論數學思想方法的教學

袁天雨

【摘要】數學研究的是高度抽象了的東西，數學發展所依賴的數學思想是推動數學前進的本質源頭，當代從事數學教育的一線教師需在課堂教學中引導學生會用數學的思維來認識數學的本質，這就要求教師在知識傳授中注重數學思想方法的教學.

【關鍵詞】數學思想；數學本質；抽象

關于數學是什么可以說是眾說紛紜，但數學以其獨有的形式存在于我們身處的客觀世界，并服務于人類的進步和發展這一點毋庸置疑，在當代的中國數學教育，處在一線的數學教育工作者，應當肩負起對數學文化，數學思想的傳播和發展的重任，特別是要從原有固定模式的課堂教學中解放出來，這里所說的數學的基本思想無外乎史寧中先生所歸納的：抽象，推理，模型.[1]教師以數學的基本思想為依據，不斷滲透各知識之間的相互關聯，并在知識的傳授中注重學生對知識的理解，而非規律與知識本身，要教會學生從思想中獲得方法，從知識中追溯本質，使學生達到我們所期望的或可預見的數學素養，本文以高中必修5的余弦定理為例來淺談數學思想方法的教學實例，望能供廣大一線教師予以參考.

一、轉化的思想方法

轉化的思想方法是將未知的問題轉化為已知的問題，究竟什么是轉化的思想呢？它的本質是什么呢？張奠宙和過伯祥先生曾形象地描述過轉化的方法，轉化的方法就是，將一個問題A進行變形，使其轉化為另一已能解決的問題B，既然B已可解決，那么A也就解決了.[2]在余弦定理的教學設計中，可以向學生先提出問題：如何運用三角形的三邊長來確定一個三角形的形狀呢？之前我們學習過向量的知識，向量中的三角形法則是不是可以把三角形的三邊轉化為向量表示呢？接下來演示用向量法推導余弦定理.

證明設CB=a，CA=b，AB=c，那么c=a-b，

|c|2=c·c=（a-b）·（a-b）=a·a+b·b-2a·b

=a2+b2-2abcosC.

同理可證出a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB.

二、分類討論的思想方法

分類討論的思想方法是把一個數學研究對象剖析，從一點或者一面來分開討論，進而得到關于這個問題的整體性結果[3]，一味強調“因題解題，遇法而授”的思想是不正確的，那么在教師傳授知識的同時，如何理解和認識分類討論思想的本質，如，在討論三角形的相關問題時，一般情況下我們把對于三角形的討論分為三個點面的討論，即銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，通過這三個點面的劃分，進而得到關于三角形相關的一般結論[4]，下面基于分類討論的思想方法給予余弦定理的參考證明.

證明（1）當∠A是直角時，b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos90°=b2+c2=a2，可知結論成立.

圖1

（2）當∠A是銳角時，如圖1所示，過點C作CD⊥AB，交AB于點D，則在Rt△ACD中，AD=bcosA，CD=bsinA.

從而，BD=AB-AD=c-bcosA.

在Rt△BCD中，由勾股定理可得

BC2=BD2+CD2=（c-bcosA）2+（bsinA）2

=c2-2cbcosA+b2，

即a2=b2+c2-2bccosA.

圖2

（3）當∠A是鈍角時，如圖2所示，過點C作CD⊥AB，交BA延長線于點D，則

在Rt△ACD中，

AD=bcos（π-A）=-bcosA，

CD=bsin（π-A）=bsinA.

從而，BD=AB+AD=c-bcosA.

在Rt△BCD中，由勾股定理可得

BC2=BD2+CD2=（c-bcosA）2+（bsinA）2

=c2-2cbcosA+b2，

即a2=b2+c2-2bccosA.

綜上（1）（2）（3）可知，均有a2=b2+c2-2bccosA成立.

三、類比的思想方法

數學中類比的思想方法始終貫穿著整個數學的發展歷程，我們從外部世界高度抽象出的一些數學概念，通過類比得到相似事物的某些一致性特征，并通過研究的結果來探討與未知事物的關聯，進而抽象又抽象地發現新的事物，那么在數學教學中類比的方法又該如何傳授給學生？顯然，教師需將正弦定理與余弦定理聯系起來，那么我們是否能用正弦定理來認識和推導余弦定理呢？這就是類比的思想方法，下面基于類比的思想方法予以余弦定理的參考證明.

在△ABC中，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.

于是，a2=b2+c2-2bccosA

4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C-8R2sinBsinCcosA

2sin2A=2sin2B+2sin2C-4sinBsinCcosA

2sin2A=2-cos2B-cos2C-4sinBsinCcosA

2-2cos2A=2-2cos（B+C）cos（B-C）-4sinBsinCcosA.

由于cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA，因此，

cos2A=cos（B+C）cos（B-C）+2sinBsinCcosA

cosA=-cos（B-C）+2sinBsinC

cosA=-cosBcosC+sinBsinC=-cos（B+C）.

這顯然成立.

即，結論成立.

四、結語

本文通過對數學思想方法的淺談分析，望能對廣大一線教師的教學予以參考意義，同時也希望我們的數學教育能基于數學本質，數學思想方法，以培養學生的數學興趣，數學意識與數學應用能力為核心，不斷推進我國教育事業的蓬勃發展.endprint