也就是說B中的元素有的可能沒有原象；因此對應的形式可能會有“一對一”，也可能會有“多對一”，但是“一對多”的情況是不可能的。通過逆向思維，學生很快就掌握了“映射”的概念，這比死記概念要更容易被學生“消化”。

又如學習“等比數列”的概念時，教師可以這樣來引導學生思考：如果一個數列是等比數列，根據等比數列的定義，可知這個等比數列的首項及其后項都不可能是 0。再比如，平面幾何中直線與直線垂直的定義：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。明白這個定義后，教師可以啟發學生從不同角度理解這個定義，并考慮這個定義在什么情況下應用，怎樣應用。讓學生明確它既可以作為直線與直線垂直的判定，也可以作為直線與直線垂直的性質。這樣一來，學生對概念辨析更清楚，理解也更透徹。

（二）逆用公式提高解題能力。逆向思維能力實質上也是一種發散思維能力，逆用公式對學生逆向思維的培養有很大的幫助，通過對公式反復變形的方式來解題，從而培養學生的逆向思維能力。

在整個的高中數學體系中，“三角函數”是一個非常重要的知識模塊，其中三角恒等變形是學生學習的重點也是難點，其中可能涉及多種解題方法、多種解答方式，教師可以利用這一知識模塊來對學生進行逆向思維訓練，讓學生逆用公式，反復變形公式，以此來培養學生的數學思維能力。

例如：假設， 那么sin4θ+cos4θ 的值是多少？

筆者要求學生提供兩種解題方法，學生開始回顧所學的三角函數關系式、公式并結合所提供的題目等來探究如何多方法解題。思考過后，學生提供以下兩種解題方法：

方法一：根據提問所求sin4θ+cos4θ 的值，將sin4θ+cos4θ 進行變式，得到（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=1-（sin22θ）。又因為已知，所以：。這是運用正向思維思考后的解法，也是學生較為常用的解法。

方法二：已知二倍角公式：sin2θ=2sinθcosθ=，得出，所以，sin2θcos2θ=，又因為：sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ，所以。方法二首先考慮的不是直接將問題所求的式子變式，而是先觀察已知的二倍角公式，通過對二倍角公式進行化簡，得到關鍵的部分 sin2θcos2θ=，再將所求的式子進行變式，最后代入相關數值即可。方法二其實就是對公式（a+b）2=a2+2ab+b2 的逆用，只有對公式（a+b）2=a2+2ab+b2 的變形熟記于心，才能快速解決這道題。

又如在等差數列教學中，已知前 n 項和公式為：，那么教師可以引導學生根據此結論推導出與之相關聯的其他規律或結論。一些學生靈活巧妙地變形公式：由此可見，Sn 可以看成是一個關于自變量 n 的二次函數，其中常數項是 0，所以，Sn 也能夠通過待定系數法來計算，只需要先算出和 的值即可。未來在做題目時，再碰到等差數列的問題時，就可以通過推導出來的規律和結論來逆用公式。

學生經過反復變形、推導，最終得出了一系列結論，這些結論都可以作為學生未來數學學習的參考和參照，在這一過程中學生的思維能力得到了深入培養，也能產生更大的學習興趣，學生只有具備了興趣和能力，才能在數學學習的道路上越走越遠，學生也只有具備了一定的思維能力，才能真正領悟到數學的神奇，逆向思維能力的培養必然要在數學教學中占據一席之地。

（三）加強反證法的運用。反證法是通過推證“結論的反面是錯誤的”引出矛盾，從而肯定“結論本身是正確的”。反證法的特點是先提出與待證的結論相反的假設，然后推導與公理、定義、已證的定理或題設相矛盾的結果。這樣，就證明了與待證的結論相反的假設不成立，從而肯定了原來求證的結論成立。由此可見，反證法是逆向思維的重要方法。在教學中教師應有意識地選編一些應用反證法思考的問題，把它滲透到數學教學中去，對培養學生的逆向思維很有必要。

例如：假設：m3+n3=2，證明：m+n≤2。

這道題如果通過正向思考來解決，必須先想方設法把m3+n3 化簡為含有 m+n 的形式，這個過程比較復雜，但是通過反證法或許就能快速證明。如證明在同等條件下，m+n≤2的反面 m+n>2不成立，那么 m+n≤2 就是成立的。因此教師可以引導學生猜想，如果 m+n>2，那么 m>2-n，所以，m3>8-12n+6n2-n3，那么 m3+n3>6n2-12n+8=6（n-1）2+2，因為 6（n-1）2+2≥2， 所以 m3+n3>2，這就與題目中的已知條件不符，所以 m+n≤2 成立。

在實際的數學教學過程中，教師還需注重對學生舉一反三能力的培養，注重學生思維能力、靈活思考問題能力的培養，以此來達到高效教學的目標。

高中數學學習具有一定的難度性和挑戰性，是對學生思維能力、邏輯能力的綜合考驗，教師必須意識到高中階段學生思維能力培養的重要性，要積極加強對學生的引導，培養學生的逆向思維能力，讓學生具備一定的數學思考能力，這樣才能使學生在平時的學習與解題過程中掌握技巧，提高學習效率。

【參考文獻】

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[2]金遠方.突破思維瓶頸優化高中數學教學策略初探[J].讀與寫（教育教學刊），2016（12）

[3]王建輝.淺議高中生數學逆向思維能力的培養[J].新課程學習（學術教育），2010（6）

（責編 韋 力）