數學文化與高中數學教學

崔緒春

[摘 要] 高中數學教學要走出應試的泥淖，建立數學文化的視野是極為必要的. 在數學史中包含豐富的數學文化，在學生的生活中也有著豐富的數學文化的存在，數學文化在數學學習的過程中需要結合具體的知識構建而顯現，數學文化對學生的影響可以讓學生更好地形成數學學科的核心素養.

[關鍵詞] 高中數學；數學教學；數學文化；核心素養

數學是一種文化，數學教學中如何向學生傳遞文化，這是數學教學中需要考慮的問題. 對于高中數學教學而言，由于應試壓力不可避免，數學教學更多的是數學知識的教學以及數學應試能力的培養，文化生存的空間并不是很大. 但這并不是說高中數學教學中沒有文化滲透的空間.在實際教學中，如果教師建立數學文化滲透的意識，努力尋找可以進行文化滲透的契機，可以讓數學知識構建的過程變得更加圓潤，可以讓學生的數學學習過程變得更加高效，自然也更加可以培養學生的數學學科的核心素養. 本文嘗試從四個方面進行思考.

[?] 數學史與數學文化

談及文化，就不能不談歷史. 數學發展史就是一部文化史，用數學史來滋潤數學課堂教學，可以讓學生接受較好的文化洗禮，從而讓數學課堂顯露出一種文化的美. 那么，高中數學教學中的文化從何而來呢？途徑有很多，不過有一點比較容易被人們所重視，那就是數學方法背后的數學文化. 也許有人覺得奇怪：數學方法就是數學方法，其與文化有什么關系呢？畢竟在課程標準以及其他的相關論述中，方法與文化常常是分開的. 這樣的理解其實只適用于純粹的知識與方法范圍的研究，真正的數學方法背后是有著豐富的文化因素的，而且這些文化往往是超越數學層面，直指學科融合的——數學教學要不要考慮與其他學科的融合呢？這個問題放在數學應試中確實是個問題，但放在核心素養的背景下根本不是個問題，要知道核心素養原本就是強調學科融合的.

這里又有另外一個問題了，不是在研究數學史嗎？怎么又談到了數學方法呢？研究過數學史就知道這個問題的答案了：數學方法并不是憑空產生的，數學方法更多的就是在對數學（當然也包括其他學科）的研究中，逐步形成的一種大家認同的解題思路、策略，當然也包括解題方法，因此從數學史的角度研究數學方法的形成與運用，其實就是一種數學文化的回顧與熏陶.

以“數學建模”為例，數學中有一個共識，那就是很多模型就是用數學公式來描述的，經典的如微積分的公式，其就是由牛頓及萊布尼茨分別發現的，牛頓可不只是物理學家，他也是一個高明的數學家，為了解決天體間力的作用（萬有引力），他得把像地球這樣的大的天體的受力作用點精確地確定出來，但地球實在是太大了，它的每一部分都在與其他天體發生力的作用，怎么辦呢？將地球分割并求其綜合作用效果，于是流數術就出現了，這就是微積分的前身. 在這里，天體之間的相互作用被抽象成了萬有引力公式這個模型. 這個例子看似與數學沒有直接聯系，但在數學的相關公式學習中介紹類似于此的例子，最大的作用就是可以化解學生對數學公式的抽象認識（學生常常認為數學公式就是解題的工具，是冷冰冰的沒有人情味的），當學生認識到公式背后的人文意義時，這樣的數學文化滲透就是有意義的.

數學建模中還有一個有趣的例子可以舉一下，那就是存在著這樣的一個等式：1=0.9999999999999…，這是某數學公眾號推介的一個重要方程！方程？是的，方程！在數學研究者眼里，這可不是一個約等式，而是一個聯系數學的發端（等式左邊的1）與數學中無限（等號的右邊有個省略號）的關系描述. 當筆者在課堂上將這個例子呈現給學生，并告訴學生這是一個方程時，即使數學最差的學生也睜大了眼睛，因為這個式子他們還是看得懂的——怎么就成了方程了呢？而當筆者將其中的含義告訴了學生之后，學生突然意識到原來就算這種最簡單的等式背后還有著這樣豐富的文化知識，于是他們對數學的價值、對數學公式所代表的意義就有了新的理解. 需要知道，這樣的理解對于高中學生來說，那絕對是一筆財富，因為平常的數學學習中很少有這樣的理性思考機會，這也說明數學文化呈現在學生面前時，所能獲得的遠不只是數學知識，更是學生對數學的理解.

當然，有興趣的還可以去看看芝諾悖論，在高中數學中用這個元素來點綴課堂，效果絕對不一般.

[?] 生活中的數學文化

文化不只存在于歷史里，文化也存在于現實生活當中，生活中的數學文化往往可以讓學生更好地體會到數學魅力的存在，這對于高中數學教學來說，也是一個有價值的嘗試. 當然這里要說明的是，既然是體會生活中的數學文化，那就說明數學文化不只是典籍中的數學故事，這可以用數學中的一個基本邏輯關系來理解：數學故事中有數學文化，但數學文化卻不只存在于數學故事當中！

生活中的數學文化在哪里？不說別的，建筑中就有相當豐富的數學文化，而且就是與高中數學相關的數學文化. 簡單點，如果把教室看作一個長方體，那其中的十二條邊就存在著多種空間關系，如平行、垂直等，因而空間立體幾何本身的文化特征就可以體現在對教室的抽象中. 不過這還是簡單的，再談點復雜的：高中數學是要學習圓錐曲線的，在圓錐曲線這一章的教學中，筆者在引入的時候不僅介紹了一個平面截一個圓錐面的情形，還介紹了相關的數學史；而當后來筆者告訴學生建筑學家利用圓錐曲線的美感以及蘊藏其后的材料使用、建筑物的堅固程度等，建造了無數建筑時，學生是感覺到非常驚異的. 于是利用現代教學手段呈現生活中的發電廠的冷卻塔，還有世界聞名的廣州電視塔（用幻燈片或視頻呈現夜景，美輪美奐的效果可以讓學生贊嘆不已），而在此基礎上用數學抽象的方法得到雙曲線，結果就引來了學生不約而同的“啊”的驚異聲——原來這就是數學在生活中的存在.

有了學生的這種切身感受，教師再向學生介紹：其實每一個真正的建筑大師，都是一個數學家，只不過這個數學家不是研究數學的，而是借助于生活中凝固的美來體現數學的美，來彰顯數學文化存在的意義. 于是一座座美輪美奐的帶有數學特征的建筑，其背后正是數學文化的存在與彰顯.endprint

生活還可以是忽視具體物體存在的生活，比如數學中常常運用到的邏輯推理，那么當我們基于一個簡單的推理來提出一系列問題的時候，你是否感覺到文化的存在呢？這個推理是：如果二維空間的封閉是一個圓，那么三維空間的封閉是什么？學生是很容易推理出來. 再繼續問：四維空間的封閉是什么呢？一步邁出，會發現眼前簡直是迷茫一片，學生瞬間從熟悉走向了陌生，于是新的研究空間就打開了，研究結果如何暫且不談，這種研究空間的打開，其實就是數學文化作用的結果——在18世紀，關于四維空間的爭論可謂是如火如荼，其中的文化因素流光四射.

在這樣的教學中，筆者甚至以為，只有數學教師才能將這種文化特征發掘出來并呈現給學生. 為什么？因為只有數學教師是直接面向學生的，他知道怎樣發現生活中的數學，知道生活中的數學背后隱藏著哪些數學文化，也知道通過什么樣的合適方式將這些文化在恰當的時候傳遞給學生.

[?] 基于文化的教與學

當從數學文化的角度理解高中數學教與學的時候，會發現其可以真正引領教師和學生走出應試的泥淖，可以讓學生重新構建對數學及其學習的理解. 這是很好理解的：囿于應試，學生眼里只有那些作為工具的數學知識與文字的存在，而只有有了文化的滋潤，這些數學知識才會生動起來.

因此，基于數學文化的教與學，可以為當前的高中數學打開一個新的空間，可以讓數學學科的核心素養得到真正的培養. 談到數學核心素養，其實也可以發現其與數學文化是密切相關的，關于數學學科的核心素養，目前最基本的理解是從數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識等十個核心概念的角度來描述的，盡管目前其只是在義務教育階段的數學課程標準中呈現的，但對高中數學教學依然有著重要的啟發意義. 尤其是其中的數感的建立，推理能力、模型思想以及數學運用意識、創新意識的培養，往往就是需要在數學史的研究中發掘智慧源泉，在實際生活中發現數學存在的價值與魅力，只有學生有了這樣的切身的感受，數學文化才會真正成為文化.

文化是默會的，素養是內隱的，數學學科的核心素養與數學文化存在著天然的聯系. 在數學文化的研究中，在數學文化以恰當的方式向學生傳遞的過程中，在學生于生活中理解數學文化的存在過程中，其實也相應的是數學學科核心素養培養的過程. 只是核心素養還強調一點，那就是在接近于實際的生活情境中的運用，這在筆者看來就是數學學習之后形成的理性看待生活事物的目光，其與數學文化的關系在于數學文化帶來的感悟. 于是可用一句數學含義與生活含義極為豐富的話作為結尾：人和人就像數軸上的有理數點，看似距離很近，但在你們之間卻始終存在著無理數的隔閡.endprint